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SL高中数学必修4系列练习题(4)三角函数及平面向量(精编&详细答案)


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高中数学必修 4 系列练习题(4)三角函数及平面向量

第1页 共 7页

??? 高中数学必修 4 系列练习题(四)三角函数及平面向量
?? 1.5.2 函数 y=Asin(ωx+φ)的性质
1 π 1.函数 y=2sin( x+ )的周期、振幅、初相分别是( ) 2 4 π π π π A. ,2, B.4π,-2,- C.4π,2, 4 4 4 4 2.已知某函数图像的一部分如图,则函数的解析式可能是( π π A.y=sin(x+ ) B.y=sin(2x- ) 6 6 π π C.y=cos(4x- ) D.y=cos(2x- ) 3 6 π 3.(2012· 福建高考)函数 f(x)=sin(x- )的图像的一条对称轴是( 4 π π π π A.x= B.x= C.x=- D.x=- 4 2 4 2 π 4.函数 y=sin(2x- )的图像在(-π,π)上有________条对称轴. 6

π D.2π,2, 4 )

)

5.已知函数 y=sin(ωx+φ)(ω>0,-π≤φ<π)的图像如图所示, 则 φ=________.

π 6.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ),x∈R(其中 A>0,ω>0,0<φ< )的周期为 π,且图像上一个最 2 2π π? ? ? 低点为 M? ? 3 ,-2?. (1) 求 f(x)的解析式; (2) 当 x∈?0,12?时,求 f(x)的最值.

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高中数学必修 4 系列练习题(4)三角函数及平面向量

第2页 共 7页

?? 1.6 三角函数模型的简单应用
1.如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图, 1 周期后,乙的位置将移至( ) 2 A.x 轴上 B.最低点 C.最高点 经过

D.不确定

2.将单摆的摆球拉至平衡位置左侧无初速释放,并同时开始计时,取平衡位置为坐标原点, 且向右为正,则下列振动图像中正确的是( )

3.如图,设点 A 是单位圆上的一定点,动点 P 从点 A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周, 点 P 所旋转过的弧? AP 的长为 l,弦 AP 的长为 d,则函数 d=f(l)的图像大致是( )

4.据市场调查,某种商品一年内每件出厂价在 7 千元的基础上,按月呈 f(x)=Asin(ωx+φ)+ π B(A>0,ω>0,|φ|< )的模型波动(x 为月份),已知 3 月份达到最高价 9 千元,7 月份价格 2 最低为 5 千元,根据以上条件可确定 f(x)的解析式为________.

5.一根长 a cm 的线,一端固定,另一端悬挂一个小球,小球摆动时,离开平衡位置的位移 g π s(cm)和时间 t(s)的函数关系式是 s=3cos( t+ ),t∈[0,+∞),求小球摆动的周期。 a 3 2π (t-79)+12,其中 365

6.在波士顿估计某一天白昼时间的小时数 D(t)的表达式是:D(t)=3sin t 表示某天的序号,t=0 表示 1 月 1 日,以此类推. (1) 在波士顿哪一天白昼时间最长?哪一天白昼时间最短? (2) 估计在波士顿一年中有多少天的白昼时间超过 10.5 h?

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1.有下列说法:

高中数学必修 4 系列练习题(4)三角函数及平面向量

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?? 2.1 平面向量的实际背景及基本概念
?

①若向量 a 与向量 b 不平行,则 a 与 b 方向一定不相同; ②若向量 AB , CD 满足| AB |>| CD |,且 AB 与 CD 同向,则 AB > CD ; ③若| a |=| b |,则 a , b 的长度相等且方向相同或相反; ④由于零向量方向不确定,故其不能与任何向量平行. 其中,正确说法的个数是( A.1 B.2 C.3 ) D.4

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2.若| AB |=| AD |且 BA = CD ,则四边形 ABCD 的形状为( A.平行四边形 B.矩形 C.菱形

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)

D.等腰梯形

3.在△ABC 中,点 D、E 分别为边 AB、AC 的中点,则如图所示的向量中相等向量有( A.一组 B.二组 C.三组 D.四组

)

4.已知非零向量 a ∥ b ,若非零向量 c ∥ a ,则 c 与 b 必定_________.

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5.当向量 a 与任一向量都平行时,向量 a 一定是________.

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6.如图,四边形 ABCD 和四边形 ABDE 都是平行四边形. (1) 写出与向量 ED 相等的向量; (2) 写出与向量 ED 共线的向量.

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高中数学必修 4 系列练习题(4)三角函数及平面向量

第4页 共 7页

?? 2.2.1~2.2.2
? ?

向量加法运算及其几何意义、向量减法运算及其几何意义
) B. AB + BA =0

1.下列等式,错误的是( A. a +0=0+ a = a

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C.( a - b )+ c = a +( c - b )

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D. AB - BC = AC

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2.有下列不等式或等式: ①| a |-| b |<| a + b |<| a |+| b |; ③| a |-| b |=| a + b |<| a |+| b |; 其中,一定不成立的个数是( A.0 B.1 C.2 ) D.3

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②| a |-| b |=| a + b |=| a |+| b |; ④| a |-| b |<| a + b |=| a |+| b |.

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3.若 O,E,F 是不共线的任意三点,则以下各式中成立的是(

)

? ??? ? ??? ? ??? A. EF = OF + OE ??? ? ??? ? ??? ? C. EF =- OF + OE
??? ?

? ??? ? ??? ? ??? B. EF = OF - OE ??? ? ??? ? ??? ? D. EF =- OF - OE
??? ? ????

4.在菱形 ABCD 中,∠DAB=60° ,| AB |=2,则| BC + DC |=______.

5.如图,ABCDEF 是一正六边形,O 是它的中心,其中 OB = b , OC = c , 则 EF 等于____.

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6.化简下列各式: (1) MB + AC + BM ; (2) AB - AC + DC - DB .

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高中数学必修 4 系列练习题(4)三角函数及平面向量

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??? 高中数学必修 4 系列练习题(四)三角函数及平面向量 答案
?? 1.5.2 函数 y=Asin(ωx+φ)的性质
2π π 1.C;解:T= =4π,A=2,φ= . 1 4 2 π π 2.D;解:代入点(- ,0)检验,排除选项 B、C;代入( ,1)检验,排除 A. 6 12 π π π 3π 3.C;解:f(x)=sin(x- )的图像的对称轴为 x- =kπ+ ,k∈Z,得 x=kπ+ , 4 4 2 4 π 当 k=-1 时,x=- .则其为 f(x)的一条对称轴. 4 π π π kπ 4.4;解:令 2x- =kπ+ ,k∈Z,得 x= + ,k∈Z,又 x∈(-π,π),∴k=-2,-1,0,1. 6 2 3 2 9π 3π 5π 4 4 5. ;解:T=2×(2π- )= , ∴ω= .∴y=sin( x+φ), 10 4 2 5 5 4 3π π 11π 9π 令 × +φ=2kπ- (k∈Z).则 φ=2kπ- ,k∈Z.又-π≤φ<π,∴φ= . 5 4 2 10 10 π? 6.f(x)=2sin? ?2x+6?.; 2π 2π 2π ? 解:(1) 由最低点为 M? ? 3 ,-2?,得 A=2. 由 T=π,得 ω= T = π =2. 2π ? ?4π ? ?4π ? 由点 M? ? 3 ,-2?在图像上得 2sin? 3 +φ?=-2, 即 sin? 3 +φ?=-1, π? 4π π 11π π ∴ +φ=2kπ- (k∈Z),即 φ=2kπ- (k∈Z).又 φ∈? ?0,2?,∴φ=6, 3 2 6 π? π ?π π? π π (2) ∵x∈? ?0,12?,∴2x+6∈?6,3?,∴当 2x+6=6,即 x=0 时,f(x)取得最小值 1; π π π 当 2x+ = ,即 x= 时,f(x)取得最大值 3. 6 3 12

?? 1.6 三角函数模型的简单应用
1.C;解:相邻的最大值与最小值之间间隔半个周期,故乙移至最高点. 2.D;解:由条件知 t=0 时,y < 0, θ d 3.C;解:令 AP 所对圆心角为 θ,由|OA|=1,则 l=θ,sin = , 2 2

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高中数学必修 4 系列练习题(4)三角函数及平面向量

第6页 共 7页

θ l l ∴d=2sin =2sin ,即 d=f(l)=2sin (0≤l≤2π),它的图像为 C. 2 2 2 π π 4.f(x)=2sin( x- )+7; 4 4
? ?A+B=9, π 解:由条件可知? ∴B=7,A=2. 又 T=2(7-3)=8,∴ω= , 4 ? ?-A+B=5,

π π π π π 令 3× +φ= ,∴φ=- , ∴ f(x)=2sin( x- )+7. 4 2 4 4 4 2π· a 2π 2π· a 5. ;解:T= = . g g g a 2π π 6.解:(1)白昼时间最长的一天,即 D(t)取得最大值的一天,由 (t-79)= ,得 t=170.25, 365 2 而 t∈N,所以 t=170,对应的是 6 月 20 日(闰年除外).类似地,t=353 时 D(t)取得最 小值,即 12 月 20 日白昼最短. 2π 2π 1 (2) D(t) > 10.5,即 3sin (t-79)+12>10.5,sin (t-79)>- ,t∈[0,365], 365 365 2 π 2π 7π ∴- < (t-79)< ,得 49≤t≤291,291-48=243, 6 365 6 ∴约有 243 天的白昼时间超过 10.5 h.

?? 2.1 平面向量的实际背景及基本概念
1.A;解:对于①,由共线向量的定义知,两向量不平行,方向一定不相同,①正确; 对于②,因为向量不能比较大小,②错误;对于③,由| a |=| b |,只能说明 a , b 的长度 相等,确定不了它们的方向,③错误;对于④,因为零向量与任一向量平行,④错误. 2.C;解:由 BA = CD 知 AB=CD 且 AB∥CD 即四边形 ABCD 为平行四边形. 又| AB |=| AD |知四边形为菱形. 3.A;解:由向量相等的定义可知,只有一组向量相等,即 CE = EA . 4.平行(或共线);解:平行向量主要考虑方向相同或相反,依题意可知,

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? ? ? ? c , b 同向或者反向,所以 c 与 b 必定平行(或共线).
5.零向量;解:由零向量的规定知,只有零向量与任一向量都平行. 6.解:(1) ∵四边形 ABCD 和四边形 ABDE 都是平行四边形,∴AB//ED,AB//DC.

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高中数学必修 4 系列练习题(4)三角函数及平面向量 第7页 共 7页 ? ???? ??? ? ??? ???? ??? ? ???? ??? ? ??? ? ??? ? 从而 AB = ED , AB = DC ,∴ ED = DC . 故与向量 ED 相等的向量是 AB , DC . ??? ? ? ??? ??? ? ??? ? ???? ??? ???? ? ??? ? (2) 由共线向量的条件知,与 ED 共线的向量有 DE , AB , BA , DC , CD , EC , CE .

?? 2.2.1~2.2.2
?

向量加法运算及其几何意义、向量减法运算及其几何意义
?

? ? ???? ??? ? ??? ??? ? ??? ? ??? 1.D;解:∵ AB + BC = AC ,∴ AB - BC = AC 不一定成立.

2.A;解:①当 a 与 b 不共线时成立;②当 a = b =0,或 b =0, a ≠0 时成立;③当 a 与 b 共线,方向相反,且| a |≥| b |时成立;④当 a 与 b 共线,且方向相同时成立. 3.B;解:由减法法则知 B 正确.

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??? ? ???? ???? ???? ??? ? 4.2 3;解:如右图,设菱形对角线交点为 O,∵ BC + DC = AD + DC = AC ,∠DAB=60° ,

∴△ABD 为等边三角形.又∵AB=2,∴OB=1.在 Rt△AOB 中, | AO |= | AB |2-| OB |2= 3,∴| AC |=2| AO |=2 3. 5. b - c ;解: EF = OA = CB = OB - OC = b - c . 6.解:(1)原式= MB + BM + AC = AC . (2)原式= AB + BD + DC - AC

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= AD + DC - AC = AC - AC = 0 .

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