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高二数学课件-高二数学课件:第6章算术平均数与几何平均数 最新


2018年8月1日星期三 知识回顾: 定理1.a ? b ? b ? a(对称性) 定理2.a ? b且b ? c ? a ? c(传递性) 定理3.a ? b ? a ? c ? b ? (同加性) c 推论:a ? b且c ? d ? a ? c ? b ? d (同向不等式的可加性) 定理4.(同乘性) a ? b且c ? 0 ? ac ? bc; a ? b且c ? 0 ? ac ? bc. 推论(非负同向不等式的可乘性) 1. a ? b ? 0且c ? d ? 0 ? ac ? bd 推论2 ( . 非负不等式乘方性质) a ? b ? 0 ? a ? b(其中n ? N ) n n * 定理5 ( . 非负不等式开方性质) a ? b ? 0 ? a ? (其中 b n ? N 且n ? 1 ) n n * 新课讲解: 1. 定理1.如果 a, b ? R,那么 a 2 ? b 2 ? 2ab (当且仅当a 证明: 2 2 ? b 时取“=”) 2 a ? b ? 2ab ? (a ? b) 2 当a ? b时, ( a ? b) ? 0 ? 2 2 ? ? a ? b ? 2ab 2 当a ? b时, ( a ? b) ? 0? 1.指出定理适用范围:a, b ? R 2.强调取“=”的条件: a?b 2. 定理2:如果 a , b是正数,那么a ? b ? (当且仅当 a ? b时取“=”) 2 ab 证明:∵ ( a )2 ? ( b )2 ? 2 a b ∴ a ? b ? 2 ab a?b ? ab 即: 2 a?b 当且仅当 a ? b 时, ? ab 2 a?b 为 a , b 的算术平均数, 称 2 称 ab 为 a , b 的几何平均数。 a, b ? R 注意:1.这个定理适用的范围: ? 2.语言表述:两个正数的算术平均数不小于 它们的几何平均数。 a?b 我们把 看做两个正数a , b 的等差中项, 2 ab 看做正数 a , b 的等比中项,那么定理2可以 叙述为:两个正数的等差中项不小于它们的等比中项。 3.关于“平均数”的概念: 1.如果a1、a2、 、an ? R , n ? 1且n ? N ? * 则: a1 ? a 2 ? ? ? a n 叫做这n个正数的算术平均数。 n n a1a2 ?an 叫做这n个正数的几何平均数。 2.基本不等式: a1 ? a2 ? n ? an ? n a1a2 an 其中a1、a2、、 ... an ? R ?,n ? N * 语言表述:n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 a?b 4. ? ab 的几何解释: 2 以 AB ? a ? b 为直径作圆, 取C使AC=a,CB=b, 过C作弦DD’?AB 则 CD 2 ? CA ? CB ? ab D 从而 CD ? ab B A a C b D’ a?b 而半径 ? CD ? ab 2 5.举例: 例1.已知 a, b, c ? R 2 2 2 求证: a ? b ? c ? ab ? bc ? ca 证:∵ a 2 ? b2 ? 2ab b2 ? c2 ? 2bc c ? a ? 2ca 2 2 以上三式相加: 2(a2 ? b2 ? c2 ) ? 2ab ? 2bc ? 2ca ∴ a ? b ? c ? ab ? bc ? ca 2 2 2 6.小结:算术平均数、几何平均数的概念 基本不等

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