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高中数学复习


必修1

北师大版_高一数学必修1 专题课件 第一章 集合

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考纲解读
1.集合的含义与表示 (1)了解集合的含义、元素与集合的“ 属于”关系. (2)能用自然语言、图形语言、集合语 言(列举法或描述法)描述不同的具体问题. 2.集合间的基本关系 (1)理解集合之间包含与相等的含义, 能识别给定集合的子集. (2)在具体情境中,了解全集与空集的 含义.

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考纲解读
3.集合的基本运算 (1)理解两个集合的并集与交集的含 义,会求两个简单集合的并集与交集. (2)理解在给定集合中一个子集的补 集的含义,会求给定子集的补集. (3)能使用韦恩(Venn)图表达集合的 关系及运算.

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命题探究
1.集合是高中数学中的重要内容之 一,也是数学知识的重要工具.本章内容 在每年高考中必有考查,总体来说这部分 题目有如下特点:(1)多以选择题、填空题 形式出现,有时是解答题的一个步骤;(2) 常以集合为载体与函数、不等式、解析几 何等知识结合考查;(3)命题常注重Venn 图、数轴,以考查数形结合思想.

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命题探究
2.高考重点考查集合间的基本关 系和集合的基本运算,如2009年高考安 徽卷理第2题,陕西卷理第1题,山东卷 理第1题等.

基础知识梳理
1.集合的含义及表示 (1)集合中元素的三个特性: 确定性 、 互异性 、无序性 . (2)集合中元素与集合的关系 文字语言 属于 不属于 符号语言 ∈ ?

基础知识梳理
(3)常见集合的符号表示
数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集

符号

N

N+

Z

Q

R

(4)集合的表示法: 列举法 、 描述法 、 Venn图法.

基础知识梳理
2.集合间的基本关系 (1)一般地,对于两个集合A、 B,如果 集合A中任意一个元素都是 集合B中的元素 ,我们就说这两个集 合有包含关系,称集合A为集合B的 子集,记作 A?B(或B?A) . (2)对于两个集合A、B,若 A?B 且 B?A ,则称集合A与集合B相等, 记作A=B.

基础知识梳理
(3)如果集合A?B,但存在元素x∈B, 且x?A,我们称集合A是集合B的 真子集 , B(或 B? A) . 记作 A? (4)不含任何元素的集合叫做 空集 , 记作 ? ,并规定:空集是任何集合的子 集.

基础知识梳理
集合{?}是空集吗??、{0}、{?} 之间有何关系?
【思考· 提示】 不是.?是不含 任何元素的集合,因此有? 集合,有? {?}. {0}.若 把?当作元素,有?∈{?},若把?当作

基础知识梳理
3.集合的基本运算
集合的并集 符号 表示 集合的交集 集合的补集 若全集为U,则集 合A的补集为 ?UA

A∪B

A∩B

图形 表示

基础知识梳理
集合的并集 意义 {x| x∈A,或 x∈ B } A?A∪B B? A∪B A∪B=B ?A ? B 集合的交集 {x|x∈A,且 x∈B} A∩B ? A A∩B?B A∩B=A ?A ? B 集合的补集 ?UA= {x|x∈U, 且x?A } ?U(A∩B)= ?UA∪?UB ?U(A∪B)= ?UA∩?UB

性质

三基能力强化
1 .已知集合 P = {x|x≤2 + 3 , x∈R},a= 2+ 5,则下列关系中正 确的是( )

A.a?P C.a?P 答案:D

B.{a}∈P D.{a}?P

三基能力强化
2.(教材习题改编)设全集为R,A= {x|-2≤x≤2},B={x|x<1},则(?RA)∩(?RB) 等于( ) A.{x|x<-2} B.{x|x>2} C.{x|x<1} D.{x|-2≤x<1} 答案:B

三基能力强化
3.(2009年高考海南卷改编)已知 集合A={1,3,5,7,9},B={0,3,6,9,12}, 则A∪B等于( ) A.{3,9} B.{3,6} C.{0,1,3,5,6,7,9,12} D.{0,1,3,3,5,6,7,9,12} 答案:C

三基能力强化
4.若集合A={x|x≤2},B={x|x≥a}, 满足A∩B={2},则实数a=________. 答案:2 5.集合A={x|x2+x-6=0},B= {x|ax+1=0},若B?A,则a=________.
1 1 答案: ,0 或- 3 2

课堂互动讲练
考点一 集合的基本概念

掌握集合的概念的关键是把握集 合中元素的三大特性,要特别注意集 合中元素的互异性,这一点在解题过 程中最易被忽视,因此要针对结果加 以检验,以确保结果的正确性.

课堂互动讲练
例1
有三个实数构成的集合,既可

b 2 以表示为{a, , 1} , 也可表示为 { a , a a+b,0},求 a2010+b2010 的值.

课堂互动讲练
【思路点拨】 根据集合中元素的确 定性可知两集合的元素是相同的, 这样需 列方程组分类讨论, 复杂又繁琐. 若能发 b 现 0 这个特殊元素和a中的 a 不为 0 这一 隐含信息,可快速求出 a,b 的值.

课堂互动讲练
【解】 b 由已知得a=0 及 a≠0,所以 b=0.

于是a2=1,即a=1或a=-1. 当a=1时不满足集合中元素的互异 性,舍去.因而a=-1, ∴a2010+b2010=(-1)2010=1. 【失误点评】 求得a的值,对是否 满足条件不作检验易导致错误的结果.

课堂互动讲练
跟踪训练
1.若 a,b∈R,集合{1,a+b,a} b ={0,a,b},求 b-a 的值. b 解:由{1,a+b,a}={0,a,b},
可得 a=0(舍去)或 a+b=0. b ∴a=-b,∴a=-1, ∴b=1,a=-1. ∴b-a=1-(-1)=2.

课堂互动讲练
考点二

集合与集合间的基本关系

解决集合与集合之间的关系问题,常 用的方法有:特征分析法,元素分析法, 图示法,其中图示法就是利用Venn图或数 轴或平面图形把两个集合表示出来,再判 断它们之间的关系.一般地,元素分析法 和图示法能使集合具体化、形象化,从而 降低思维难度,简化解题过程.

课堂互动讲练
例2
已知集合 M={x|0<ax+1≤5}, 集合

1 N={x|- <x≤2}. 2 (1)若M?N,求实数a的取值范围; (2)若N?M,求实数a的取值范围; (3)M、N能否相等?若能,求出a的 值;若不能,说明理由.

课堂互动讲练
【思路点拨】 根据集合间的基 本关系,构造关于a的不等式,要注 意讨论a的取值. 【解】 (1)由0<ax+1≤5得-1<ax≤4. 当a=0时,M=R,不满足M?N;
1 4 当 a>0 时,M={x|-a<x≤a};

课堂互动讲练
? ?- 1 ≥ - 1 ? a 2 若 M?N,则? ?4 ≤2 ? ?a

,解得 a≥2.

4 1 当 a<0 时,M={x|a≤x<-a},
? ?4 >- 1 ?a 2 若 M?N,则? ? 1 - ≤2 ? ? a

,解得 a<-8.

课堂互动讲练
综上,若M?N,则实数a的取值 范围为{a|a<-8或a≥2}. (2)由(1)知,当a=0时,M=R, 满足N?M;

? ?- 1 ≥ - 1 ? 2 a 当 a>0 时,若 N?M,则? 4 ? 2≤a ? ?



解得 0<a≤2.

课堂互动讲练
? ?4 ≤ - 1 ?a 2 当 a<0 时,若 N?M,则? ? 1 -a>2 ? ?



1 解得- <a<0. 2 综上,满足 N?M 的 a 的取值范围为 1 {a|- <a≤2}. 2

课堂互动讲练
(3)若 M=N,由(1)知 a≠0. ? ?-1=-1 ? a 2 当 a>0 时,由? ,解得 a=2, ?4 = 2 ? ?a 即 a=2 时满足 M=N. ? ?4=-1 ?a 2 当 a<0 时,由? ,无解. ? 1 - a= 2 ? ? 综上,若 M=N,a 的值为 2.

课堂互动讲练
【名师点评】 利用集合的关系 考查不等式、函数的性质是高考中常 见的一种题型,在解决不等式表示数 集的问题时常要用到韦恩图和数轴, 韦恩图适用于有限集,数轴适用于实 数集,但是要注意的问题是不等式边 界的等号的取值.

课堂互动讲练
互动探究 2.若将例2中的集合M改为M ={x|a+1≤x≤2a-1},第(1),(2)题 如何求解? 答案:(1){a|a<2} (2)不存在

课堂互动讲练
考点三
集合的运算

在进行集合的运算时,先看清集合 的元素和所满足的条件,再把所给集合 化为最简形式,并合理转化求解,必要 时充分利用数轴、韦恩图、图像等工 具,并会运用分类讨论、数形结合等思 想方法,使运算更加直观、简洁.

课堂互动讲练
例3 (2009年高考安徽卷)若集合 A={x|(2x+1)(x-3)<0},B= {x∈N+|x≤5},则A∩B是( ) A.{1,2,3} B.{1,2} C.{4,5} D.{1,2,3,4,5}

课堂互动讲练

【思路点拨】 根据一元二次不 等式的解法,求出集合A,根据集合B 的特点把集合B中的元素列举出来, 求其公共元素即可.

课堂互动讲练
1 【解析】 依题意 A = {x| - 2 <x<3},B={1,2,3,4,5}, ∴A∩B={1,2},故选 B.

【答案】

B

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【思维升华】 解决此类问题的关 1 键是将集合 A={x|- <x<3}中的整数 2 点找出来,再利用韦恩图或者数轴解 决.可以直观地看出 A∩B={1,2}.

课堂互动讲练
跟踪训练
2x+ 2 3.已知集合 A={x| <1},B={x|x2 x- 2 +4x-5>0},求 A∩B. 2x+ 2 解:∵ <1?(x+4)(x-2)<0, x- 2 ∴A={x|-4<x<2}. 又x2+4x-5>0?(x+5)(x-1)>0, ∴B={x|x<-5或x>1}, ∴A∩B={x|1<x<2}.

课堂互动讲练
考点四 与集合有关的新概念问题

与集合有关的新概念问题属于信息 迁移类问题,是近几年高考的热点问 题.在新给出的运算法则的前提下,将 题目中的条件转化成符合新的运算法则 的形式,是解答此类问题的关键.

课堂互动讲练
例4
(满分展示)(本题满分 12 分) 3 1 设数集 M = {x|m≤x≤m + } , N = {x|n - 4 3 ≤x≤n},且 M、N 都是集合{x|0≤x≤1}的子 集, 如果把 b-a 叫作集合{x|a≤x≤b}的“长 度”,求集合 M∩N 的“长度”的最小值.

课堂互动讲练
【思路点拨】 首先要明确集合 “ 长

度”的含义,而集合 M 与 N 的“长度”分 3 1 别为 和 , 要想 M∩N 的“长度”最小, 只 4 3 要两集合重复部分最少就行了.

课堂互动讲练
【解】 由已知可得 易知M、N一定不为?,

?m≥0 ? ? 3 ?m+ ≤1 4 ? ? 1 ?n - ≥ 0 3 ? ? ?n≤1

1 ,即 0≤m≤ ;2 分 4 1 ,即 ≤n≤1. 3

4分

课堂互动讲练
取字母m的最小值0,字母n的最大值1,
3 2 可得 M=[0, ],N=[ ,1] 8分 4 3 3 2 2 3 ∴M∩N=[0, ]∩[ ,1]=[ , ] 10 分 4 3 3 4 3 2 1 此 时 集 合 M∩N 的 “ 长 度 ” 为 - = 4 3 12 12 分

课堂互动讲练
【误区警示】 对M∩N的“长度” 规定理解不透,可能导致求解此题没 有方向.

课堂互动讲练
自我挑战
4.(本题满分12分)对任意两个正整数 m、n,定义某种运算(用?表示运算符号): 当m、n都是正偶数或都是正奇数时,m?n =m+n(如4?6=4+6=10,3?7=3+7=10 等);当m、n中有一个是正奇数,另一个为 正偶数时,m?n=mn(如3?4=3×4=12, 4?3=4×3=12等),在上述定义下,求集合 M={(m,n)|m?n=36,m,n∈N+}中元素 的个数.

课堂互动讲练
解:(1)当m、n都是正偶数或都 是正奇数时,m?n=m+n=36,
?m=1, ?m=2, ∴? 或? 或? ?n=35, ?n=34, ?m=35, 或? ?n=1,

4分

即此时有35个元素; 6分

课堂互动讲练
(2)当m、n中有一个是正奇数, 另一个是正偶数时, ∵m?n=mn=36,
?m=1, ?m=36, ∴? 或? 或 ?n=36, ?n=1, ?m=3, ? ?n=12,

课堂互动讲练
?m=12, ?m=4, 或? 或? 或 ?n=3, ?n=9, ?m=9, ? ?n=4,

即此时有6个元素. 10分 综上,可得M中共有6+35= 41个元素. 12分

规律方法总结
1.用列举法写出的集合,本身 隐含了元素互不相等的事实,要注意 在解题中根据元素的互异性对一些值 进行取舍,并且还要注意元素的无序 性,而不能简单对应. 2.在集合之间的关系中,?是非 常活跃的集合,容易疏漏,并且集合 的子集情况多样,要注意分类讨论.

规律方法总结
3.用描述法表示集合,首先应清楚集 合的类型和元素的性质,如集合{y|y=2x}, {x|y=2x},{(x,y)|y=2x}表示不同的集合. 4.在进行集合的运算时要尽可能地借 助韦恩图和数轴使抽象的问题直观化.一 般地,集合元素离散时可用韦恩图表示, 集合元素连续时可用数轴表示,用数轴表 示时,注意端点值的取舍.

规律方法总结
5.对于某些问题,如果从正面求 解较困难时,则采用“正难则反”的解题 策略.具体地说,就是将研究对象的全 体视为全集,求出使问题反面成立的集 合A,则集合A的补集即为所求.

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