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四川省南充市高2015届第一次高考适应性考试数学(文)试题(扫描版)_图文

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南充市高 2015 届第一次高考适应性考试 数学(文科)参考答案及评分标准
一、选择题 1 2 3 B C A 二、填空题 11.0 12.105 14. ? 2 三、解答题 16. 解: f ( x) ? (cos x ? sin x)(cosx ? sin x) ? 2 sin x(? cos x) 15. ②③ 4 D 5 A 6 C 7 D 8 B 9 B 10 A

13.任意一个无理数,它的平方不是有理数

? cos2 x ? sin 2 x ? 2 sin x cos x ? cos2 x ? sin 2 x
? ? 2 sin( 2 x ? ) 4

?

…………………………………………………………5 分

(1)由最小正周期公式得: T ? ? ………………………………………………6 分

? 5? ?[ , ] 4 4 4 4 4 ? ? 3? 令 2 x ? ? ,则 x ? , 4 2 8 ? 3? 3? 3? ] 单调递减,在 [ , ] 单调递增 从而 f ( x) 在 [ , 4 8 8 4 3? 即当 x ? 时,函数 f ( x) 取得最小值 ? 2 ……………………………12 分 8 2?6 8 ? , 17.解: (1)候车时间少于 10 分钟的概率为 15 15 8 ? 32 人. ………………………6 分 所以候车时间少于 10 分钟的人数为 60 ? 15
(2) x ? [

? 3?
,

] ,则 2 x ?

?

(2)将第三组乘客编号为 a1, a2 , a3 , a4 ,第四组乘客编号为 b1,b2 .从 6 人中任选两人包含 一下基本事件:(a1 , a2 ) ,(a1 , a3 ) ,(a1 , a4 ) ,(a1 , b1 ) ,(a1 , b2 ) ,(a2 , a3 ) ,(a2 , a4 ) ,(a2 , b1 ) ,

(a2 , b2 ) , (a3 , a4 ) , (a3 , b1 ) , (a3 , b2 ) , (a4 , b1 ) , (a4 , b2 ) , (b1 , b2 )
其中恰好来自不同组包含 8 个基本事件,所以,所求概率为

8 15

………………………12 分

18.解(1)证明:由题意:该几何体的正视图其正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形, 俯视图为直角梯形.
则 B1C1 ? 面ABB 1 N ,且在面 ABB 1 N 内,易证 ?BNB 1 为直角。

? B1C1 ? 面ABB 1 N,且BN ? 面ABB 1 N ,? B 1C1 ? BN
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又 BN ? B1 N , 且B1 N

B1C1 ? B1 ,? BN ? 面B1NC1

………………6 分

(2) 由等体积法, VC1 ?CNB1 ? VN ?CB1C1 ?

1 1 1 64 VN ?CBB1C1 ? ? ( ? 8 ? 4 ? 4) ? …12 分 2 2 3 3

19.解: (1)因为 a2 , a5 是函数 f ( x) ? x2 ? 7 x ? 10 的两个零点,则

?a2 ? a5 ? 7 ? a 2 ? 2 ? a2 ? 5 ,解得: ? 或? . ? ?a5 ? 5 ?a5 ? 2 ?a2 ? a5 ? 10
又等差数列 {an } 递增,则 ?

? a2 ? 2 ,所以 an ? n, n ? N * …………………………3 分 a ? 5 ? 5

因为点 在直线 y ? ? x ? 1 上,则 Sn ? ?bn ? 1。 (bn , Sn) 当 n ? 1 时, b1 ? S1 ? ?b1 ? 1,即 b1 ?

1 . 2 1 bn ?1 . 2

当 n ? 2 时, bn ? Sn ? Sn ?1 ? (?bn ? 1) ? (?bn ?1 ? 1) ,即 bn ? 所以数列 {bn } 为首项为

1 1 1 ,公比为 的等比数列,即 bn ? ( ) n , n ? N * .……………6 分 2 2 2 1 (2)由(1)知: an ? n, n ? N * 且 bn ? ( ) n , n ? N * , 2 1 n 则 cn ? an ? bn ? n ? ( ) , n ? N * 2 1 1 2 1 3 1 n 所以 Tn ? 1 ? ? 2 ? ( ) ? 3 ? ( ) ? ? ? n ? ( ) ① 2 2 2 2 1 1 1 1 1 Tn ? 1 ? ( ) 2 ? 2 ? ( )3 ? ? ? (n ? 1) ? ( ) n ? n ? ( ) n ?1 ②. 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 3 1 n 1 n ?1 1 n ?1 ①-②得: Tn ? ? ( ) ? ( ) ? ? ? ( ) ? n ? ( ) ? 1 ? (n ? 2)( ) . 2 2 2 2 2 2 2 1 n * 所以 Tn ? 2 ? (n ? 2)( ) , n ? N . ……………………………………………………12 分 2 x2 y 2 C 20.解: (1)设椭圆 的标准方程 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) a b

? c 3 ?e ? ? a 2 ? 1 ?3 由已知可得 ? 2 ? ?1 4b 2 ?a ?a 2 ? b 2 ? c 2 ? ?
解得 a ? 4, b ? 1 .
2 2

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故椭圆 C 的标准方程

x2 ? y 2 ? 1 。 …………………………………………5 分 4

(2)由已知,若直线 l 的斜率不存在,则过 E (?1,0) 的直线 l 的方程为 x ? ?1 , 此时 | EA |?| EB | ,所以直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) 。

? x2 ? ? y2 ? 1 联立方程,得 ? 4 ,整理得: (4k 2 ? 1) x2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 4 ? 0 ? y ? k ( x ? 1) ?

? ? (8k 2 )2 ? 4(4k 2 ? 1)(4k 2 ? 4) ? 48k 2 ? 16 ? 0
设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 则 x1 ? x2 ? ?

8k 2 4k 2 ? 4 x ? x ? , ① 1 2 4k 2 ? 1 4k 2 ? 1

由 | EA |? 2 | EB | ,得 x1 ? 2 x2 ? ?3 ② 联立①②解得 k ? ?

15 . 6 15 ( x ? 1) 。…………………………………………13 分 6

所以直线 l 的方程为 y ? ? 21.解: (1)当 a ? ?

1 1 2 时, f ( x ) ? ? x ? ln( x ? 1)( x ? ?1) 4 4

1 1 ( x ? 2)(x ? 1) f ?( x) ? ? x ? ?? ( x ? ?1) 2 x ?1 2( x ? 1)
由 f ?( x) ? 0 解得 ? 1 ? x ? 1 ,由 f ?( x) ? 0 解得 x ? 1 , 故函数 f ( x) 的单调递增区间为 (?1,1) ,单调递减区间为 (1,??) . ……4 分
2 (2)当 x ? [0,??) 时,不等式 f ( x) ? x ? 0 恒成立,即 ax ? ln(x ? 1) ? x ? 0 恒成立.

设 g ( x) ? ax ? ln(x ? 1) ? x( x ? 0) ,只需 g ( x)max ? 0 即可.
2

1 x(2ax ? (2a ? 1)) ?1 ? x ?1 x ?1 ?x ? 0 , 函 数 g ( x) 在 [0,??) 上 单 调 递 减 , 故 ⅰ ) 当 a ? 0 时 , g ?( x) ? x ?1 g ?( x) ? 2ax ?

g ( x)max ? g (0) ? 0 成立.
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ⅱ)当 a ? 0 时,由 g ?( x) ? 若

x(2ax ? (2a ? 1)) 1 ? 0 ,则 x ? ?1或 x ? 0 x ?1 2a

1 ?1 ? 0 , 函数 g ( x) 在 [0,??) 上单调递增, 则函数 g ( x) 在 [0,??) 上无最大值, 2a 1 1 1 ? 1 ? 0 ,函数 g ( x) 在 [0, ? 1) 上单调递减,在 ( ? 1,?? ) 上单调递增, 2a 2a 2a

不满足条件. 若

则函数 g ( x) 在 [0,??) 上无最大值,不满足条件. ⅲ)当 a ? 0 时,由 g ?( x) ? 故 g ( x)max ? g (0) ? 0 成立. 综上:实数 a 的取值范围是 (??,0] . …………………………………9 分

x(2ax ? (2a ? 1)) ? 0 ,函数 g ( x) 在 [0,??) 上单调递减, x ?1

(3)由(2)知,当 a ? 0 时, ln(x ? 1) ? x ,且

1 1 1 ? ? . n(n ? 1) n n ? 1

ln((1 ?

1 1 1 )(1 ? )(1 ? ) 1? 2 2?3 3? 4

(1 ?

1 )) n(n ? 1) ? ln(1 ? 1 ) n(n ? 1)

? ln(1 ?

1 1 1 ) ? ln(1 ? ) ? ln(1 ? )? 1? 2 2?3 3? 4 ? 1 n(n ? 1)
? 1 1 ? n n ?1

?

1 1 1 ? ? ? 1? 2 2 ? 3 3 ? 4

1 1 1 1 1 ? 1? ? ? ? ? ? 2 2 3 3 4 1 ? 1? ? 1. n ?1
所以, (1 ?

1 1 1 )(1 ? )(1 ? ) 1? 2 2?3 3? 4

(1 ?

1 ) ? e ……………14 分 n(n ? 1)

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