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2010-2011秋季高数A试题(A卷)答案

中国农业大学 2010 ~2011 学年秋季学期 高等数学 A 课程考试试题(A 卷)答案
题号 得分 (注意:本试卷共有八道大题,满分 100 分,考试时间 100 分钟) 一 二 三 四 五 六 七 八 九

2011/01
总分

一、单项选择题(本题共有 4 道小题,每小题 3 分,满分 12 分),请将合适选项填在括号内. 1.设函数 f ( x) 在 x ? 0 处连续,下列命题错误的是【 D 】. f ( x) f ( x) ? f (? x) (A)若 lim 存在,则 f (0) ? 0 (B)若 lim 存在,则 f (0) ? 0 x?0 x ?0 x x f ( x) f ( x) ? f (? x) (C)若 lim 存在,则 f ?(0) 存在 (D)若 lim 存在,则 f ?(0) 存在. x?0 x ? 0 x x 2. 设 f ( x ) ? ? sin tdt , g ( x) ? x3 ? x4 ,则当 x ? 0 时, f ( x) 是 g ( x) 的【
0 x2

A

】.

(A)高阶无穷小 (C)等价无穷小

(B)同阶但非等价无穷小 (D)低阶无穷小.
a ?a

3. 设 f ? x ? 是 ?? a , a ? 上的连续函数,则 ? (A)1 (B)0 4. 下列选项正确的是【 1 1 (A) ? 2 dx = 2 ?1 x 1 1 (C) ? 2 dx 不存在 ?1 x (C)-1 C 】. (B)

? ? f ? x? ? f ? ?x? ? ? cos xdx =【

B

】.

(D)无法计算.
1 dx = - 2 x2 1 1 (D) ? 2 dx = 0 . ?1 x

?

1

?1

二、填空题(本题共有 4 道小题,每小题 3 分,满分 12 分),请将答案填在横线上. 1. 已知 lim
x ?0

sin kx ? ?3, 则 k 的值等于 x( x ? 2)

-6

.

2.已知

cos x cos x 1 cos x 2 d x ? ____ ( ) ? C _______. 是 f ( x) 的一个原函数,则 ? f ( x) ? x x 2 x
1 0

3. 计算定积分 ?

1 ? x2 dx ? ______

? _____________. 4

1

4. y ? f ( x) 是偶函数,在曲线 y ? f ( x) 上点(1,2)处的切线方程为 x ? 3 y ? 5 ? 0 ,则曲线 在点(-1,2)处的切线方程为___ x ? 3 y ? 5 ? 0 ________________. 三、计算下列各题(本题共有 4 道小题,每小题 6 分,满分 24 分). x ? sin x 1.求极限 lim . x?0 x3 x3 x ? sin x 解: lim ……………………………3 分 ? lim 63 3 x ?0 x ?0 x x
? 1 6

……………………………6 分

?x ? 1? t2 dy d 2 y , y ? f ( x ) 2.求参数方程 ? ( 为参数)所确定的函数 的导数 . t 3 dx dx 2 ? y?t

dy 3t 2 3t ? ? 解: dx 2t 2 3t ( )' d2y 3 ? 2 ? 2 dx 2t 4t ln x dx . 3. 求不定积分 ? x ln x dx ? ? ln xd(ln x) 解: ? x ? (ln x)2 ?C 2
x 0

……………………………3 分

……………………………6 分

……………………………3 分 ……………………………6 分

4. 已知 F ( x) ? ? ( x ? t ) f (t )dt ,求 F ( x) 的二阶导数. 解: F ( x) ? ? ( x ? t ) f (t )dt ? ? xf (t )dt ? ? tf (t )dt
0 0 0 x x x 0 0 0 x x x

……………………………2 分
x

F ?( x) ? [ x ? f (t )dt ? ? tf (t )dt ]? ? ? f (t )dt ? xf ( x) ? xf ( x) ? ? f (t )dt
0

………………………4 分

F ??( x) ? (? f (t )dt )? ? f ( x)
0

x

……………………………6 分

? x2 x n ? ?x ? ?e 的极值 (其中 n 为正奇数). y ? 1 ? x ? ? ? ? 四、 (本题满分 10 分)求函数 ? 2! n! ? ? ?

? x2 x n?1 ? ? x 解: y ? ? ? ?1 ? x ? 2! ? ? ? (n ? 1)!? ?e ? ?
x n ?x e , n! 驻点为 x ? 0 , ??

? x2 x n ? ?x ?? ?1 ? x ? 2! ? ? ? n! ? ?e ? ?
……………………………3 分 ……………………………5 分
2

n 由于 n 为正奇数,当 x ? 0 时, x ? 0 ,故 y ? ? 0, 故 y 单调上升 ; ……………7 分

当 x ? 0 时, x n ? 0 ,故 y ? ? 0, 故 y 单调递减 ; ……………………………9 分 因此 x ? 0 为函数的极大值点,且极大值为 y(0) ? 1 . ……………………………10 分

五、(本题满分 10 分)设 f ( x) 在 [0,1] 上连续,且 f ( x) ? 1 ,证明 2 x ? ? f (t )dt ? 1 在 [0,1] 上只
0

x

有一个解. 证明: (1)存在性

F ( x) ? 2 x ? ? f (t )dt ? 1
0

x

……………………………2 分 ……………………………3 分

F (0) ? ?1,

F (1) ? 1 ? ? f ( x)dx ? 1 ? f (? ) ? 0
0

1

……………………………4 分

函数 f ( x) 在 [0,1] 上连续,根据介值定理,则存在 ? ? (0,1) , 使得 F (? ) ? 0 . ……………………………6 分 (2)唯一性 F ?( x) ? 2 ? f ( x) ? 0 ,

……………………………8 分

函数 F ( x) 在 [0,1] 上单调增加,从而 F ( x) 在 [0,1] 有唯一的根.……………………10 分

六、(本题满分 10 分)求经过三点 P 1 (1,1,1), P 2 (2,0,1), P 3 (?1, ?1,0) 的平面方程. 解:法一: PP 1 2 ? (1, ? 1,0), PP 1 3 ? (?2, ? 2, ?1)

……………………………2 分

i
取 n ? PP 1 2 ? PP 1 3 ?? 1

j

k
……………………………6 分

?1 0 ? (1, 1, ?4), ?2 ?2 ?1

平面方程为 ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 4( z ? 1) ? 0,

……………………………10 分

整理得 x ? y ? 4 z ? 2 ? 0.

……………………………10 分

3

x ?1 y ?1 z ?1

法二:所求平面的方程为 1 ?2 整理得 x ? y ? 4 z ? 2 ? 0.

?1 ?2

0 ?0 ?1

七、 (本题满分 10 分) 设函数 f ( x) 在 ? 0, 1? 上可微,且满足 f ?1? ? 2? x f ? x ? dx ?0, 证明在

1 2 0

? 0,1? 内至少存在一点 ? ,使 f ?(? ) ? ?
证明: 作辅助函数 ?( x) ? xf ( x) ,
1 2 0

f (? )

?

. ……………………………2 分

1 根据积分中值定理,由 f (1) ? 2 ? x f ( x )dx ?0 得到 f (1) ? 2 ? c f (c ) ? 0 2

即 f ?1? ? c f ? c ?

……………………………5 分

显然, ?( x) 在 [c , 1] 上连续,在 ( c , 1) 内可导,且 ? (c ) ? ? (1) ,可见, ?( x) 满足罗尔定理, …………………………7 分 所以,在 ? c,1? ? (0, 1) 内至少有一点 ? ,使 ??(?) ? f (?) ? ? f ?(?) ? 0 . 即
f ?(? ) ? ? f (? )

?

.

……………………………10 分

八、(本题满分 12 分)求曲线 y ? x2 ? 2x 与 y ? 0, x ? 1, x ? 3 所围成的平面图形的面积 S ,并 求该图形绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积. 解: S1 ? ? (0 ? x 2 ? 2 x)dx ? ? (2 x ? x 2 )dx ?
1 1 2 2

2 . 3

……………………………2 分

S 2 ? ? ( x 2 ? 2 x)dx ?
2

3

4 . 3

……………………………4 分

所以 S ? S1 ? S 2 ?

2 4 ? ? 2. 3 3

……………………………6 分

平面图形 S1 绕 y 轴旋转一周所得的体积为:
V1 ? ? ? (1 ? 1 ? y ) dy ? ? ?
?1 0 2

11 ?. 6

……………………………8 分
4

平面图形 S2 绕 y 轴旋转一周所得的体积为:
V2 ? ? ? 32 ? 3 ? ? ? (1 ? 1 ? y ) dy ?
0 3 2

43 ?. 6

……………………………10 分

旋转体的体积为 V ? V1 ? V2 ?
2 2

11 43 ? ? ? ? 9? . 6 6

……………………………12 分

或 V1 ? 2? ? xf ( x)dx ? 2? ? x( x 2 ? 2 x)dx ?
1 1

11 ?. 6

V2 ? 2? ? xf ( x)dx ? 2? ? x( x 2 ? 2 x)dx ?
2 2

3

3

43 ?. 6

旋转体的体积为 V ? V1 ? V2 ?

11 43 ? ? ? ? 9? . 6 6

5


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