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人教A版高中数学选修4-4练习:第二讲 一 第一课时 参数方程的概念 Word版含解析

中小学精品资料 [课时作业] [A 组 基础巩固] ? ?x=2t+1, 1.已知曲线的方程为? (t 为参数,t∈R),则下列点中在曲线上的是( ?y=t+1 ? ) A.(1,1) C.(2,3) B.(2,2) D.(1,2) 解析:当 t=0 时,x=1,y=1,即点(1,1)在曲线上. 答案:A ?x=sin θ, ? 2.在方程? (θ 为参数)所表示的曲线上的一点的坐标为( ? ?y=cos 2θ ) A.(2,-7) 1 1 C .( , ) 2 2 1 2 B.( , ) 3 3 D.(1,0) 解析:将点的坐标代入参数方程, 若能求出 θ, 则点在曲线上,经检验, 知 C 满足条件. 答案:C 3.由方程 x2+y2-4tx-2ty+3t2-4=0(t 为参数)所表示的一族圆的圆心的轨迹方程为 ( ) ?x=2t, ? A.? ? ?y=t ? ?x=2t, C.? ?y=-t ? ?x=-2t, ? B.? ? ?y=t ? ?x=-2t, D.? ?y=-t ? 解析:设(x,y)为所求轨迹上任一点. 由 x2+y2-4tx-2ty+3t2-4=0 得: (x-2t)2+(y-t)2=4+2t2. ?x=2t ? ∴? . ? ?y=t 答案:A 4.已知圆(x-a)2+y2=a2(a>0),点 M 在圆上,O 为原点,以∠MOx=φ 为参数,那么 圆的参数方程为( ? ?x=acos φ, A.? ?y=asin φ ? ) ? ?x=a?1+cos φ?, B.? ?y=asin φ ? ? ?x=acos φ, C.? ?y=a?1+sin φ? ? ? ?x=a?1+cos 2φ?, D.? ?y=asin 2φ ? 中小学精品资料 解析:如图,设圆心为 O′,连接 O′M,则∠MO′x=2φ. ? ?x=a+acos 2φ, 所以圆的参数方程为? (φ 为参数). ? ?y=asin 2φ 答案:D ? ?x=cos θ, 5.参数方程? (θ 为参数)表示的曲线是( ?y=sin θ ? ) A.直线 C.圆 2 2 B.线段 D.半圆 解析:因为 sin θ+cos θ=1,所以普通方程为 x2+y2=1.故选 C. 答案:C ? ?x=2sin θ+1, 6.已知曲线? (θ 为参数,0≤θ<2π). 下列各点 A(1,3),B(2,2), C(-3,5), ?y=sin θ+3 ? 其中在曲线上的点是________. 解析:将 A 点坐标代入方程得:θ=0 或 π,将 B、C 点坐标代入方程,方程无解,故 A 点在曲线上. 答案:A(1,3) 7.下列各参数方程与方程 xy=1 表示相同曲线的序号是________. ?x=t2, ?x=sin t, ?x=cos t, ?x=tan t, ? ? ? ? ①? ②? ③? ④? 2 ? ? ? ? ?y=-t ; ?y=csc t; ?y=sec t; ?y=cot t. 解析:普通方程中,x,y 均为不等于 0 的实数,而①②③中 x 的取值依次为:[0,+∞), [-1,1],[-1,1],故①②③均不正确,而④中,x∈R,y∈R,且 xy=1,故④正确. 答案:④ ? ?x=2t, 8.曲线的参数方程为:? (t 为参数),已知点(2,a)在曲线上,则 a= 2 ? ?y=3t +2t+2 ________. 解析:∵2=2t,t=1,∴y=3+2+2=7,∴a=7. 答案:7 9.已知边长为 a 的等边三角形 ABC 的顶点 A 在 y 轴的非负半轴上移动,顶点 B 在 x 轴的非负半轴上移动,求顶点 C 在第一象限内的轨迹的参数方程. 解析:如图,设 C 点坐标为(x,y),∠ABO=θ,过点 C 作 x 轴的垂线段 CM,垂足为 M. 则∠CBM=120° -θ, 中小学精品资料 ? -θ?, ?x=acos θ+acos?120° ∴? ?y=asin?120° -θ? ? π (θ 为参数,0≤θ≤ )为所求. 2 10.如图所示,OA 是圆 C 的直径,且 OA=2a,射线 OB 与圆交于 Q 点,和经过 A 点的切线交于 B 点,作 PQ⊥OA 交 OA 于 D,PB∥OA,试 求点 P 的轨迹的参数方程. 解析:设 P(x,y)是轨迹上任意一点,取∠DOQ=θ, 由 PQ⊥OA,PB∥OA,得 x=OD=OQcos θ=OAcos2 θ=2acos2 θ, y=AB=OAtan θ=2atan θ. 所以 P 点轨迹的参数方程为 2 ? ?x=2acos θ, π π ? - , ?. θ∈? 2 2? ? ?y=2atan θ ? [B 组 能力提升] 1.下列参数方程(t 为参数)与普通方程 x2-y=0 表示同一曲线的方程是( ?x=|t|, ? A.? ? ?y=t ?x=cos t, ? B.? 2 ? ?y=cos t ) x=tan t, ? ? C.? 1+cos 2t y= ? ? 1-cos 2t x=tan t, ? ? D.? 1-cos 2t y= ? ? 1+cos 2t 1 解析:A 显然错误,B 中 x∈[-1,1]与原题中 x 的范围不同,C 可化为 y- 2=0,故选 x D. 答案:D ? ?x=1+5cos θ, 2.若 P(2,-1)为圆 O′:? (θ 为参数,0≤θ<2π)的弦的中点,则该弦 ?y=5sin θ ? 所在直线 l 的方程是( A.x-y-3=0 C.x+y-1=0 ) B.x+2y=0 D.2x-y-5=0 ′ 解析:∵圆心 O′(1,0),∴kPO =-1.∴kl=1. ∴直线 l 的方程为 x-y-3=0. 答案:A x2 3.设 x=2cos θ(θ 为参数),则椭圆 +y2=1 的参数方程为________. 4 中小学精品资料 x2 解析:将

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