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邵东一中2014年下学期高二期末考试理科数学试题卷


邵东一中 2014 年下学期高二期末考试理科数学试题卷
时间: 120 分钟 满分: 150 分

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1、设复数 z 满足(1+i)z=2,其中 i 为虚数单位,则 z=( A.1+i B.1-i C.2+2i ) D.2-2i ) D. 25

2、在等差数列 {an } 中, a2 ? 1 , a 4 ? 5 ,则 {an } 的前 5 项和 S5 =( A. 7 B. 15 C. 20

3、已知抛物线关于 x 轴对称,它的顶点在坐标原点 O ,并且经过点 M (2, y0 ) ,若点 M 到 该抛物线焦点的距离为 3 ,则 | OM |? ( A. 2 2 B. 2 3 ) B. ?x ? R, tan x ? 1 D. ?x ? R , 2x ? 0 ) C. 4 D. 2 5

4、下列命题中的假命题 是( ... A. ?x ? R,lg x ? 0 C. ?x ? R , x2 ? 0

?y ? 2 ? 5、已知变量 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ,则 z ? 3x ? y 的最大值为( ?x ? y ? 1 ?
A. ?1 B.3 C.11



D.12

6、某校开设 A 类选修课 3 门,B 类选修课 4 门,一位同学从中共选 3 门,若要求两类课程 中各至少选一门,则不同的选法共有( A. 30 种 B. 35 种 ) C. 42 种 D. 48 种 ) D. ?11

7、设 Sn 为等比数列 ?an ? 的前 n 项和, 8a2 ? a5 ? 0 ,则 A. 11 B. 5 ) B. sin x ? D. C. ?8

S5 ?( S2

8、下列不等式一定成立的是( A. lg( x ? ) ? lg x ( x ? 0)
2

1 4

1 ? 2 ( x ? k? , k ? Z ) sin x

C. x ? 1 ? 2 | x | ( x ? R)
2

1 ? 1 ( x ? R) x ?1
2

1

9、已知椭圆

x2 y 2 y2 ? 1的公共焦点为 F1 、 F2 , P 是两条曲线的一个 ? ? 1 和双曲线 x 2 ? 3 9 5
) B.

交点,则 cos ?F 1PF2 ? ( A.

1 3
x

1 4

C.

1 5

D.

1 6

10、 点 P 在曲线 y ? A. [0,

? ) 4

4 上, 则 ? 的取值范围是 ( ) ? 为曲线在 P 处的切线的倾斜角, e ?1 ? ? ? 3? 3? ] ,? ) B. [ , ) C. ( , D. [ 4 2 2 4 4

二、选择题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。 11、曲线 y ? sin x 与直线 x ? 12、在 (2 x ?
2

?
2

,y=0 所围成封闭图形的面积为________. .

1 5 ) 的二项展开式中, x 的系数为 x

13、若椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的一条弦被点 (4, 2) 平分,则这条弦所在的直线方程为 36 9

14、将全体正整数排成一个三角形数阵: 1 2 4 3 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ……………… 按照以上排列的规律,第 n 行( n ? 3 )从左向右的第 3 个数为 15、记 [ x ] 为不超过实数 x 的最大整数,例如,[2] ? 2 ,[1.5] ? 1 ,[?0.3] ? ?1。设 a 为正

xn ? [
整数,数列 {xn } 满足 x1 ? a , xn ?1 ? [

a ] xn

2

](n ? N ? ) ,现有下列命题:

① 当 a ? 5 时,数列 {xn } 的前 3 项依次为 5,3,2; ② 当 n ? 1 时, xn ? a ?1 ; ③ 对某个正整数 k ,若 xk ?1 ? xk ,则 xn ? [ a ] 。 ④ 对数列 {xn } 都存在正整数 k ,当 n ? k 时总有 xn ? xk ; 其中的真命题有____________。 (写出所有真命题的编号)

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2

16、(本小题满分 12 分) 已知 P={ x | a-4<x<a+4 },Q={ x | x2-4x+3<0 },若”x∈P”是”x∈Q”的必要条件,求实 数 a 的取值范围.

17、 (本小题满分 12 分) 已知 f ( x) ? ax3 ? bx ? 1 在 x ? 1 处取得极值 ?1 .

(1) 求 a , b (2) 当 x ?[?2,0] 时, 求 f ( x) 的值域

18、 (本小题满分 12 分) 1 如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC=BC= AA1=1 , 2 D 是棱 AA1 的中点,DC1⊥BD. (1) 证明:DC1⊥BC ; (2) 求二面角 A1-BD-C1 的大小.

19、 (本小题满分 13 分) 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 Sn ? 2nan?1 ? 3n ? 4n, n ? N ,且 S3 ? 15 ,
2 *

(1) 求 a1 , a2 , a3

(2) 猜想 ?an ? 的通项公式,并用数学归纳法证明.

3

20、 (本小题满分 13 分) x2 已知椭圆 G: +y2=1,过点(m,0)作圆 x2+y2=1 的切线 l 交椭圆 G 于 A、B 两点. 4 (1) 求椭圆 G 的焦点坐标和离心率; (2) 设 l 的斜率为 k ,将弦长|AB|表示为 m 的函数,并求|AB|的最大值

21、 (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? x ? ln( x ? 1) (1)若对任意的 x ? [0,??), 有 f ( x) ≤ kx 成立,求实数 k 的最小值;
2

(2)证明

? 2i ? 1 ? ln(2n ? 1) ? 2 ( n ? N
i ?1

n

2

*

).

4


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