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数学高一(上)沪教版(函数的性质——奇偶性(二))学生版


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精锐教育学科教师辅导讲义
年 课 级:高一 题 辅导科目: 数学 课时数:3

函数的性质---奇偶性(二)
1、 掌握函数奇偶性的概念,并能判断一些简单函数的奇偶性; 掌握函数的继续偶性与函数图像的关系。 教学内容

教学目的

【知识梳理】
问题思考: 1、 什么是奇函数(偶函数)? 2、 如何判断函数的奇偶性? 3、 函数的就奇偶性进行分类,有哪几类?

【典型例题分析】
例 1、设 f ? x ? 为奇函数, g ? x ? 为偶函数,且 f ? x ? ? g ? x ? ?

1 ? x ? 0,1, ?1? ,求 f ? x ? 和 g ? x ? 的解析式。 x ?x
2

变式练习 1:已知 f ? x ? 是偶函数, g ? x ? 是奇函数,定义域都是 x x ? R, 且x ? ?1 , 且f ? x ? ? g ? x ?

?

?

?

1 ,则 f ? x ? ? ________________ x ?1

变式练习 2:任意一个定义域为对称区间的函数 f(x),都可以表示成一个奇函数和一个偶函数的和,即 f(x)=

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中小学个性化教育专家 例 2、已知 f ? x ? 为奇函数,且当 x ? 0 时, f ? x ? ? x x ? 3 ,求 x ? 0 时, f ? x ? 的解析式。

变式练习 1:若 f ? x ? 为奇函数,当 x ? 0 时, f ? x ? ? x ?1 ? x ? ,则当 x ? 0 时, f ? x ? 的解析式是( A



x ? x ?1?

B

?x ? x ?1?

C

x ? x ? 1?

D

?x ? x ?1?

变式练习 2:已知 f ? x ? 是 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时, f ? x ? ? x2 ?1 ? x ? ,求 f ? x ? 的解析式。

例 3、已知函数 f ? x ? 对一切 x, y ? R ,都有 f ? x ? ? f ? y ? ? f ?

? x? y ? ? ,求证: f ? x ? 为奇函数。 ? 1 ? xy ?

变 式 练 习 1 : . 设 函 数 f ? x ? 的 定 义 域 是 R , 且 f ? x ? y ? ? f ? x ? ? f ? y ? , 对 任 意 x, y 恒 成 立 , 则 f ? x ? 是 ( ) A 偶函数 C 奇函数 B 既是偶函数又是奇函数 D 既非偶函数又非奇函数

变式练习 2:已知函数 f ( x ) 对任意的实数想,x,y 均有

f ( x) ? f ( y ) ? 2 f (

x? y x? y )f( ), f (0) ? 0, 且存在非零常数c使f (c) ? 0 2 2

(1) 求 f(0)的值 (2) 讨论函数 f(x)奇偶性

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ax 2 ? 1 例 4、已知函数 f ? x ? ? ? a, b, c ? Z ? 是奇函数,又 f ?1? ? 2, f ? 2? ? 3 ,求函数 f ? x ? 的值域。 bx ? c

练习:函数 f ? x ? ? ax5 ? 6x3 ? cx ? 2 ,若 f ? 5? ? 10 ,求 f ? ?5?

例 5、函数 f ? x ? 的定义域为 R,若 f ? x ? 1? 与 f ? x ?1? 都是奇函数,则 A f ? x ? 是偶函数 C f ? x ? ? f ? x ? 2? 例 6、小题组训练 (1) 函数f ( x) ? x x ? a ? b是奇函数的充要条件( A 、ab=0 B、a+b=0 C、a=b B f ? x ? 是奇函数 D f ? x ? 3? 是奇函数







D、a2+b2=0 )

(2)已知函数 f(x)偶函数,其图像与 x 轴有四个交点,则方程 f(x)=0 的所有实根之和等于( A、4 B、2 C、1 D、0

(3) 函数f ( x) ? ?

? x(1 ? x),( x ? 0) ? x(1 ? x),( x ? 0)





A、是奇函数单不是偶函数 B、是偶函数单不是奇函数 C、既是奇函数又是偶函数 D、既不是奇函数也不是偶函数

【课堂小练】
一、基础巩固 1.判断 f ? x ? ? ? x ? 1?
2

1? x 的奇偶性__________________ 1? x

2.函数 y ? x ? 2 ? m ?1? x ? 2 是偶函数,则 m ? ______________

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中小学个性化教育专家 3.若 f ? x ? ? ax ? bx3 ? 1 ( a , b 是常数) ,且 f ?1? ? 2 ,则 f ? ?1? ? ________ 4. 函数 f ? x ? 是 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ? x ? ? 2x ? 5 ,则当 x ? 0 时, f ? x ? ? _______ 5.函数 f ? x ? ? A 0 ? a ?1

a ? x2 为奇函数的充要条件是 x ?1 ?1
B 0 ? a ?1 C

( D



a ?1

a ?1

6.设函数 f ? x ? ? x x ? bx ? c ,给出下列四个命题:① c ? 0 时, f ? x ? 是奇函数;②

b ? 0, c ? 0 时,方程 f ? x ? ? 0 只有一个实根;③ f ? x ? 的图像关于 ? 0, c ? 对称;④方程

f ? x ? ? 0 至多有两个实根。
其中命题正确的是 A ①④ 二、能力提升 7.若 f ? x ? 是 R 上的奇函数,则 f 1 ? 2 ? f ? ( B ①③ C ①②③ D ①②④ )

?

?

?

1 ? ? ? ______________ ? 1? 2 ?

8. 已 知 函 数 f ? x ? , g ? x ? 的 定 义 域 为 R , f ? x ? 是 奇 函 数 , g ? x ? 是 偶 函 数 , 用 定 义 域 讨 论 函 数

F ? x ? ? ? f ? x ?? ? 3g ? x ? 的奇偶性。
2

三、开放探究 9.已知 f ? x ? ? ? m ? 1? x ? ? n ? 2? x ? ? m ? 1? ,问: (1)当 m, n 为何值时, f ? x ? 是奇函数; (2)当 m, n 为何值时,
2

f ? x ? 是偶函数。

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中小学个性化教育专家 四、高考体验 10.已知函数 f ? x ? 是定义在实数集 R 上的不恒为零的偶函数,且对任意实数 x 都有 xf ? x ?1? ? ?1 ? x ? f ? x ? ,则

? f? ?
A0

? 5 ?? f ? ? ? 的值是 ? 2 ??
B





1 2

C1

D

5 2

【课堂总结】
1、 判断函数的奇偶性一定先看定义域 2、 函数奇偶性的证明必须严格按照定义去证明

【课后练习】
1.判断下列函数的奇偶性: (1) f ? x ? ? 2x4 ? 3x2 (2) f ? x ? ? x0 (3) f ? x ? ?

x ?1 ? 1 ? x

2 (4) f ? x ? ? x , x ? ?1,1?

?

? x ?1 ? x ? , x ? 0 ? (5) f ? x ? ? ?0, x ? 0 ?x 1? x , x ? 0 ? ? ?

2.设函数 f ? x ? 的定义域是 ? ??, ??? ,且 f ? x ? 不恒等于零,瑞对于任意 x ? R 满足

f ? x ? y ? ? f ? x ? ? f ? y ? ,判断 f ? x ? 的奇偶性,若满足 f ? x ? y ? ? f ? x ? ? f ? y ? 又
怎么判断其奇偶性了?

3.已知 F ? x ? ? ?1 ?

? ?

2 ? ? f ? x ? , ? x ? 0 ? 是偶函数,且 f ? x ? 不恒等于零,判断 f ? x ? 的奇偶性。 2 ?1 ?
x

4.设 f ? x ? ? ax ? bx ? cx ? 1 ,若 f ? ?? ? ? _____________
5 3

5.我们称一个函数图像关于某点成中心对称或关于某对称轴的函数为自对称函数。 奇函数与偶函数的图像都是自对称 图形,是否有非奇非偶函数为自对称函数,请举例加以说明_____________

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中小学个性化教育专家 6.若函数 f ? x ? 是定义在 R 上的奇函数,且 f ? x ? 1? ? f ? ? x ? ;又当 0 ? x ? 1 时,有 f ? x ? ? x ,则 f ?1.5? 的值是 ___________ 7.对于定义域是 R 的任意奇函数 f ? x ? 都有 ( A f ? x ? ? f ? ?x ? ? 0 ? x ? R ? C f ? x ? f ? ?x ? ? 0 ? x ? R? )

B f ? x ? ? f ? ?x ? ? 0 ? x ? R ? D f ? x ? f ? ?x ? ? 0 ? x ? R?

8.设 f ? x ? 是定义 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ? x ? ? 2x ? x ?1? ?1 ,求 f ? x ? 的解析式

9.设 f ? x ? 是定义 R 上的奇函数, g ? x ? 是定义 R 上的偶函数, (1)判断 F ? x ? ? ? ? f ? x ?? ? ? 3g ? x ? 的奇偶性;
2

(2)若 3 f ? x ? ? 3g ? x ? ? 6x2 ? 2x ? 3 ,求 f ? x ? , g ? x ? 的解析式。

10.(1)求证:定义在 ? ??, ??? 上的任意函数 f ? x ? 都可以表示成一个奇函数 g ? x ? 和一个偶函数 h ? x ? 之和; (2)若 f ? x ? ?

x 2 ? x ? 1 ,求 g ? x ? 和 h ? x ?

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11. 已知函数 f ( x ) 是定义在实数集 R 上的不恒为 零的偶函数,且对任意实数

x 都有 xf ( x ? 1) ? (1 ? x) f ( x) ,则

5 f ( f ( )) 的值是 2
A.0 B.

1 2

C.1

D.

5 2
1 1 ,则 f ( ) = x ?1 2

12.若 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x<0 时, f ( x) ? 13.已知函数



f ( x) ? x2 ? 2 | x | .

(Ⅰ )判断并证明函数的奇偶性; (Ⅱ )画出函 数 g ?x ? ? f (4 ? x) 的图象,并比较 g ?? 1?与g (6) 大小

14.已知

1? ? 1 f ? x? ? x ? x ? ? ? x ? 0? , ? 2 ?1 2 ?

⑴判断 f ? x ? 的奇偶性; ⑵证明 f ? x ? ? 0 .

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