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丰台区2015年高三年级第二学期数学文科统一练习+评分标准


丰台区 2014—2015 学年度第二学期统一练习(一) 高三数学(文科)
第一部分 (选择题 共 40 分)

2015.3

选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1. 设集合 U={1,2,3,4,5,6}, A={x∈N∣1≤x≤3},则 ?U A = (A) U (B) {1,2,3} (C) {4,5,6} (D) {1,3,4,5,6}

2.下列函数中,在区间 (0, ??) 上存在最小值的是 (A) y ? ( x ?1)
2

(B) y ?

x

(C) y ? 2

x

(D) y ? log 2 x

3. 已知 a,b 是两条不同的直线,α 是一个平面,且 b ? α,那么“a⊥b”是“a⊥α”的 (A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件 4.当 n=5 时,执行如图所示的程序框图,输出的 S 值是 (A) 7 (B)10 (C) 11 (D) 16

5.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 (A) 48 (B) 32 (C) 16 (D)

6.将函数 y ? cos x 的图象向右平移

? 个单位长度,再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 6
(B) y ? cos( x ? (D) y ? cos(2 x ?

32 3

倍(纵坐标不变) ,所得图象的函数解析式是 (A) y ? cos( x ? (C) y ? cos(2 x ?

1 2

?
6 )

)

?

1 2

?
3

)

?

6

3

)

丰台区高三数学第二学期统一练习(一) (文科)第 1 页 共 9 页

7. 已知奇函数 y ? ?

? f ( x), x ? 0, 如果 f ( x) ? a x (a ? 0 且 a ? 1) 对应 g ( x ), x ? 0. ?

的图象如图所示,那么 g ( x ) ? (A) ( ) (C) 2 ? x

1 2

?x

1 2 (D) ?2 x

(B) ?( )

x

P 为底面 ABCD 上一动点,如果 P 到点 A1 的距离等于 P 到直 8.在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,
线 CC1 的距离,那么点 P 的轨迹所在的曲线是 (A) 直线 (B)圆 (C) 抛物线 (D) 椭圆

第二部分 (非选择题 共 110 分)
一、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.复数

3? i = 1 ? 2i



10.双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的渐近线方程为 2 6



? x ? 2 ? 0, ? 11.若变量 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0, 则 z ? x ? 2 y 的最大值是 ? x ? y ? 4 ? 0, ?



0) ,B(0 , 3 ) ,C ( cos x , sin x ) , 12. 在平面直角坐标系 xOy 中, 点 A ( ? 1, 则 AB =
∥ OC , 则 tan x = ______. 13. 某中学共有女生 2000 人, 为了了解学生体质健康状况, 随机抽取 100 名女生进行体质监测,将她们的体重(单 位:kg)数据加以统计,得到如图所示的频率分布直方 图,则直方图中 x 的值为 ;试估计该校体重在

; 若 AB

[55,70) 的女生有

人.

14.已知平面上的点集 A 及点 P ,在集合 A 内任取一点 Q ,线段 PQ 长度的最小值称为点 P 到集合

A 的距离,记作 d ( P, A) .如果集合 A={(x, y ) | x 2 ? y 2 ? 4} ,点 P 的坐标为 (2 2,2 2) ,那
么 d ( P, A) ? ; 如果点集 A 所表示的图形是半径为 2 的圆, 那么点集 D ? {P | d ( P, A) ? 1} 所 .

表示的图形的面积为

丰台区高三数学第二学期统一练习(一) (文科)第 2 页 共 9 页

二、解答题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.(本小题共 13 分)

C 的对边分别为 a ,b ,c , 在△ ABC 中, 内角 A ,B , 已知 b ? 2 5 ,B ?
(Ⅰ)求 c 的值; (Ⅱ)求 ?ABC 的面积.

?
4

, cosC ?

2 5 . 5

16.(本小题共 13 分) 已知等差数列 {an } 和等比数列 {bn } 中, a1 ? b1 ? 1 , a2 ? b2 , a4 ? 2 ? b3 . (Ⅰ)求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式; (Ⅱ)如果 am ? bn (n ? N* ) ,写出 m,n 的关系式 m ? f (n) ,并求 f (1) ? f (2) ?

? f (n ) .

17.(本小题共 13 分) 某出租车公司响应国家节能减排的号召,已陆续购买了 140 辆纯电动汽车作为运营车辆,目前 我国主流纯电动汽车按续驶里程数 R(单位:公里)分为 3 类,即 A:80≤R<150,B:150≤R<250, C:R≥250.对这 140 辆车的行驶总里程进行统计,结果如下表: 类型 已行驶总里程不超过 5 万公里的车辆数 已行驶总里程超过 5 万公里的车辆数 A 10 20 B 40 20 C 30 20

(Ⅰ)从这 140 辆汽车中任取 1 辆,求该车行驶总里程超过 5 万公里的概率; (Ⅱ)公司为了了解这些车的工作状况,决定抽取 14 辆车进行车况分析,按表中描述的六种 情况进行分层抽样,设从 C 类车中抽取了 n 辆车. (ⅰ)求 n 的值; (ⅱ) 如果从这 n 辆车中随机选取 2 辆车, 求恰有 1 辆车行驶总里程超过 5 万公里的概率.

18.(本小题共 14 分)
丰台区高三数学第二学期统一练习(一) (文科)第 3 页 共 9 页

如图,在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,侧棱 AA1 ? 底面 ABC , M 为棱 AC 中点. AB ? BC ,

AC ? 2 , AA1 ? 2 .
(Ⅰ)求证: B1C //平面 A1BM ; (Ⅱ)求证: AC1 ? 平面 A1BM ; (Ⅲ)在棱 BB1 的上是否存在点 N , 使得平面 AC1 N ⊥平面 AA1C1C ?如果存在, 求此时 的值;如果不存在,说明理由.
A1 B1

BN BB1

C1

B

A

M

C

19.(本小题共 14 分) 已知椭圆 C: x ? 3 y ? 6 的右焦点为 F.
2 2

(Ⅰ)求点 F 的坐标和椭圆 C 的离心率; (Ⅱ)直线 l: y ? kx ? m (k ? 0) 过点 F,且与椭圆 C 交于 P , Q 两点,如果点 P 关于 x 轴的 对称点为 P? ,判断直线 P?Q 是否经过 x 轴上的定点,如果经过,求出该定点坐标;如果不经过,说 明理由.

20.(本小题共 13 分) 已知函数 f ( x ) ? a ln x ?

1 (a ? R ) . x

(Ⅰ)当 a ? 2 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)如果函数 g ( x ) ? f ( x ) ? 2 x 在 (0, ??) 上单调递减,求 a 的取值范围; (Ⅲ)当 a ? 0 时,讨论函数 y ? f ( x) 零点的个数.

(考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效)

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丰台区高三数学第二学期统一练习(一) (文科)第 4 页 共 9 页


题号 答案 1 C 2 A

学(文科)参考答案
3 B 4 C 5 B 6 A 7 D 8 A

选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.

一、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.1-i 12. (1, 3) ; 3 10. y ? ? 3x 13.0.024;1000 11.6 14.2; 8?

注:第 12,13,14 题第一个空填对得 3 分,第二个空填对得 2 分. 二、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.(本小题共 13 分) 解: (Ⅰ)在 ?ABC 中, 0 ? C ? ? ,且 cosC ? 所以 sin C ? 因为

2 5 , 5

5 . 5

c b ? ? ,且 b ? 2 5 , B ? , 4 sin C sin B

所以 c ?

b sin C ? sin B

2 5? 2 2

5 5 ?2 2.

所以 c ? 2 2 . (Ⅱ)因为 b ? a ? c ? 2accosB ,
2 2 2

????????6 分

所以 a ? 4a ? 12 ? 0 ,
2

所以 a ? 6 或 a ? ?2 (舍) . 所以 S ?ABC ?

1 ac sin B ? 6 . 2

????????13 分

16.(本小题共 13 分) 解: (Ⅰ)设等差数列 {an } 的公差为 d ,等比数列 {bn } 的公比为 q ,则

?1 ? d ? q . ? 2 ?1 ? 3d ? 2 ? q
解得

?d ? 2 或 ? ?q ? 3

?d ? ?1 (舍) . ? ? q?0

丰台区高三数学第二学期统一练习(一) (文科)第 5 页 共 9 页

所以 an ? 2n ? 1, bn ? 3n?1 . (Ⅱ)因为 am ? bn , 所以 2m ? 1 ? 3
n ?1

????????6 分

,即 m ?

1 n ?1 (3 ? 1) . 2 ? 3n ?1 ? 1)

f (1) ? f (2) ? ? 1 0 1 (3 ? 3 ? 2

f (n) ?

1 0 (3 ? 1 ? 31 ? 1 ? 2

? 3n ?1 ? n ) ?

1 1 ? 3n ( ? n) 2 1? 3
????????13 分

?

3n ? 2n ? 1 . 4
? f (n) ?

所以 f (1) ? f (2) ?

3n ? 2n ? 1 . 4

17.(本小题共 13 分) 解: (Ⅰ)从这 140 辆汽车中任取 1 辆,则该车行驶总里程超过 5 万公里的概率为

20 ? 20 ? 20 3 ? . 140 7 30 ? 20 ? 14 ? 5 . (Ⅱ) (ⅰ)依题意 n ? 140

????????3 分 ????????6 分

(ⅱ)5 辆车中已行驶总里程不超过 5 万公里的车有 3 辆,记为 A,B,C; 5 辆车中已行驶总里程超过 5 万公里的车有 2 辆,记为 M,N. “从 5 辆车中随机选取 2 辆车”的所有选法共 10 种: AB,AC ,AM,AN,BC, BM,BN,CM,CN,MN. “从 5 辆车中随机选取 2 辆车, 恰有一辆车行驶里程超过 5 万公里” 的选法共 6 种: AM,AN,BM,BN,CM,CN. 设“选取 2 辆车中恰有一辆车行驶里程超过 5 万公里”为事件 D, 则 P( D) ?

6 3 ? . 10 5
3 .???????13 分 5

答:选取 2 辆车中恰有一辆车行驶里程超过 5 万公里的概率为

18.(本小题共 14 分) 解: (Ⅰ)连结 AB1 交 A 1B 于 O ,连结 OM . 在 ?B1 AC 中,因为 M , O 分别为 AC , AB1 中点,
B1

所以 OM // B1C . 又因为 OM ? 平面 A1BM , B1C ? 平面 A1BM ,
A1 O C1

丰台区高三数学第二学期统一练习(一) (文科)第 6 页 共 9 页

B

A

M

C

所以 B1C //平面 A1BM .

????????4 分

(Ⅱ)因为侧棱 AA1 ? 底面 ABC , BM ? 平面 ABC , 所以 AA 1 ? BM . 又因为 M 为棱 AC 中点, AB ? BC , 所以 BM ? AC . 因为 AA1

AC ? A ,所以 BM ? 平面 ACC1 A1 .

所以 BM ? AC1 . 因为 M 为棱 AC 中点, AC ? 2 ,所以 AM ? 1 . 又因为 AA 1 AM 中, tan ?AC1C ? tan ?A 1 ? 2 ,所以在 Rt?ACC1 和 Rt?A 1MA ? 2 . 所以 ?AC1C ? ?A 1MA ,即 ?AC1C ? ?C1 AC ? ?A 1MA ? ?C1 AC ? 90 . 所以 A 1M ? AC1 . 因为 BM

A1M ? M ,
????????10 分

所以 AC1 ? 平面 A1BM . (Ⅲ)当点 N 为 BB1 中点时,即

BN 1 ? ,平面 AC1 N ? 平面 AAC 1 1C . BB1 2
B1

设 AC1 中点为 D ,连结 DM , DN . 因为 D , M 分别为 AC1 , AC 中点,

1 所以 DM // CC1 ,且 DM ? CC1 . 2
又因为 N 为 BB1 中点, 所以 DM // BN ,且 DM ? BN . 所以 BM // DN , 因为 BM ? 平面 ACC1 A1 , 所以 DN ? 平面 ACC1 A1 .

A1 N B

C1

D

A

M

C

又因为 DN ? 平面 AC1 N ,所以平面 AC1 N ? 平面 ACC1 A1 . 19.(本小题共 14 分)

????????14 分

解: (Ⅰ)因为椭圆 C:

x2 y 2 ? ?1 6 2

丰台区高三数学第二学期统一练习(一) (文科)第 7 页 共 9 页

所以焦点 F (2, 0) , 离心率 e ?

6 . 3

????????4 分

(Ⅱ)直线 l: y ? kx ? m (k ? 0) 过点 F,所以 m ? ?2k ,所以 l: y ? k ( x ? 2) . 由?

? x2 ? 3 y 2 ? 6 ? y ? k ( x ? 2)

,得 (3k ? 1) x ?12k x ? 12k ? 6 ? 0. (依题意 ? ? 0 ) .
2 2 2 2

设 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 ) , 则 x1 ? x2 ?

12k 2 12k 2 ? 6 x . x ? , . 1 2 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1

因为点 P 关于 x 轴的对称点为 P? ,则 P?( x1 , ? y1 ) . 所以,直线 P?Q 的方程可以设为 y ? y1 ? 令 y ? 0,

y2 ? y1 ( x ? x1 ) , x2 ? x1

x?

x2 y1 ? x1 y1 x y ?x y kx ( x ? 2) ? kx1 ( x2 ? 2) ? x1 ? 2 1 1 2 ? 2 1 y1 ? y2 y1 ? y2 k ( x1 ? x2 ? 4)

12k 2 ? 6 12k 2 ? 2 2 2 2 x x ? 2( x1 ? x2 ) ? 1 2 ? 3k ? 1 2 3k ? 1 ? 3 . ( x1 ? x2 ? 4) 12k ( 2 ? 4) 3k ? 1 2
所以直线 P?Q 过 x 轴上定点 (3, 0) . ????????14 分

20.(本小题共 13 分) 解: (Ⅰ)当 a ? 2 时, f ( x) ? 2 ln x ? 所以 f ?( x) ?

1 , f (1) ? 1 , x

2 1 ? , f ?(1) ? 1 . x x2 所以切线方程为 y ? x .
(Ⅱ)因为 g ( x) ? f ( x) ? 2 x 在 (0, ??) 上单调递减,

????????3 分

a 1 ? ? 2 ? 0 在 (0, ??) 恒成立, x x2 1 ( x ? 0) 恒成立, 变形得 a ? 2 x ? x 1 1 而 2x ? ? 2 2x ? ? 2 2 x x
等价于 g ?( x) ?
丰台区高三数学第二学期统一练习(一) (文科)第 8 页 共 9 页

(当且仅当 2 x ? 所以 a ? 2 2 . (Ⅲ) f ?( x ) ?

1 2 ,即 x ? 时,等号成立) . x 2
????????8 分

ax ? 1 . x2 1 . a 1 (0, ) a

令 f ?( x) ? 0 ,得 x ?

x
f ?( x ) f ( x)

1 a

1 ( , ??) a

?


0
极小值

?


所以 f ( x ) min =f ( ) = a ln

1 a

1 ? a ? a(1 ? ln a) . a

(ⅰ)当 0 ? a ? e 时, f ( x)min ? 0 ,所以 f ( x ) 在定义域内无零点; (ⅱ)当 a ? e 时, f ( x)min ? 0 ,所以 f ( x ) 在定义域内有唯一的零点; (ⅲ)当 a ? e 时, f ( x)min ? 0 , ① 因为 f (1) ? 1 ? 0 ,所以 f ( x ) 在增区间 ( , ??) 内有唯一零点; ② f(

1 a

1 ) ? a (a ? 2 ln a ) , a2 2 , a

设 h(a) ? a ? 2ln a ,则 h?( a ) ? 1 ?

因为 a ? e ,所以 h?(a) ? 0 ,即 h(a) 在 (e, ??) 上单调递增, 所以 h(a) ? h(e) ? 0 ,即 f (

1 1 ) ? 0 ,所以 f ( x) 在减区间 (0, ) 内有唯一的零点. 2 a a

所以 a ? e 时 f ( x ) 在定义域内有两个零点. 综上所述:当 0 ? a ? e 时, f ( x ) 在定义域内无零点; 当 a ? e 时, f ( x ) 在定义域内有唯一的零点; 当 a ? e 时, f ( x ) 在定义域内有两个零点. ????????13 分

(若用其他方法解题,请酌情给分)

丰台区高三数学第二学期统一练习(一) (文科)第 9 页 共 9 页


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