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www.vns95555.com:2017苏教版高一数学直线与平面垂直的判定1.doc

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第 16 课时 直线与平面垂直的判定与性质(一)
教学目标:
使学生能够利用等价转化的思想证明立体几何问题,提高学生逻辑思维能力,培养 学生由图形想象出位置关系的能力;利用所学知识解释生活现象,激发学生学习数学积 极性,能辩证地看待问题,学会分析事物间关系,进而选择解决问题途径。

教学重点:
直线和平面垂直的判定。

教学难点:
判定定理的证明。

教学过程:
1.复习回顾: [师]直线和平面平行的判定方法有几种? [生]可利用定义判断,也可依判定定理判断. 2.讲授新课: 1.直线和平面垂直的定义 [师]该章的章图说明旗杆与其影子之间构成的几何图形,请同学思考,随着时间 的变化,影子在移动,这是变的一面,那么不变的一面是什么呢? [讨论、观察片刻,提醒学生从位置关系去分析,师可用电 筒照射一杆,让学生得出结论]进而提醒学生观察右图。 [生]由图形可知,旗杆与地面内任意一条径 B 的直线垂直 (若先回答射影,可引导其抽象为直线) 师进一步提出:那么旗杆所在线与平面内不经过 B 点的线 位置如何呢?依据是什么? [生]垂直.依据是异面直线垂直定义. 生在师的诱导下,尝试地给出直线和平面垂直的定义: 如果一条直线 l 和平面α 内的任意一条直线都垂直,我们就说直线 l 和平面α 互相垂 直. 可记作 l⊥α 其中直线 l 叫平面α 的垂线. 平面α 叫直线 l 的垂面. [师] “任意一条直线” ,说明直线 l 必须和平面内的所有直线都具有垂直关系.不能 理解成无数条线,必须是全部.同学可找一反例说明. [生]当一条直线和一平面内一组平行线垂直时,该直线不一定和平面垂直.(可举 教材中每一行字看成平行线,当钢笔与其垂直时,不一定钢笔就与教材所在面垂直) [师]若 l∥α 或 l ? α ,则 l 此时不会和α 内任意一条直线垂直,由此,当 l 与α 具 有 l⊥α 关系时,直线 l 一定和α 相交. 直线和平面垂直时,它们惟一的公共点,即交点叫垂足. 师进一步给出直线与平面垂直时,直观图的画法.

(师生共同规范地画出直线与平面垂直关系) 画直线与水平平面垂直时,要把直线画成和表示平面的平行四边形的横边垂直 l⊥α 点 P 是垂足 让学生观察投影片中所给四个图形,能得出什么结论.

经师诱导,生得到结论. [生]图(1) 、 (2)说明经过空间一点 P 作α 的垂线只有一条,图(3) 、 (4)说明, 经过空间一点 P 作 l 的垂面只有一个. 除定义外,直线和平面垂直的判定还有什么方法呢? 2.直线和平面垂直的判定 例 1: 求证: 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面, 那么另一条也垂直于这个平面. 已知:a∥b,a⊥α 求证:b⊥α 分析:要证 b⊥α ,需证 b 与α 内任意一条直线 m 垂直. 运用等价转化思想证明与 b 平行的线 a 垂直于 m,则 需依题设直线 m 存在.进而运用线垂直于面? 线垂直于面内线完成证明. 学生依图,及分析写出证明过程 证明:设 m 是α 内的任意一条直线

[此结论可以直接利用,判定直线和平面垂直] 给出判定定理,学生思考证明途径. 直线和平面垂直的判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么 这条直线垂直于这个平面. 已知:m ? α ,n ? α ,m∩n=B,l⊥m,l⊥n. 求证:l⊥α . 分析:此定理要证明,需达到 l⊥α 关系. 而由定义知只要能设法证明 l 垂直于α 内任一条直线 即可,不妨设此线为 g,则需证 l⊥g 就可以. 证明 l⊥g 较困难,同学可考虑线段垂直平分线性质. 学生先思考,如何先确定线位置.

由于已知条件中有 m∩n=B, 所以可先从 l、g 都通过点 B 的情况证起, 然后再推广到其他情形,也可看成是分类讨论思想渗透. 证明过程学生可先表述,然后共同整理. 证明:设 g 是平面α 内任一直线. (1)当 l、g 都通过点 B 时,在 l 上点 B 的两侧分别取点 A、A′,使 AB=A′B,则 由已知条件推出 m、n 都是线段 AA′的垂直平分线. 1°g 与 m(或 n)重合 那么依 l⊥m(或 l⊥n)可推出 l⊥g. 2°g 与 m(或 n)不重合, 那么在α 内任作一线 CD m∩CD=C,n∩CD=D,g∩CD=E 连结 AC、A′C、AD、A′D、AE、A′E. ∵AC=A′C,AD=A′D,CD=CD, ∴△ACD≌△A′CD, 得∠ACE=∠A′CE 即△ACE≌△A′CE,那么 AE=A′E ∴g 是 AA′的垂直平分线,于是 l⊥g (2)当 l、g 不都通过点 B 时 过点 B 作 l′、g′,使 l′∥l,g′∥g 同理可证 l′⊥g′,因而 l⊥g 综上所述,无论 l、g 是否通过点 B,总有 l⊥g. 由于 g 是平面α 内任一直线,因而得 l⊥α [l、g 不都通过点 B,可解释为:l、g 之一过点 B,l、g 都不过点 B] [师]对于判定定理注意二点. 一是判定定理的条件中, “平面内的两条相交直线”是关键性词语,一定要记准、用 对. 二是要判断一条已知直线和一个平面是否垂直,取决于在这个平面内能否找出两条 相交直线和已知直线垂直,至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点,这是无关紧 要的. 3.课堂练习: 1.判断题 (1)l⊥α ?l 与α 相交( ) (2)m ? α ,n ? α ,l⊥m,l⊥n ?l⊥α ( ) (3)l∥m,m∥n,l⊥α ?n⊥α ( ) 解: (1)√ 若不相交,则应有 l∥α ,或 l ? α . (2)× m、n 若是两条平行直线,则命题结论不一定正确. (3)√ 由例题结论可推得.

2.已知三条共点直线两两垂直,求证:其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面. 已知:m、l 确定平面α ,m⊥n,l⊥n,m∩l=o 求证:n⊥α . 证明:因

3.求证:平面外一点与这个平面内各点连结而成的线段中,垂直于平面的线段最短. [连结平面α 内的两点,Q 和 R,设 PQ⊥α , 则∠PQR=90°,在 Rt△PQR 中,PQ<PR. 4.课时小结: 1.定义中的“任何一条直线”这一词语,它与“所有直线”是同义语、定义是说这条 直线和平面内所有直线垂直. 2.和平面垂直的直线是直线和平面相交的一种特殊形式. 3.注意两个结论: 过一点有且只有一条直线和已知平面垂直. 过一点有且只有一个平面和已知直线垂直. 4.判定直线和平面是否垂直,本节课给出了三种方法: (1)定义 强调“任何一条直线” ; (2)例 1 的结论 符合“两条平行线中一条垂直于平面”特征; (3)判定定理 必须是“两条相交直线”. 5.课后作业: 预习: (1)性质定理主要是讲什么?条件、结论各是什么? (2)直线到平面距离如何转化为点到平面距离?


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