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《椭圆的参数方程》课件


椭圆的参数方程
.

复习

圆的参数方程

1.圆心在原点,半径为r的圆的参数方程:
? x ? r cos ? (?为参数) ? ? y ? r sin ?

2.圆心为(a,b),半径为r的圆的参数方程:
? x ? a ? r cos ? (?为参数) ? ? y ? b ? r sin ?

讲授新课 椭圆的参数方程:
x y 椭圆的标准方程: 2 ? 2 ? 1 a b
2 2

联系: cos ? ? sin ? ? 1
2 2

不妨有:

?x ? a ? cos? ?y ? ? sin? ?b

? x ? a cos? ? ? y ? b sin?
椭圆的参数方程

参数 ? 的意义

参数方程

普通方程
对称轴在X轴

? x ? a cos? ? ? y ? b sin?

x y ? 2 ?1 2 a b

2

2

对称轴在Y轴

? x ? b cos? ? ? y ? a sin?

y x ? 2 ?1 2 a b

2

2

例、 如图,以原点为圆心,分别以a、b(a>b>0)为半
径作两个圆,点B是大圆半径OA与小圆的交点,过A 作AN⊥Ox,垂足为N,过点B作BM ⊥ AN,垂足为M, 求当半径OA绕O旋转时点M的轨迹的参数方程。
解:设M(x,y), ? ? 是以Ox为始边,OA为终边的正角, ? 为参数,则 取?

x ? ON ? OA cos? ?, y ? NM ? OB sin ? ?,

x ? a cos ? ?, ? 也就是 : ? ?. ? y ? b sin ?

?

这就是所求的点的轨迹的参数方程。 2 2 x y 消参有: 2 ? 2 ? 1 为椭圆 a b

2.参数 ? 的意义

y

? ——离心角 ? ? R
一般地:

A
B M

? ? ?0,2? ?

?
o

x

【练习1】把下列普通方程化为参数方程.
2 x y y 2 ? ? 1 x ? ? 1 (2) (1) 4 9 16 x ? 2 cos ? x ? cos ? (1) (2) y ? 3sin ? y ? 4sin ?

2

2

?

?

把下列参数方程化为普通方程 ? x ? 3cos ? ? x ? 8cos ? (3) ? (4) ? y ? 10sin ? ? ? y ? 5sin ?

(3)

x 9

2

? ? 1 (4)
y 25

2

x 64

2

?

y 100

2

?1

课堂小结: 椭圆的参数方程
椭圆的标准方程: x 2 y 2 ? 2 ?1 2 a b 椭圆的参数方程:
x y ? 2 ?1 2 b a
2 2

? x ? a cos? ? ? y ? b sin ?

? x ? b cos? ? ? y ? a sin?

在椭圆的参数方程中,常数a、 b分别是椭圆 的长半轴长和短半 轴长. a>b

? ——离心角

一般地: ? ? 0,2? ?

?


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