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高三上学期第一次月考数学


高三上学期第一次月考数学(理科)
第Ⅰ卷 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.)
1.若集合 A ? x | x 2 ? 3 x ? 10 ? 0 ,集合 B ? ? x | ?3 ? x ? 4? ,则 A ? B 等于( A. ? ?2, 4 ? B. ? 4,5 ? C. ? ?3, ?2 ? D. ? 2, 4 ?

?

?



【答案】C 【分值】5 分 【解析】∵集合 A={x|x2﹣3x﹣10>0}={x|x<﹣2 或 x>5}, 集合 B={x|﹣3<x<4},∴A∩B={x|﹣3<x<﹣2}=(﹣3,﹣2).故选:C. 【考查方向】本题考查交集的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意交集定义和不等式 性质的合理运用. 【易错点】交集的运算,二次不等式求解,必要时可以考虑用数轴。 【解题思路】 利用不等式的性质先求出集合 A, 再由不等式性质和交集定义能求出集合 A∩B.
2.已知 i 是虚数单位,若复数 z ? A.-2 B.1 C.2 D.3

2 ? ai 在复平面内对应的点在第四象限,则实数 a 的值可以是( 2?i



【答案】A 【分值】5 分 【解析】z= 由于复数 z= ∴ = = ,

在复平面内的对应的点在第四象限, ,解得﹣4<a<1,故选:A.

【考查方向】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查了复数的代数表示法及其几何意义, 是基础题. 【易错点】复数除法的运算,复数的几何意义。 【解题思路】把已知等式变形,利用复数代数形式的乘除运算化简,再由实部大于 0,虚部小 于 0,求得答案.
3.已知角 ? 的终边过点 ? 2,3? ,则 tan ?
第页

? 7? ? ? ? ? 等于( ? 4 ?
1



A. ?

1 5

B.

1 5

C. ?5

D.5

【答案】B 【分值】5 分 【解析】已知角 θ 的终边过点( 2 , 3 ),∴ tanθ= ,∴ tan ( +θ ) =tan ( θ ﹣ )

=

=

= ,故选:B.

【考查方向】此题考查了两角和与差的正切函数公式,以及特殊角的三角函数值,其中根据 题意得出 tanθ 的值是解本题的关键. 【易错点】诱导公式,正切值得求法,两角差的正切公式展开。 【解题思路】根据 θ 的终边过 P 点,由 P 的坐标可求出 tanθ 的值,把所求式子利用两角和与 差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简后,把 tanθ 的值代入即可求出值. ??? ? ??? ? ???? 4.已知点 A ? 2, m ? , B ?1, 2 ? , C ? 3,1? 若 AB ? ) CB ? AC ,则实数 m 等于(
A.1 B.

5 3

C.2

D.

7 3

【答案】D 【分值】5 分 【解析】∵A(2,m),B(1,2),C(3,1), ∴ 若 =(﹣1,2﹣m), ? =| =(﹣2,1), , =(1,1﹣m),

|,则 2+2﹣m= ,则 m≤4,

即 4﹣m=

平方得 16﹣8m+m2=2﹣2m+m2,即 6m=14.则 m=

= ,故选:D

【考查方向】本题主要考查向量数量积的应用,根据条件求出向量坐标,结合向量模长公式 建立方程是解决本题的关键. 【易错点】向量的坐标,数量积及求模运算。 【解题思路】求出向量坐标,利用向量数量积以及向量模长公式建立方程进行求解即可.
5.如图是一个程序框图,则输出的 n 的值是( )

第页

2

A.4

B.5

C.6

D.7

【答案】B 【分值】5 分 【解析】第一次执行循环体后,p=20,q=1,n=2,不满足 4p<q, 再次执行循环体后,p=10,q=4,n=3,不满足 4p<q, 再次执行循环体后,p= ,q=9,n=4,不满足 4p<q,

再次执行循环体后,p= ,q=16,n=5,满足 4p<q,退出循环 故输出的 n 值为 5,故选:B. 【考查方向】本题考查的知识点是程序框图,当循环的次数不多,或有规律时,常采用模拟 循环的方法解答. 【易错点】循环结构框图的理解。 【解题思路】由已知中的程序框图可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 n 的 值,模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案.
6.已知双曲线 C :

x2 y 2 直线 x ? a 与双曲线 C 的渐近线在第一象 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的右焦点为 F ? c, 0 ? , a 2 b2
1 3


限的交点为 A, O 为坐标原点,若 ?OAF 的面积为 a 2 ,则双曲线 C 的离心率为(

A.

2 3 3

B.

3 2 2

C. 2

D.

13 3

【答案】A 【分值】5 分 【解析】由题意,A(a,b),∵△OAF 的面积为 a2, ∴ bc= a2,∴2c2﹣3bc﹣2b2=0,∴c=2b 或 c=﹣ b(舍去),
第页 3

∴a=

=

b,∴e= =

.故选:A.

【考查方向】本题考查双曲线的离心率的求法,考查化简整理的运算能力,属于中档题. 【易错点】双曲线中 a,b,c 三个量的转化。 【解题思路】利用△OAF 的面积为 a2,建立方程,即可求出双曲线 C 的离心率.
7.已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 a1 ? ?20 .在区间 ? 3,5 ? 内任取一个实数作为数列 ?an ? 的公差, 则 S n 的最小值仅为 S6 的概率为( A. )

1 5

B.

1 6

C.

3 14

D.

1 3

【答案】D 【分值】5 分 【解析】∵Sn 的最小值仅为 S6,∴a6<0,a7>0,∴ ,∴ <d<4,∴Sn 的最

小值仅为 S6 的概率为

= .故选:D.

【考查方向】本题考查概率的计算,考查等差数列前 n 项和的最值,考查学生分析解决问题 的能力. 【易错点】等差数列和的应用,概率的理解。 【解题思路】利用 Sn 的最小值仅为 S6,可得 a6<0,a7>0,求出 最小值仅为 S6 的概率.
? ? 1 ?2 x ?5? ? , ?1 ? x ? 1 ? ? 2 ? ? 8.已知函数 f ? x ? ? ? ,设 m ? n ? ?1 ,且 f ? m ? ? f ? n ? ,则 m?f 4 ? 1? , x ? 1 ? x2 ?
( A.4 ) B.2 C. 2 D. 2 2

<d<4,即可求出 Sn 的

?

2m 的最小值为

?

【答案】D 【分值】5 分 【解析】做出 f(x)的函数图象如图所示:

第页

4

∵f(m)=f(n),m>n≥﹣1,∴1≤m<4, ∴mf( m)=m(1+ )=m+ ≥2 .当且仅当 m= 时取等号.故选:D.

【考查方向】本题考查了分段函数的图象,基本不等式的应用,属于中档题. 【易错点】分段函数在相应区间的图像,均值不等式求最值的应用。 【解题思路】做出 f(x)的图象,根据图象判断 m 的范围,利用基本不等式得出最小值.
9.如图是某几何体的三视图,图中圆的半径为 1,且俯视图中两条半径互相垂直,则该几何体的体积为 ( )

A. 2 ? ?

B.

4? 3

C.

3? 2

D. 2?

【答案】C 【分值】5 分 【解析】由三视图知该几何体是由 个半径为 1 的球和 个底面半径为 1,高为 2 的圆柱组合 而成,其体积为 = π.故选:C.

【考查方向】本题考查三视图求几何体的体积,由三视图正确复原几何体是解题的关键,考 查空间想象能力. 【易错点】三视图还原几何体,几何体的构成。
第页 5

【解题思路】由三视图知该几何体是由 个半径为 1 的球和 个底面半径为 1,高为 2 的圆柱 组合而成,由柱体、锥体的体积公式求出几何体的体积.
10.将函数 f ? x ? ? 2 cos 2 x 的图象向右平移

?
6

个单位后得到函数 g ? x ? 的图象,若函数 g ? x ? 在区间 )

7? ? ? a? ? 0, ? 和 ? 2a, ? 上均单调递增,则实数 a 的取值范围是( ? 6 ? ? 3? ?
A. ?

?? ? ? , ?3 2? ?

B. ?

?? ? ? , ?6 2? ?

C. ?

?? ? ? , ?6 3? ?

D. ?

? ? 3? ? , ?4 8 ? ?

【答案】A 【分值】5 分 【解析】将函数 f(x)=2cos2x 的图象向右平移 =2cos2(x﹣ 由 当 k=0 时,函数的增区间为[ 要使函数 g(x)在区间[0, ]和[2a, )=2cos(2x﹣ ), . ],当 k=1 时,函数的增区间为[ ]上均单调递增, ]. 个单位后得到函数 g(x)的图象,得 g(x)

,得



,解得 a∈[



].故选:A.

【考查方向】本题考查三角函数的图象变换,考查了 y=Asin(ωx+φ)型函数的性质,是中档 题. 【易错点】图像平移变换,单调性含参数讨论。 【解题思路】由函数的图象平移求得函数 g(x)的解析式,进一步求出函数(x)的单调增区 间,结合函数 g(x)在区间[0, ]和[2a, ]上均单调递增列关于 a 的不等式组求解.

11.如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AB ? AC , AB ? AA1 ? 2, AC ?

2 ,过 BC 的中点 D 作平面


ACB1 的垂线,交平面 ACC1 A1 于 E ,则 BE 与平面 ABB1 A1 所成角的正切值为(

第页

6

A.

5 5

B.

5 10

C.

10 10

D.

10 5

【答案】C 【分值】5 分 【解析】连结 A1C,A1B,取 A1C 的中点 E,连结 DE,BE, ∵AC⊥AB,AC⊥AA1,∴AC⊥平面 AA1B1B,∴AC⊥A1B. ∵AB=AA1,∴四边形 AA1B1B 是正方形,∴A1B⊥B1A, ∴A1B⊥平面 B1CD, ∵D 为 BC 的中点,E 为 A1C 的中点,∴DE∥A1B, ∴DE⊥平面 B1CD. 取 A1A 的中点 F,连结 EF,BF,则 EF⊥平面 AA1B1B, ∴∠EBF 为 BE 与平面 ABB1A1 所成角. ∵EF= ∴BF= = ,AF= =1,AB=2, = .故选 C.

,∴tan∠EBF=

【考查方向】本题考查了线面垂直的判定,线面角的计算,属于中档题. 【易错点】线面角的寻求,线面关系的判定 【解题思路】由 A1B⊥平面 B1CD 可知 E 为 A1C 的中点,作出线面角,利用勾股定理即可求 出所求角的正切值.
12.设点 M x1 , f ? x1 ? 和点 N x2 , g ? x2 ? 分别是函数 f ? x ? ? e x ?

?

?

?

?

1 2 x 和 g ? x ? ? x ? 1 图象上的点,且 2


x1 ? 0, x2 ? 0 ,若直线 MN / / x 轴,则 M , N 两点间的距离的最小值为(
A.1 B.2 C.3 D.4

【答案】B 【分值】5 分 【解析】∵当 x≥0 时,f'(x)=ex﹣x>0,∴函数 y=f(x)在[0,+∞)上单调递增. ∵点 M(x1,f(x1))和点 N(x2,g(x2))分别是函数 f(x)=ex﹣ x2 和 g(x)=x﹣1 图 象上的点,且 x1≥0,x2>0,若直线 MN∥x 轴,则 f(x1)=g(x2),即
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=x2﹣

1,则 M,N 两点间的距离为 x2﹣x1= 令 h(x)=ex﹣



+1﹣x1.

+1﹣x,x≥0,则 h′(x)=ex﹣x﹣1,h″(x)=ex﹣1≥0,

故 h′(x)在[0,+∞)上单调递增,故 h′(x)=ex﹣x﹣1≥h′(0)=0, 故 h(x)在[0,+∞)上单调递增,故 h(x)的最小值为 h(0)=1﹣0+1﹣0=2, 即 M,N 两点间的距离的最小值为 2,故选:B. 【考查方向】本题主要考查了利用函数的导数求出函数的单调性以及函数的极值问题,考查 学生分析解决问题的能力,属于中档题. 【易错点】函数导数与单调性的讨论,转化思想的应用。 【解题思路】求出导函数 f′(x),根据题意可知 f(x1)=g(x2),令 h(x)=ex﹣ (x≥0),求出其导函数,进而求得 h(x)的最小值即为 M、N 两点间的最短距离. +1﹣x

第Ⅱ卷
二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)
13.

1? 2 ? x ? 1? ? ? 2 x ? ? 的展开式的常数项为____________. x? ?

6

【答案】60 【分值】5 分 【解析】(2x2﹣ )6 的展开式的通项公式:Tr+1= 分别令 12﹣3r=﹣1,0,解得 r= ,4. =60.故答案为:60. (2x2)6﹣r =(﹣1)r26﹣r x12﹣3r,

取 r=4,∴(x+1)(2x2﹣ )6 的展开式的常数项为 1×

【考查方向】本题考查了二项式定理的应用,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 【易错点】二项式中展开式的搭配问题。 【解题思路】(2x2﹣ )6 的展开式的通项公式:Tr+1=(﹣1)r26﹣r ﹣1,0,解得 r,即可得出.
14.在数列 ?an ? 中, a2 ?

x12﹣3r,分别令 12﹣3r=

3 7 , a3 ? ,且数列 ?nan ? 1? 是等比数列,则 an ? ___________. 2 3

【答案】 【分值】5 分
第页 8

【解析】∵数列{an}中,a2= ,a3= ,且数列{nan+1}是等比数列, 2a2+1=3+1=4,3a3+1=7+1=8, ∴数列{nan+1}是首项为 2,公比为 2 的等比数列, ∴ ,解得 an= .故答案为: .

【考查方向】本题考查数列的通项公式的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等比数 列的性质的合理运用. 【易错点】等比数列的首项,公比,通项。 【解题思路】推导出数列{nan+1}是首项为 2,公比为 2 的等比数列,由此能求出 an.

?x ? 2 y ? 4 ? 0 ? 2 15.如果实数 x, y 满足条件 ? x ? y ? 2 ? 0 ,且 ? x ? a ? ? y 2 的最小值为 6, a ? 0 ,则 a ? ___________. ?2x ? y ? 3 ? 0 ?
【答案】 【分值】5 分 【解析】做出可行域如图所示:

则 O 到可行域的最短距离的平方为( ∵a>0,∴P(﹣a,0)在 x 轴负半轴上,

)2=



∴可行域内的 A 点到 P(﹣a,0)的距离最短. 解方程组 得 A(0,2),∴a2+4=6,解得 a= .故答案为 .

【考查方向】本题考查了简单的线性规划,做出可行域寻找最优解的位置是关键,属于中档 题. 【易错点】平面区域的画法,目标函数的几何意义。
第页 9

【解题思路】做出可行域,则可行域内的点到 P(﹣a,0)的最短距离的平方为 6,利用可行 域判断出最优解的位置,代入距离公式计算即可.
16.已知等腰梯形 ABCD 的顶点都在抛物线 y ? 2 px ? p ? 0 ? 上,且
2

AB / / CD, CD ? 2 AB ? 4, ?ADC ? 600 ,则点 A 到抛物线的焦点的距离是_____________.
【答案】 【分值】5 分 【解析】由题意,设 A(a,1),D(a+ 代入抛物线的方程可得 ∴|AF|=a+ = + = ,2), ,p= .

,∴a= .故答案为:

【考查方向】本题考查抛物线的方程与性质,考查学生的计算能力,属于中档题. 【易错点】抛物线的性质,几何关系的求解。 【解题思路】由题意,设 A(a,1),D(a+ ,2),代入抛物线的方程可得 ,

求出 a,p,即可求出点 A 到抛物线的焦点的距离. 三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的分别为 a, b, c ,且 a cos B ? ? 3c ? b ? cos A . (1)若 a sin B ? 2 2 ,求 b ;

【答案】3 【分值】5 分 【解析】(1)∵ a cos B ? ? 3c ? b ? cos A ,

∵ a sin B ? 2 2 ,∴ b ? 分

a sinB ? 3 .............................5 sin A

【考查方向】本题考查了正弦定理余弦定理,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
第页 10

【易错点】边角统一,三角公式应用。 【解题思路】(1)由 acosB=(3c﹣b)cosA,利用正弦定理可得:sinAcosB=(3sinC﹣sinB) cosA,再利用和差公式、诱导公式可得 cosA= ,sinA= 出.
(2)若 a ? 2 2 ,且 ?ABC 的面积为 2 ,求 ?ABC 的周长.

,再利用正弦定理即可得

【答案】4+2 【分值】7 分 【解析】 (2) ∵ ?ABC 的面积为 2 , ∴
分 ∵a ? 2 2 , ∴ b2 ? c2 ? 分 ∴ ? b ? c ? ? bc ? 8 , 即 ? b ? c ? ? 16 , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2
2

2 得 bc ? 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 bc ? 2 , 3

2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 bc ? 8 , 3

8 3

分 ∵ b ? 0, c ? 0 ,∴ b ? c ? 4 ,.....................................11 分 ∴ ?ABC 的周长为 a ? b ? c ? 4 ? 2 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 分

【考查方向】本题考查了正弦定理余弦定理、三角形面积计算公式,考查了推理能力与计算 能力,属于中档题. 【易错点】面积公式,余弦定理构造方程组求边。 【解题思路】(2)由△ABC 的面积为
18.(本小题满分 12 分) 在一次篮球定点投篮训练中, 规定每人最多投 3 次, 在 A 处每投进一球得 3 分; 在 B 处每投进一球得 2 分. 如 果前两次得分之和超过 3 分就停止投篮;否则投第三次.某同学在 A 处的投中率 q1 ? 0.25 ,在 B 处的投 中率为 q2 ,该同学选择先在 A 处投第一球,以后都在 B 处投,且每次投篮都互不影响,用 X 表示该同学 投篮训练结束后所得的总分,其分布列为:

,可得 bc=3,再利用余弦定理即可得出.

X
第页

0

2

3

4

5
11

P

0.03

p2

p3

p4

p5

(1)求 q2 的值;

【答案】0.8 【分值】2 分 【解析】(1)设该同学在 A 处投中为事件 A ,在 B 处投中为事件 B ,
则事件 A, B 相互独立,且 P ? A ? ? 0.25, P ? A ? ? 0.75, P ? B ? ? q2 , P ? B ? ? 1 ? q2 , 根据分布列知: X ? 0 时, P ? ABB ? ? P ? A ? P ? B ? P ? B ? ? 0.75 ? ?1 ? q2 ? ? 0.03 ,
2

所以 1 ? q2 ? 0.2, q2 ? 0.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 分

【考查方向】本小题主要考查古典概型及其概率计算,通过设置密切贴近现实生活的情境, 考查概率思想的应用意识和创新意识,体现数学的科学价值. 【易错点】独立事件的概率,对立事件的理解。 【解题思路】 (1)记出事件,该同学在 A 处投中为事件 A,在 B 处投中为事件 B,则事件 A, B 相互独立,根据相互独立事件同时发生的概率得到结果.
(2)求随机变量 X 的数学期望 E ? X ? ;

【答案】3.63 【分值】6 分 【解析】(2)当 X ? 2 时, p2 ? P ? ABB ? ABB ? ? P ? ABB ? ? P ? ABB ?

? P ? A ? P ? B ? P ? B ? ? P ? A ? P ? B ? P ? B ? ? 0.75?q2 ?1 ? q2 ? ? 2 ? 0.24 .................3
分 当 X ? 3 时, p3 ? P ? ABB ? ? P ? A ? P ? B ? P ? B ? ? 0.25 ?1 ? q2 ? ? 0.01 ...............4
2

分 当 X ? 4 时,p4 ? P ? ABB ? ? P ? A ? P ? B ? P ? B ? ? 0.75q2 ? 0.48 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2

分 当 X ? 5 时, p5 ? P ? ABB ? AB ? ? P ? ABB ? ? P ? AB ?

? P ? A ? P ? B ? P ? B ? ? P ? A ? P ? B ? ? 0.25q2 ?1 ? q2 ? ? 0.25q2 ? 0.24 ..................6

第页 12

所以随机变量 X 的分布列为

X
P

0 0.03

2 0.24

3 0.01

4 0.48

5 0.24

∴随机变量 X 的数学期望:

E ? X ? ? 0 ? 0.03 ? 2 ? 0.24 ? 3 ? 0.01 ? 4 ? 0.48 ? 5 ? 0.24 ? 3.63 ......................8


【考查方向】本小题主要考查考查取有限个值的离散型随机变量及其分布列和均值的概念, 通过设置密切贴近现实生活的情境,考查概率思想的应用意识和创新意识.体现数学的科学 价值. 【易错点】随机变量的对应各概率的求解。 【解题思路】(2)根据上面的做法,做出分布列中四个概率的值,写出分布列算出期望,过 程计算起来有点麻烦,不要在数字运算上出错.
(3)试比较该同学选择上述方式投篮得分超过 3 分与选择都在 B 处投篮得分超过 3 分的概率的大小.

【答案】该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分的概率大 【分值】4 分 【解析】(3)该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分的概率为
2 2 P ? BBB ? BBB ? BB ? ? P ? BBB ? ? P ? BBB ? ? P ? BB ? ? 2 ?1 ? q2 ? q2 ? q2 ? 0.896 ..........10

分 该同学选择(1)中方式投篮得分超过 3 分的概率为 0.48 ? 0.24 ? 0.72 , 所以该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分的概率大. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 分

【考查方向】本小题主要考查概率计算,通过设置密切贴近现实生活的情境,考查概率思想 的应用意识和创新意识.体现数学的科学价值. 【易错点】概率实际问题中情景理解,概率计算。 【解题思路】(3)要比较两个概率的大小,先要把两个概率计算出来,根据相互独立事件同 时发生的概率公式,进行比较.
19.(本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PD ? 底面 ABCD ,底面 ABCD 是直角梯形,

AB / / DC , AB ? AD, AB ? 3, CD ? 2, PD ? AD ? 5 .

第页

13

(1)在 PD 上确定一点 E ,使得 PB / / 平面 ACE ,并求

PE 的值; ED

【答案】

3 2

【分值】5 分 【解析】(1)连接 BD 交 AC 于 O ,
在 ?PBD 中,过 O 作 OE / / BP 交 PD 于 E ,............................2 分 ∵ OE ? 平面 ACE , PB ? 平面 ACE , ∴ PB / / 平面 ACE ,...........................................3 分 ∵ AB ? 3, CD ? 2 ,∴ 分

AB BO PE 3 ? ? ? ...............................5 CD DO ED 2

【考查方向】本题考查两线段比值的求法,是中档题,解题时要认真审题. 【易错点】线面平行条件的判定 【解题思路】 (1) 连接 BD 交 AC 于 O, 过 O 作 OE∥BP 交 PD 于 E, 推导出 PB∥平面 ACE, 由此能求出 的值.

(2)在(1)条件下,求平面 PAB 与平面 ACE 所成锐二面角的余弦值.

【答案】 【分值】5 分 【解析】(2)以 D 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则

第页

14

A ? 5, 0, 0 ? , C ? 0, 2, 0 ? , D ? 0, 0, 0 ? , E ? 0, 0, 2 ? , P ? 0, 0,5 ? ,
所以 CA ? ? 5, ?2, 0 ? , CE ? ? 0, ?2, 2 ? ....................................6 分 设平面 ACE 的一个法向量为 n ? ? x, y , z ? ,则

??? ?

??? ?

??? ? ? n? CA ? 0 ? 5x ? 2 y ? 0 ? ,即 ? , ? ??? CE ? 0 ??2 y ? 2 z ? 0 ? n?
令 z ? 5 ,则 x ? 2, y ? 5 ,∴ n ? ? 2,5,5 ? ......................8 分 取 PA 的中点为 F ,连接 DF ,∵ AD ? PD ,∴ DF ? PA , 又 AB ? 平面 PAD ,∴ AB ? DF ,则 DF ? 平面 PAB ,..................9 分 即 DF ? ?

????

?5 5? , 0, ? 是平面 PAB 的一个法向量,.....................10 分 ?2 2?

35 ???? ???? n?DF 7 3 2 ? ? ∴ cos n, DF ? ......................11 分 n DF 5 2 18 ?3 6 2
【考查方向】本题考查考查二面角的余弦值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意向 量法的合理运用. 【易错点】平面的法向量,坐标系的准确建立。 【解题思路】(2)以 D 为坐标原点,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出平面 PAB 与 平面 ACE 所成锐二面角的余弦值.
20.(本小题满分 12 分)

? x2 y 2 2? ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的左、右焦点分别为 F1、F2 ,椭圆 C 过点 P ? 1, 2 ? 2 ? ? ,直线 PF1 交 y a b ? ? ???? ? ???? 轴于 Q ,且 PF2 ? 2QO , O 为坐标原点.
已知椭圆 C : (1)求椭圆 C 的方程;
第页 15

【答案】 【分值】5 分
? 1 1 2? 【解析】 (1) ∵椭圆 C 过点 P ? 1, , ∴ 2 ? 2 ? 1 ①, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 ? 2 ? ? a 2b ? ?
分 ∵ PF2 ? 2QO ,∴ PF2 ? F1F2 ,则 c ? 1 ,................................3 分 ∴ a 2 ? b 2 ? 1 ,② 由①②得 a ? 2, b ? 1 ,..........................4 分
2 2

???? ?

????

∴椭圆 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1 .............................5 分 2

【考查方向】本题考查了椭圆的标准方程及其性质. 【易错点】向量的应用,待定系数法求椭圆方程。 【解题思路】 (1)由椭圆 C 过点 ,可得 ,由 =2 ,可得 PF2⊥F1F2,

可得 c=1,及其 a2﹣b2=1,联立解出即可得出.
(2)设 M 是椭圆 C 的上顶点,过点 M 分别作直线 MA, MB 交椭圆 C 于 A, B 两点,设这两条直线的斜率 分别为 k1 , k2 ,且 k1 ? k2 ? 2 ,证明:直线 AB 过定点.

【答案】见解析 【分值】8 分 【解析】(2)当直线 AB 的斜率不存在时,设 A ? x0 , y0 ? ,则 B ? x0 , ? y 0 ? ,由 k1 ? k2 ? 2 得
y0 ? 1 ? y0 ? 1 ? ? 2 ,得 x0 ? ?1 ..........................6 分 x0 x0
当直线 AB 的斜率存在时,设 AB 的方程为 y ? kx ? m ? m ? 1? , A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,

? x2 2 ? ? y ?1 ? ?1 ? 2k 2 ? x 2 ? 4kmx ? 2m 2 ? 2 ? 0 , ?2 ? y ? kx ? m ?
得 x1 ? x2 ?
第页

?4km 2m 2 ? 2 ,......................8 分 , x ? x ? 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
16

k1 ? k2 ? 2 ?

? kx2 ? m ? 1? x1 ? ? kx1 ? m ? 1? x2 ? 2 , y1 ? 1 y2 ? 1 ? ?2? x1 x2 x1 x2

即 ? 2 ? 2k ? x2 x1 ? ? m ? 1?? x2 ? x1 ? ? ? 2 ? 2k ? 2m 2 ? 2 ? ? m ? 1?? ?4km ? , 由 m ? 1, ?1 ? k ?? m ? 1? ? ? km ? k ? m ? 1 ,.....................10 分 即 y ? kx ? m ? ? m ? 1? x ? m ? m ? x ? 1? ? y ? x , 故直线 AB 过定点 ? ?1, ?1? ...................................12 分

?

?

【考查方向】本题考查了直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、斜率计算 公式、向量共线定理,考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力,属于难题. 【易错点】设而不求法,韦达定理,直线恒过定点的转化。 【解题思路】(2)对直线 AB 的斜率分类讨论:当直线 AB 的斜率不存在时,利用 k1+k2=2, 及其斜率计算公式即可得出.当直线 AB 的斜率存在时,设 AB 的方程为 y=kx+m(m≠1), A(x1,y1),B(x2,y2),直线方程与椭圆方程联立化为关于 x 的一元二次方程,利用根与 系数的关系、斜率计算公式即可得出.
21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? ln x ? a x ? ax, a ? R ,且 a ? 0 .
2 2

(1)若函数 f ? x ? 在区间 ?1, ?? ? 上是减函数,求实数 a 的取值范围;

【答案】(﹣∞,﹣ ]∪[1,+∞) 【分值】5 分 【解析】(1)因为函数 f ? x ? 在区间 ?1, ?? ? 上是减函数,则 f ? ? x ? ?
2 2

1 ? 2a 2 x ? a ? 0 , x

即 F ? x ? ? 2a x ? ax ? 1 ? ? 2ax ? 1?? ax ? 1? ? 0 在 ?1, ?? ? 上恒成立..............2 分 当 a ? 0 时,令 F ? x ? ? 0 得 x ? ? ①若 a ? 0 ,则 分 综上,实数 a 的取值范围是 ? ??, ? ? ? ?1, ?? ? .............................5 2

1 1 或x ? , 2a a

1 1 1 ? 1 ,解得 a ? 1 ;② 若 a ? 0 ,则 ? ? 1 ,解得 a ? ? ............4 a 2a 2

? ?

1? ?


第页 17

【考查方向】本题考查了导数和函数的单调性以及最值的关系,和二次函数的性质,考查了 转化能力和运算能力,属于中档题. 【易错点】分类讨论,单调性与导数的关系。 【解题思路】(1)先求导,再分类讨论,根据导数和函数的单调性的关系即可求出 a 的取值 范围,
(2)设函数 g ? x ? ? ? 3a ? 1? x ? a 2 ? a x 2 ,当 x ? 1 时, f ? x ? ? g ? x ? 恒成立,求 a 的取值范围.

?

?

【答案】(﹣1,0] 【分值】5 分 【解析】(2)令 h ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ,则 h ? x ? ? ax 2 ? ? 2a ? 1? x ? ln x ,
根据题意,当 x ? ?1, ?? ? 时, h ? x ? ? 0 恒成立...........................7 分 所以 h? ? x ? ? 2ax ? ? 2a ? 1? ?

1 ? x ? 1?? 2ax ? 1? , ? x x

①当 0 ? a ?

1 ? 1 ? 时, x ? ? , ?? ? 时, h? ? x ? ? 0 恒成立, 2 2 a ? ?

所以 h ? x ? 在 ? 分 ②当 a ?

? ? 1 ? ? ? 1 ? , ?? ? 上是增函数,且 h ? x ? ? ? h ? ? , ?? ? ,所以不符合题意.............9 ? 2a ? ? ? 2a ? ?

1 时, x ? ?1, ?? ? 时, h? ? x ? ? 0 恒成立, 2

所以 h ? x ? 在 ?1, ?? ? 上是增函数,且 h ? x ? ? h ?1? , ?? ,所以不符合题意...............10 分 ③当 a ? 0 时, x ? ?1, ?? ? 时,恒有 h? ? x ? ? 0 ,故 h ? x ? 在 ?1, ?? ? 是减函数, 于是“ h ? x ? ? 0 对任意 x ? ?1, ?? ? 都成立”的充要条件 是 h ?1? ? 0 , 即 a ? ? 2a ? 1? ? 0 ,解得 a ? ?1 ,故 ?1 ? a ? 0 .................11 分 综上, a 的取值范围是 ? ?1, 0 ? ...................12 分

?

?

【考查方向】本题考查了导数和函数的单调性以及最值的关系,和二次函数的性质,考查了 转化能力和运算能力,属于中档题. 【易错点】恒成立问题的转化,分类讨论思想应用。
第页 18

【解题思路】(2)当 x>1 时,f(x)<g(x)恒成立,转化为 lnx﹣x<2ax﹣ax2,在(1,+ ∞)恒成立,构造函数 h(x)=lnx﹣x,利用导数求出函数最值,得到 ax2﹣2ax﹣1<0,在(1, +∞)上恒成立,再分类讨论,根据二次函数的性质即可求出 a 的取值范围. 请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,直线 PA 与圆切于点 A ,过 P 作直线与圆交于 C、D 两点,点 B 在圆上,且 ?PAC ? ?BCD .

(1)求证: ?PCA ? ?BAC ;

【答案】见解析 【分值】5 分 【解析】(1)证明:∵直线 PA 与圆切于点 A,∴∠PAC=∠ABC,…(2 分) ∵∠PAC=∠BCD,∴∠ABC=∠BCD,…(3 分) ∴AB∥PD,…(4 分) ∴∠PCA=∠BAC…(5 分) 【考查方向】本题考查圆的切线的性质,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题. 【易错点】弦切角定理得应用。 【解题思路】(1)证明∠ABC=∠BCD,即可证明 AB∥PD,可得:∠PCA=∠BAC;
(2)若 PC ? 2 AB ? 2 ,求

AP . BC

【答案】 2 【分值】5 分 【解析】2)解:∵∠PCA=∠BAC,∠PAC=∠ABC, ∴△PAC~△CBA,则 ,…(7 分) ,…(9 分)

∵PC=2AB=2,∴AC2=AB?PC=2,即 ∴ …(10 分)

【考查方向】本题考查三角形相似的判定,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题. 【易错点】相似三角形的条件,相似的比例关系。 【解题思路】(2)证明△PAC~△CBA,则
第页 19

,即可求



23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系中,以坐标原点 O 为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知点 M 的极坐标为

? x ? 1 ? 2 cos ? ?? ? ? 2 2, ? ,曲线 C 的参数方程为 ? y ? 2sin ? ( ? 为参数). 4? ? ?
(1)直线 l 过 M 且与曲线 C 相切,求直线 l 的极坐标方程;

【答案】ρsinθ=2 或 4ρcosθ+3ρsinθ﹣8=0 【分值】5 分 【解析】(1)M 的直角坐标为(2,2),曲线 C 的普通方程为(x﹣1)2+y2=4. 设直线 l 的方程为 y=k(x﹣2)+2, 联立方程组 得(1+k2)x2+(4k﹣4k2﹣2)x+4k2﹣8k+1=0,

∵直线 l 与曲线 C 相切,∴(4k﹣4k2﹣2)2﹣4(1+k2)(4k2﹣8k+1)=0, 解得 k=0 或 k=﹣ . ∴直线 l 的方程为 y=2 或 y=﹣ (x﹣2)+2,即 4x+3y﹣8=0, ∴直线 l 的极坐标方程为 ρsinθ=2 或 4ρcosθ+3ρsinθ﹣8=0. 【考查方向】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化,属于中档题. 【易错点】普通方程与极坐标方程,参数方程的转化,直线与圆的位置关系。 【解题思路】(1)设直线 l 的方程为 y=k(x﹣2)+2,圆曲线 C 的普通方程联立消元,令判 别式等于 0 求出 k,得出直角坐标方程,再转化为极坐标方程;
(2)点 N 与点 M 关于 y 轴对称,求曲线 C 上的点到点 N 的距离的取值范围.

【答案】[ 【分值】5 分

﹣2,

+2]

【解析】(2)点 N 的坐标为 N(﹣2,2),C(1,0). CN= = ,圆 C 的半径为 2. +2,最小值为 ﹣2, ﹣2.

∴曲线 C 上的点到点 N 的距离最大值为 曲线 C 上的点到点 N 的距离的取值范围是[

+2].

【考查方向】本题考查了点,直线与圆的位置关系,属于中档题. 【易错点】距离的几何意义,最大值与最小值的求解。 【解题思路】(2)求出 N 到圆心的距离,即可得出最值.
24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲
第页 20

设函数 f ? x ? ? x ? 2 ? x ? a , x ? R . (1)若 a ? 0 ,且 log 2 f ? x ? ? 2 对任意 x ? R 恒成立,求实数 a 的取值范围;

【答案】a<﹣6 【分值】5 分 【解析】 (1)由绝对值的性质得: f ? x ? ? x ? 2 ? x ? a ? x ? 2 ? x ? a ? a ? 2 ,..........2
分 ∵ log 2 f ? x ? ? 2 对任意 x ? R 恒成立, ∴ a ? 2 ? 4 ,解得 a ? ?6或a ? 2 ,......................4 分 ∵ a ? 0 ,∴ 实数 a 的取值范围是 ? ??, ?6 ? ...................5 分

【考查方向】本题考查函数恒成立问题,是中档题. 【易错点】绝对值符号的去掉,恒成立问题的转化。 【解题思路】将不等式恒成立问题转化为函数最值问题求解。
(2)若 a ? 0 ,且关于 x 的不等式 f ? x ? ?

3 x 有解,求实数 a 的取值范围. 2

【答案】a>4 【分值】5 分

??2 x ? 2 ? a, x ? ?2 ? 【解析】 (2) 当 a ? 0 时, f ? x ? ? x ? 2 ? x ? a ? ? a ? 2, ?2 ? x ? a . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 ? 2 x ? 2 ? a, x ? a ?
分 若关于 x 的不等式 f ? x ? ? 分 ∴

3 3 则函数 f ? x ? 的图象与直线 y ? x 有两个交点, . . . . . . . . . . . . 8 x 有解, 2 2

a?2 3 ? ,解得 a ? 4 ,.....................9 分 a 2

∴实数 a 的取值范围是 ? 4, ?? ? .........................10 分

第页

21

【考查方向】本题考查数学转化思想方法和数形结合的解题思想方法,是中档题. 【易错点】作出分段函数图像,构造不等式求解。 【解题思路】结合零点分段法将绝对值符号去掉,画出函数图像,结合图像关系分析解的情 况。

第页

22

参考答案
一、选择题

题号 答案

1 C

2 A

3 B

4 D

5 B

6 A

7 D

8 D

9 C

10 A

11 C

12 B

二、填空题

2n ? 1 13. 60 14. n
三、解答题

15. 2

16.

7 3 12

17.解:(1)∵ a cos B ? ? 3c ? b ? cos A ,

∵ a sin B ? 2 2 ,∴ b ? 分

a sinB ? 3 .............................5 sin A

(2)∵ ?ABC 的面积为 2 ,∴ 分 ∵a ? 2 2 , ∴ b2 ? c2 ? 分

2 bc ? 2 ,得 bc ? 3 .........................7 3

2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 bc ? 8 , 3
2

∴ ? b ? c ? ? bc ? 8 , 即 ? b ? c ? ? 16 , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2

8 3

分 ∵ b ? 0, c ? 0 ,∴ b ? c ? 4 ,.....................................11 分
第页 23

∴ ?ABC 的周长为 a ? b ? c ? 4 ? 2 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 分 18.解:(1)设该同学在 A 处投中为事件 A ,在 B 处投中为事件 B , 则事件 A, B 相互独立,且 P ? A ? ? 0.25, P ? A ? ? 0.75, P ? B ? ? q2 , P ? B ? ? 1 ? q2 , 根据分布列知: X ? 0 时, P ? ABB ? ? P ? A ? P ? B ? P ? B ? ? 0.75 ? ?1 ? q2 ? ? 0.03 ,
2

所以 1 ? q2 ? 0.2, q2 ? 0.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 分 (2)当 X ? 2 时, p2 ? P ? ABB ? ABB ? ? P ? ABB ? ? P ? ABB ?

? P ? A ? P ? B ? P ? B ? ? P ? A ? P ? B ? P ? B ? ? 0.75?q2 ?1 ? q2 ? ? 2 ? 0.24 .................3
分 当 X ? 3 时, p3 ? P ? ABB ? ? P ? A ? P ? B ? P ? B ? ? 0.25 ?1 ? q2 ? ? 0.01 ...............4
2

分 当 X ? 4 时,p4 ? P ? ABB ? ? P ? A ? P ? B ? P ? B ? ? 0.75q2 ? 0.48 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2

分 当 X ? 5 时, p5 ? P ? ABB ? AB ? ? P ? ABB ? ? P ? AB ?

? P ? A ? P ? B ? P ? B ? ? P ? A ? P ? B ? ? 0.25q2 ?1 ? q2 ? ? 0.25q2 ? 0.24 ..................6
分 所以随机变量 X 的分布列为

X
P

0 0.03

2 0.24

3 0.01

4 0.48

5 0.24

∴随机变量 X 的数学期望:

E ? X ? ? 0 ? 0.03 ? 2 ? 0.24 ? 3 ? 0.01 ? 4 ? 0.48 ? 5 ? 0.24 ? 3.63 ......................8
分 (3)该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分的概率为
2 2 P ? BBB ? BBB ? BB ? ? P ? BBB ? ? P ? BBB ? ? P ? BB ? ? 2 ?1 ? q2 ? q2 ? q2 ? 0.896 . . . . . . . . . . . . . . . 10

分 该同学选择(1)中方式投篮得分超过 3 分的概率为 0.48 ? 0.24 ? 0.72 ,
第页 24

所以该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分的概率大. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 分 19.解:(1)连接 BD 交 AC 于 O , 在 ?PBD 中,过 O 作 OE / / BP 交 PD 于 E ,............................2 分 ∵ OE ? 平面 ACE , PB ? 平面 ACE , ∴ PB / / 平面 ACE ,...........................................3 分 ∵ AB ? 3, CD ? 2 ,∴ 分 (2)以 D 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则

AB BO PE 3 ? ? ? ...............................5 CD DO ED 2

A ? 5, 0, 0 ? , C ? 0, 2, 0 ? , D ? 0, 0, 0 ? , E ? 0, 0, 2 ? , P ? 0, 0,5 ? ,
所以 CA ? ? 5, ?2, 0 ? , CE ? ? 0, ?2, 2 ? ....................................6 分 设平面 ACE 的一个法向量为 n ? ? x, y , z ? ,则

??? ?

??? ?

??? ? ? n? CA ? 0 ? 5x ? 2 y ? 0 ? ,即 ? , ? ??? CE ? 0 ??2 y ? 2 z ? 0 ? n?
令 z ? 5 ,则 x ? 2, y ? 5 ,∴ n ? ? 2,5,5 ? ...........................8 分 取 PA 的中点为 F ,连接 DF ,∵ AD ? PD ,∴ DF ? PA , 又 AB ? 平面 PAD ,∴ AB ? DF ,则 DF ? 平面 PAB ,......................9 分

第页

25

即 DF ? ? 分

????

?5 5? , 0, ? 是平面 PAB 的一个法向量,..........................10 ?2 2?

35 ???? ???? n?DF 7 3 2 ? ? ∴ cos n, DF ? ...........................11 n DF 5 2 18 ?3 6 2
分 ∴平面 PAB 与平面 ACE 所成锐二面角的余弦值为 分 20. 解: (1) ∵椭圆 C 过点 P ? 1, 分 ∵ PF2 ? 2QO ,∴ PF2 ? F1F2 ,则 c ? 1 ,................................3 分 ∴ a 2 ? b 2 ? 1 ,② 由①②得 a ? 2, b ? 1 ,..........................4 分
2 2

7 3 .......................12 18

? ? ?

1 1 2? , ∴ 2 ? 2 ? 1 ①, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 ? ? a 2b 2 ?

???? ?

????

∴椭圆 C 的方程为 分

x2 ? y 2 ? 1 .................................5 2

(2)当直线 AB 的斜率不存在时,设 A ? x0 , y0 ? ,则 B ? x0 , ? y 0 ? ,由 k1 ? k2 ? 2 得 得 x0 ? ?1 ..........................6 分

y0 ? 1 ? y0 ? 1 ? ? 2, x0 x0

当直线 AB 的斜率存在时,设 AB 的方程为 y ? kx ? m ? m ? 1? , A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,

? x2 2 ? ? y ?1 ? ?1 ? 2k 2 ? x 2 ? 4kmx ? 2m 2 ? 2 ? 0 , ?2 ? y ? kx ? m ?
得 x1 ? x2 ?

?4km 2m 2 ? 2 , x ? x ? ,......................8 分 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

第页

26

k1 ? k2 ? 2 ?

? kx2 ? m ? 1? x1 ? ? kx1 ? m ? 1? x2 ? 2 , y1 ? 1 y2 ? 1 ? ?2? x1 x2 x1 x2

即 ? 2 ? 2k ? x2 x1 ? ? m ? 1?? x2 ? x1 ? ? ? 2 ? 2k ? 2m 2 ? 2 ? ? m ? 1?? ?4km ? , 由 m ? 1, ?1 ? k ?? m ? 1? ? ? km ? k ? m ? 1 ,.....................10 分 即 y ? kx ? m ? ? m ? 1? x ? m ? m ? x ? 1? ? y ? x , 故直线 AB 过定点 ? ?1, ?1? ...................................12 分 21.解:(1)因为函数 f ? x ? 在区间 ?1, ?? ? 上是减函数,则 f ? ? x ? ?
2 2

?

?

1 ? 2a 2 x ? a ? 0 , x

即 F ? x ? ? 2a x ? ax ? 1 ? ? 2ax ? 1?? ax ? 1? ? 0 在 ?1, ?? ? 上恒成立..............2 分 当 a ? 0 时,令 F ? x ? ? 0 得 x ? ? ①若 a ? 0 ,则 分 综上,实数 a 的取值范围是 ? ??, ? ? ? ?1, ?? ? .............................5 2

1 1 或x ? , 2a a

1 1 1 ? 1 ,解得 a ? 1 ;② 若 a ? 0 ,则 ? ? 1 ,解得 a ? ? ............4 a 2a 2

? ?

1? ?

分 (2)令 h ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ,则 h ? x ? ? ax ? ? 2a ? 1? x ? ln x ,
2

根据题意,当 x ? ?1, ?? ? 时, h ? x ? ? 0 恒成立...........................7 分 所以 h? ? x ? ? 2ax ? ? 2a ? 1? ?

1 ? x ? 1?? 2ax ? 1? , ? x x

①当 0 ? a ?

1 ? 1 ? 时, x ? ? , ?? ? 时, h? ? x ? ? 0 恒成立, 2 ? 2a ?

所以 h ? x ? 在 ? 分 ②当 a ?

? ? 1 ? ? ? 1 ? , ?? ? 上是增函数,且 h ? x ? ? ? h ? ? , ?? ? ,所以不符合题意.............9 ? 2a ? ? ? 2a ? ?

1 时, x ? ?1, ?? ? 时, h? ? x ? ? 0 恒成立, 2

所以 h ? x ? 在 ?1, ?? ? 上是增函数,且 h ? x ? ? h ?1? , ?? ,所以不符合题意...............10
第页 27

?

?

分 ③当 a ? 0 时, x ? ?1, ?? ? 时,恒有 h? ? x ? ? 0 ,故 h ? x ? 在 ?1, ?? ? 是减函数, 于是“ h ? x ? ? 0 对任意 x ? ?1, ?? ? 都成立”的充要条件 是 h ?1? ? 0 , 即 a ? ? 2a ? 1? ? 0 ,解得 a ? ?1 ,故 ?1 ? a ? 0 .................11 分 综上, a 的取值范围是 ? ?1, 0 ? ...................12 分 22.(1)证明:∵直线 PA 与圆切于点 A ,∴ ?PAC ? ?ABC ,..................2 分 ∵ ?PAC ? ?BCD ,∴ ?ABC ? ?BCD ,......................3 分 ∴ AB / / PD ,.........................4 分 ∴ ?PCA ? ?BAC .................................5 分 (2)解:∵ ?PCA ? ?BAC , ?PAC ? ?ABC , ∴ ?PAC ? ?CBA ,则 分 ∵ PC ? 2 AB ? 2 , ∴ AC 2 ? AB ?PC ? 2 , 即 AC ? 分 ∴

PC AC PA ,.............................7 ? ? AC AB BC

2 ,.........................9

AP AC ? ? 2 ..............................10 分 BC AB
2

23. 解: (1) 由题意得点 M 的直角坐标为 ? 2, 2 ? , 曲线 C 的一般方程为 ? x ? 1? ? y 2 ? 4 . . . . . . . . . . 2 分 设直线 l 的方程为 y ? 2 ? k ? x ? 2 ? ,即 kx ? y ? 2k ? 2 ? 0 ,.................3 分 ∵直线 l 过 M 且与曲线 C 相切,∴ 即 3k 2 ? 4k ? 0 ,解得 k ? 0或k=-

k ?2 1? k 2

? 2 ,....................4 分

4 ,....................5 分 3

∴直线 l 的极坐标方程为 ? sin ? ? 2 或 4 ? cos ? ? 3? sin ? ? 14 ? 0 , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 分 (2)∵点 N 与点 M 关于 y 轴对称,∴点 N 的直角坐标为 ? ?2, 2 ? ,..................7 分

第页

28

则点 N 到圆心 C 的距离为 分

? ?2 ? 1?

2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 ? 22 ? 13 ,

曲线 C 上的点到点 N 的距离的最小值为 13 ? 2 , 最大值为 13 ? 2 , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 分 曲线 C 上的点到点 N 的距离的取值范围为 ? 13 ? 2, 13 ? 2 ? ..................10

?

?

分 24.解: (1)由绝对值的性质得: f ? x ? ? x ? 2 ? x ? a ? x ? 2 ? x ? a ? a ? 2 ,..........2 分 ∵ log 2 f ? x ? ? 2 对任意 x ? R 恒成立, ∴ a ? 2 ? 4 ,解得 a ? ?6或a ? 2 ,......................4 分 ∵ a ? 0 ,∴ 实数 a 的取值范围是 ? ??, ?6 ? ...................5 分

??2 x ? 2 ? a, x ? ?2 ? (2) 当 a ? 0 时, f ? x ? ? x ? 2 ? x ? a ? ? a ? 2, ?2 ? x ? a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 ? 2 x ? 2 ? a, x ? a ?
分 若关于 x 的不等式 f ? x ? ? 分 ∴

3 3 则函数 f ? x ? 的图象与直线 y ? x 有两个交点, . . . . . . . . . . . . 8 x 有解, 2 2

a?2 3 ? ,解得 a ? 4 ,.....................9 分 a 2

∴实数 a 的取值范围是 ? 4, ?? ? .........................10 分

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