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2.2.2向量减法运算及其几何意义(完成)_图文

人教A版高中数学必修2

2.2.2 向量减法运算及其几何意义
河西学院数学与统计 学院2011级张文君

复习引入
1.向量加法的三角形法则: 2.向量加法的平行四边形法则
首尾相连,起点指向终点 起点相同,对角为和

C

? ? a?b
A

? b

B

? a
? ? ?a ?b b

C

? b
A

? a

B

O

? a

?? ?= ?? ? 3.向量加法的交换律 : a b b a .

?? ? ? ?= ?? ?? ? 4.向量加法的结合律 : ( a b ) c a ( b c )

复习引入
探 究 1.两个实数是如何做减法运算的?
我们知道,减去一个数等于加上这个数的相反 数,如:5-1=5+(-1). 2.向量是否有减法? 3.如何理解向量的减法? 向量的减法是否也有类似的法则:

减去一个向量等于加上这个向量的相反向量?

新课探究
一、相反向量
定义:与 a 长度相等,方向相反的向量,叫做 的相反向量,记作: ? a.

a ?a

结论: (1) ? (?a) = a
(2)零向量的相反向量仍是零向量, ?0 (3)

=0

a ? (?a) = (?a) ? a = 0

(4)如果是a,b互为相反的向量,那么

a = ? b ,b = ? a , a ? b = 0

新课探究
二、向量减法:
定义: a ? b = a ? (?b).
即:减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量. 把 a ? b 也叫做 a 与 b 的差. a 与 b 的差也是一个向量.

三、向量减法的作图方法:
b a

已知a, b,根据减法的定义, 如何作出 a ? b呢?

新课探究
已知a, b,根据减法的定义 , 如何作出 a ? b呢?

? ? ? ? a ? b = a ? (?b )
b a

B

b
O

a ? (?b)

a
C

?b

A a ? (?b) D

新课探究
四、向量减法的几何意义:
a ?b 的作图方法 :
b a
B ①将两向量平移,使它们有相 同的起点. ②连接两向量的终点. ③箭头的方向是指向“被减 A 数”的终点.

b
O

a ?b

a

“共起点,连终点,指向被减向量”

a ? b表示从减向量b的终点指向被减向量a的终点 的向量,这就是向量减法的几何意义.

思 考

新课探究
(1)如图,如果从a的终点到b的终点作向量,那么所得向量 是什么?

a

? b
a
b
O ( 1) A B

? ? ? b ?a

(2)向量a、共线,则应怎样作出 b a ? b 呢?

同向

a
b
( 2) B

反向

a ?b

a ?b

O

A

例题讲解
例1.已知向量 a, b, c, d , 求作向量 a ? b, c ? d .

A

B

D

C

b b a
作法 : 1.在平面上任取点O , 作OA = a , OB = b, OC = c , OD = d .

d c

d

c

a

O?

2.作 BA, DC , 则BA = a ? b, DC = c ? d为所求.

例题讲解
例2. 已知平行四边形 ABCD, AB = a, AD = b, 用 a, b 表示向量AC, DB.

D

C

解:有向量加法的平行四边形法则, 得:

b
A

AC = a ? b;
由向量的减法可得,

a

B

DB = AB ? AD = a ? b.

巩固练习
如图,已知a, b, 求作a ? b.

a
( 1)

b

( 2)

a

b

( 3)

a
b

( 4)

a

课堂小结
1.向量的减法可以转化为向量的加法进行: 减去一个向量等于加上这个向量的相反向量.
2.向量减法仍遵循三角形法则,它的规律是: 把两个向量平移到同一起点,再连结这两个向量的终点, 则差向量的大小就是连结两终点的线段的长,方向指向被 减向量的终点.

“共起点,连终点,指向被减向量” 3.在解题中要注意转化思想和数形结合 思想的应用.

感谢各位专家评委的指导! 祝大家健康快乐!!


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