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2017年高考全国名校试题数学分项汇编 专题14 选讲部分(原卷版) Word版无答案


解答题 1. 【 2016 年第二次全国大联考(江苏卷) 】 【选修 4—1 几何证明选讲】 (本小题满分 10 分) 若 AB 为定圆 ? 一条弦(非直径) , AB ? 4 ,点 ? 在线段 AB 上移动,???F ? 90? ,? F 与圆 ? 相交于点 F ,求 ? F 的最大值. 2. 【 2016 年第二次全国大联考(江苏卷) 】 【选修 4—2:矩阵与变换】 (本小题满分 10 分)
?1? ?a b ? 已知矩阵 A ? ? ,若矩阵 A 属于特征值 6 的一个特征向量为 ?1 ? ? ? ,属于特征值 1 ? ?1? ?c d ?

?3? 的一个特征向量为 ? 2 ? ? ? .求 A 的逆矩阵. ? ?2 ?

3. 【 2016 年第二次全国大联考(江苏卷) 】 【选修 4—4:坐标系与参数方程】 (本小题满分 10 分)过点 P(-3,0)且倾斜角为 30°的直线和曲线 ? 2 cos 2? ? 4 相交于 A、B 两点.求 线段 AB 的长. 4. 【 2016 年第二次全国大联考(江苏卷) 】 【选修 4—5:不等式选讲】 (本小题满分 10 分) 设 x,y,z∈R ,且 x ? y ? z ? 1 ,求证:
+

2 x2 2 y2 2z2 ? ? ?1 y?z z?x x? y

5【 2016 年第二次全国大联考(江苏卷) 】一个袋中有若干个红球与白球,一次试验为从中摸 出一个球并放回袋中,摸出红球概率为 p ,摸出白球概率为 q ,摸出红球加 1 分,摸出白 球减 1 分,现记“ n 次试验总得分为 S n ”.

1 时,记 ? ?| S 3 | ,求 ? 的分布列及数学期望; 2 1 2 (Ⅱ)当 p ? , q ? 时,求 S 8 ? 2且S i ? 0(i ? 1,2,3,4) 的概率. 3 3
(Ⅰ)当 p ? q ? 6. 【 2016 年第二次全国大联考(江苏卷) 】数列 {a n } 各项均为正数, a1 ?
2 n ? N* ,有 a n?1 ? a n ? ca n (c ? 0) .

1 ,且对任意的 2

(Ⅰ)求证: (Ⅱ)若 c ?

? 1 ? ca
i ?1

n

c

? 2;

i

1 ,是否存在 n ? N* ,使得 a n ? 1 ,若存在,试求出 n 的最小值,若不存 2016

在,请说明理由.

7. 【2016 年第三次全国大联考【江苏卷】 】[选修 4-1:几何证明选讲](本小题满分 10 分) 如图,⊙O 的直径 AB 的延长线与弦 CD 的延长线相交于点 P , E 为⊙O 上一点,

AE ? AC ,求证: ?PDE ? ?POC .
E A O B D C P

8. 【2016 年第三次全国大联考【江苏卷】 】[选修 4-2:矩阵与变换](本小题满分 10 分) 变换 T1 是逆时针旋转

? 的旋转变换,对应的变换矩阵是 M 1 ;变换 T2 对应用的变换矩阵是 2

?1 1? .求函数 y ? x2 的图象依次在 T1 , T2 变换的作用下所得曲线的方程. M2 ? ? ? ?0 1?
9. 【2016 年第三次全国大联考【江苏卷】 】[选修 4-4:坐标系与参数方程](本小题满分 10 分) 已知参数方程为 ?

? x ? x0 ? t cos ? x2 ? y 2 ? 1的左焦点 F1 , ( t 为参数)的直线 l 经过椭圆 3 ? y ? t sin ?

且交 y 轴正半轴于点 C ,与椭圆交于两点 ? 、 ? (点 ? 位于点 C 上方) .若 F 1? ? ?C ,求 直线 l 的倾斜角 ? 的值. 10. 【2016 年第三次全国大联考【江苏卷】 】[选修 4-5:不等式选讲](本小题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ? x ? a ? x ? 2 (a ? 0) ,若正实数 b, c 满足 a ? b ? c ? 1 ,且不等式

f ( x) ?

a 2 ? b2 ? c2 对任意实数 x 都成立,求 a 的取值范围. b?c

11. 【2016 年第三次全国大联考【江苏卷】 】 (本小题满分 10 分) 袋中装有黑球和白球共 7 个,从中任取 2 个球都是白球的概率为

1 .现有甲、乙两人从袋 7

中轮流、不放回地摸取 1 球,甲先取,乙后取,然后甲再取??直到袋中的球取完即终止.若 摸出白球,则记 2 分,若摸出黑球,则记 1 分.每个球在每一次被取出的机会是等可能的.用? 表示甲,乙最终得分差的绝对值. (1)求袋中原有白球的个数; (2)求随机变量?的概率分布列及期望 E?. 12. 【2016 年第三次全国大联考【江苏卷】 】 (本小题满分 10 分)已知三位数 abc ,其中 a, b, c 不全相同,若将这个三位数的三个数字按大小重新排列,得出最大数和最小数(如百位数字

为 0,也视作三位数) ,两者相减得到一个新数,定义这一操作为 f ,如

f (308) ? 830 ? 038 ? 792 ,再对新数进行第二次操作 f ,依次类推,若记经过第 n 次后所
得新数为 f n (1)已知 abc ? 618,求 f 2 , f3 ; (2)设 abc的三个数字中的最大数字与最小数字之差为 d ,经 n 次操作后新数 anbncn 的 三个数字中的最大数字与最小数字之差为 dn ①已知 d1 ? 6 ,求证:当 n ? 1 时, dn ? 5 ; ②求证:当 n ? 6 时, f n ? 495. 13. 【2016 年第四次全国大联考【江苏卷】 】 【选修 4—1 几何证明选讲】 (本小题满分 10 分) 如图, 在锐角三角形 ABC 中,AB ? AC , 以 AB 为直径的圆 O 与边 BC , AC 的交点分别为 D, E , 且 DF ? AC 于点 F . (Ⅰ)求证: DF 是 ⊙O 的切线;

7 (Ⅱ)若 CD ? 3 , EA= ,求 AB 的长. 5

14. 【2016 年第四次全国大联考【江苏卷】 】 【选修 4—2:矩阵与变换】 (本小题满分 10 分)
?1 2 ? 在平面直角坐标系 xOy 中,设点 P(x,5)在矩阵 M ? ? ? 对应的变换下得到点 Q(y ? 2,y), ?3 4 ? ? x? 求 M ?1 ? ? . ? y?

15. 【2016 年第四次全国大联考【江苏卷】 】 【选修 4—4:坐标系与参数方程】 (本小题满分 10 分)以直角坐标系的原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知点 P 的直角 坐标为 (1, 2) ,直线 l 过点 P ,且倾斜角为
π 6

,圆 C : ? ? 6 sin ? .

(Ⅰ)求直线 l 的参数方程和圆 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)设直线 l 与圆 C 相交于 A, B 两点,求 PA ? PB .

16. 【2016 年第四次全国大联考【江苏卷】 】 【选修 4—5:不等式选讲】 (本小题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ?
x ? 2 ? x ? 4 ? m 的定义域为 R .

(Ⅰ)求实数 m 的取值范围; (Ⅱ)若 m 的最大值为 n ,当正数 a , b 满足 值. 17. 【2016 年第四次全国大联考【江苏卷】 】 (本小题满分 10 分) 过直线 y ? ?2 上的动点 P 作抛物线 y ?

4 1 ? ? n 时,求 4a ? 7b 的最小 a ? 5b 3a ? 2b

1 2 x 的两条切线 PA, PB ,其中 A,B 为切点. 4

(Ⅰ)若切线 PA, PB 的斜率分别为 k1 , k2 ,求证: k1k 2 为定值; (Ⅱ)求证:直线 AB 过定点. 18. 【2016 年第四次全国大联考【江苏卷】 】 (本小题满分 10 分) 设 f(n)=(a+b) (n∈N ,n≥2) ,若 f(n)的展开式中,存在某连续 3 项,其二项式系数 依次成等差数列,则称 f(n)具有性质 P. (Ⅰ)求证:f(7)具有性质 P; (Ⅱ)若存在 n≤2016,使 f(n)具有性质 P,求 n 的最大值. 19. 【2016 年第一次全国大联考【江苏卷】 】 【选修 4—1 几何证明选讲】 (本小题满分 10 分) 如图, AB 是圆 O 的直径, D 为圆 O 上一点,过点 D 作圆 O 的切线交 BA 的延长线于点 C . 若 DB ? DC ,求证: CA ? AO .
n
*

20. 【2016 年第一次全国大联考【江苏卷】 】 【选修 4—2:矩阵与变换】 (本小题满分 10 分)
? ?1 0 ? ?1 2 ? ?1 ,B ? ? 已知矩阵 A ? ? ? ? ,求矩阵 A B. 0 2 0 6 ? ? ? ?

21. 【2016 年第一次全国大联考【江苏卷】 】 【选修 4—4:坐标系与参数方程】 (本小题满分 10 分) 在极坐标系中, 设直线 l 过点 A( 3, 有且只有一个公共点,求实数 a 的值. 22. 【2016 年第一次全国大联考【江苏卷】 】 【选修 4—5:不等式选讲】 (本小题满分 10 分) 求函数 y ? x ? 5 ? 7 ? x 的最大值.

2? ? 且直线 l 与曲线 C : ? ? a sin ? (a ? 0) ), B(3, ) , 3 2

23. 【2016 年第一次全国大联考【江苏卷】 】在四棱锥 P ? ABCD 中,直线 AP, AB, AD 两两相 互垂直,且 AD / / BC , AP ? AB ? AD ? 2 BC . (1)求异面直线 PC 与 BD 所成角的余弦值; (2)求钝二面角 B ? PC ? D 的大小. P

A

D

B

C

24. 【2016 年第一次全国大联考【江苏卷】 】设数列 {an } 按三角形进行排列,如图,第一层一 个数 a1 ,第二层两个数 a2 和 a 3 ,第三层三个数 a4 , a5 和 a6 ,以此类推,且每个数字等于下一 层的左右两个数字之和,如 a1 ? a2 ? a3 , a2 ? a4 ? a5 , a3 ? a5 ? a6 ,? . (1)若第四层四个数为 0 或 1 , a1 为奇数,则第四层四个数共有多少种不同取法? (2)若第十一层十一个数为 0 或 1 , a1 为 5 的倍数,则第十一层十一个数共有多少种不同取 法?

a1 a2 a4 a7 ??
25. 【2016 高考押题卷(1) 【江苏卷】 】 【选修 4—1 几何证明选讲】 (本小题满分 10 分)如图, △ABC 内接于⊙O,点 D 在 OC 的延长线上,AD 与⊙O 相切,割线 DM 与⊙O 相交于点 M,N, 若∠B=30°,AC=1,求 DM ? DN

a3 a5 a6 a9 a10

a8

26. 【2016 高考押题卷(1) 【江苏卷】 】 【选修 4—2:矩阵与变换】 (本小题满分 10 分)已知

? ? 曲线 C :xy ? 1 , 若矩阵 M ? ? ? ? ?
方程.

2 2 2 2

?

2? ? 2 ? 对应的变换将曲线 C 变为曲线 C ? , 求曲线 C ? 的 2 ? ? 2 ?

27. 【2016 高考押题卷(1) 【江苏卷】 】 【选修 4—4:坐标系与参数方程】 (本小题满分 10 分) 在极坐标系下,已知圆 O: ? ? cos ? ? sin ? 和直线 l : ? sin(? ? (1)求圆 O 和直线 l 的直角坐标方程; (2)当 ? ? ? 0, ? ? 时,求直线 l 与圆 O 公共点的一个极坐标. 28. 【2016 高考押题卷 (1) 【江苏卷】 】 【选修 4—5: 不等式选讲】 (本小题满分 10 分) 已知 a , b , c

?
4

)?

2 , 2

1 1 1 均为正数,证明: a2 ? b2 ? c2 ? ( ? ? )2 ≥ 6 3 . a b c
29. 【2016 高考押题卷(1) 【江苏卷】 】如图,在空间直角坐标系 O ? xyz 中,正四棱锥 P ?

ABCD 的侧棱长与底边长都为 3 2 ,点 M,N 分别
在 PA,BD 上,且
PM BN 1 ? ? . PA BD 3

(1)求证:MN⊥AD; (2)求 MN 与平面 PAD 所成角的正弦值.

z P

M C D x A

O N

B

y

1, 2, 3, 4, 5?,从 S 的所有非空子集中, 30. 【2016 高考押题卷(1) 【江苏卷】 】设集合 S ? ?
等可能地取出一个. (1)设 A ? S ,若 x ? A ,则 6 ? x ? A ,就称子集 A 满足性质 p ,求所取出的非空子 集满足性质 p 的概率;

(2)所取出的非空子集的最大元素为 ? ,求 ? 的分布列和数学期望 E ?? ? . 31. 【2016 高考押题卷(3) 【江苏卷】 】 【选修 4—1 几何证明选讲】 (本小题满分 10 分)如图, 已知圆 O 的半径 OB 垂直于直径 AC, M 为 AO 上一点, BM 的延长线交圆 O 于点 N ,过 N 点所作的切线交 CA 的延长线于点 P . (1)求证: PM ? PA ? PC ;
2

(2)若圆 O 的半径为 2 3 ,且 OA ? 3OM ,求 MN 的长.
B

C O

M

A

P

N

32. 【2016 高考押题卷(3) 【江苏卷】 】 【选修 4—2:矩阵与变换】 (本小题满分 10 分)已知 矩阵 A ? ?

?2 1 ? ?1 ? 2? ,B ? ? ? ?. ?? 1 2? ?0 1 ?

(1)计算 AB ; (2)若矩阵 B 将直线 l : 2 x ? 3 y ? 2 ? 0 变为直线 l ,求直线 l 的方程.
/ /

33. 【2016 高考押题卷(3) 【江苏卷】 】 【选修 4—4:坐标系与参数方程】 (本小题满分 10 分) 已知直线 l 的参数方程 l : ?

?x ? 1 ? t ? x ? 2 cos? ( t 为参数)曲线 C 的参数方程为 C : ? ?y ? 1? t ? y ? sin ?

( 0 ? ? ? 2? ) ,若直线 l 与曲线 C 交于两点 M , N ,求 MN 的长度. 34. 【2016 高考押题卷 (3) 【江苏卷】 】 【选修 4—5:不等式选讲】 (本小题满分 10 分) 若 a, b, c 是正数,且 a ? b ? c ? 1 .

1 1 1 ? ? ? 9; a b c 1 1 1 9 ? ? ? . (2)求证: a?b b?c c?a 2
(1)求证: 35、 【2016 高考押题卷(3) 【江苏卷】 】某品牌汽车 4 S 店经销 A, B, C 三种排量的汽车,其中

A, B, C 三种排量的汽车依次有 5,4,3 款不同的车型.某单位计划购买 3 辆不同车型的汽车,
且购买每款车型等可能. (1)求该单位购买的 3 辆汽车均为 B 排量的概率; (2)记该单位购买的 3 辆汽车的排量种数为 X ,求 X 的分布列及数学期望. 36、 【2016 高考押题卷(3) 【江苏卷】 】已知各项均为正数的数列 {an } 的首项 a1 ? 1 ,其前 n 项 和为 S n ,若 S n ?

1 1 (a n ? )(n ? N ? ) . 2 an

(1)求 a2 , a3 , a4 , a5 的值; (2)由此归纳出通项 an 的表达式,并用数学归纳法加以证明. 37. 【2016 高考押题卷(2) 【江苏卷】 】 【选修 4-1:几何证明选讲】 (本小题满分 10 分) 如图,在⊙O 直径 AB 的延长线上任取一点 C,过点 C 做直线 CE 与⊙O 交于点 D、E,在⊙O 上 取一点 F,使点 A 是弧 EF 的中点,连接 DF 交直线 AB 于 G.若 CB=OB,求

CB 的值. CG

38. 【2016 高考押题卷(2) 【江苏卷】 】 【选修 4-2:矩阵与变换】 (本小题满分 10 分) 若二阶矩阵 M 满足: M ?

?1 2? ?5 8 ? 2 2 ?? .曲线 C : x ? 2 xy ? 2 y ? 1 在矩阵 M 所对应 ? ? ?3 4? ?4 6?

的变换作用下得到曲线 C ? ,求曲线 C ? 的方程. 39. 【2016 高考押题卷(2) 【江苏卷】 】 【选修 4-4:坐标系与参数方程】 (本小题满分 10 分)

3 ? x?? t?2 ? ? 5 已知曲线 C 的极坐标方程是 ρ =2sinθ ,直线 l 的参数方程是 ? ( t 为参数), ?y ? 4 t ? 5 ?
设直线 l 与 x 轴的交点是 M,N 是曲线 C 上一动点,求 MN 的最大值. 40. 【2016 高考押题卷(2) 【江苏卷】 】 【选修 4-5:不等式选讲】 (本小题满分 10 分) 已知 a , b , c ? R ,若 4a ? 4b ? 4c ? m ,关于 x 的不等式 | 2 x ? m |? 1 的整数解有且
4 4 4

仅有一个值为 3( m 为整数),求 a ? b ? c 的最大值.
2 2 2

41. 【2016 高考押题卷(2) 【江苏卷】 】 (本小题满分 10 分)

如图,在四棱锥 S ? ABCD 中,底面 ABCD 为正方形, SA ? 平面 ABCD , E 为 SC 的中点, F 为 AC 上一点,且 AB ? 2 , SA ? 2 2 . (Ⅰ)若 EF // 平面 SBD ,试确定 F 点的位置; (Ⅱ)求二面角 B ? SC ? D 的余弦值. 42. 【2016 高考押题卷(2) 【江苏卷】 】 (本小题满分 10 分) 对于数列 ?an ? ,称 P(ak ) ?

1 k ?1 ? ai ? ai ?1 ,其中 k ? 2, k ? N 为数列 ?an ? 的前 k 项“波 k ? 1 i ?1

动均值”.若对任意的 k ? 2, k ? N ,都有 P(ak ?1 ) ? P(ak ) ,则称数列 ?an ? 为“趋稳数列”. (1)若数列 1, x,2 为“趋稳数列”,求 x 的取值范围; (2)已知数列 ?an ? 的首项为 1,各项均为整数,前 k 项的和为 Sk ,且对任意 k ? 2, k ? N , 都有 3P(Sk ) ? 2P(ak ) ,试计算: Cn P(a2 ) ? 2Cn P(a3 ) ? ? ? (n ? 1)Cn P(an ) ,
2 3 n

其中 n ? 2, n ? N 43. 【2016 高考冲刺卷(2) 【江苏卷】 】 【选修 4—1 几何证明选讲】 (本小题满分 10 分)如图,

?PAQ 是直角,圆 O 与射线 AP 相切于点 T ,与射线 AQ 相交于两点 B, C .求证: BT 平分
?OBA .

44. 【2016 高考冲刺卷(2) 【江苏卷】 】 【选修 4—2:矩阵与变换】 (本小题满分 10 分)已知

? ?1 2 ? ? 的一个特征值为 ?2 ,求 M 2 . 矩阵 M ? ? 5 ? x? ?2 ?
45. 【2016 高考冲刺卷(2) 【江苏卷】 】 【选修 4—4:坐标系与参数方程】 (本小题满分 10 分) 在极坐标系中,求圆 ? ? 8 sin ? 上的点到直线 ? ?

?
3

( ? ? R )距离的最大值.

46. 【2016 高考冲刺卷(2) 【江苏卷】 】 【选修 4—5:不等式选讲】 (本小题满分 10 分) 设 x, y 均为正数,且 x ? y ,求证: 2 x ?

1 ? 2y ? 3. x ? 2 xy ? y 2
2

47. 【2016 高考冲刺卷(2) 【江苏卷】 】 一位网民在网上光顾某网店,经过一番浏览后,对 该店铺中的 A, B, C 三种商品有购买意向.已知该网民购买 A 种商品的概率为 商品的概率为
3 , 购买 B 种 4

2 1 ,购买 C 种商品的概率为 .假设该网民是否购买这三种商品相互独立. 3 2

(1)求该网民至少购买 2 种商品的概率; (2)用随机变量 h 表示该网民购买商品的种数,求 h 的概率分布和数学期望. 48. 【2016 高考冲刺卷(2) 【江苏卷】 】设集合 M ? ?1,2,3,?, n? (n ? 3) ,记 M 的含有三个 元素的子集个数为 Sn ,同时将每一个子集中的三个元素由小到大排列,取出中间的数, 所有这些中间的数的和记为 Tn . (1)求

T3 T5 T6 T4 , , , 的值; S3 S 4 S5 S6 Tn 的表达式,并证明之. Sn

(2)猜想

49. 【2016 高考冲刺卷(4) 【江苏卷】 】 【选修 4—1 几何证明选讲】如图,?PAQ 是直角,圆 O 与射线 AP 相切于点 T ,与射线 AQ 相交于两点 B, C .求证: BT 平分 ?OBA .

50. 【2016 高考冲刺卷(4) 【江苏卷】 】 【选修 4—2:矩阵与变换】在平面直角坐标系 xOy 中, 设点 A ? ?1, 2? 在矩阵 M ? ?

? ?1 0? 将点 B ? 3, 4 ? 绕点 A? 逆时针 ? 对应的变换作用下得到点 A? , ? 0 1?

旋转 90? 得到点 B? ,求点 B? 的坐标. 51. 【2016 高考冲刺卷(4) 【江苏卷】 】 【选修 4—4:坐标系与参数方程】在平面直角坐标系

xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.直线 l 的极坐标方程为
? x ? 2cos t ? 3 ? ? sin( ? ? ) ? , 椭圆 C 的参数方程为 ? (t 为参数) . 3 2 ? ? y ? 3 sin t
(1)求直线 l 的直角坐标方程与椭圆 C 的普通方程;

(2)若直线 l 与椭圆 C 交于 A,B 两点,求线段 AB 的长. 52. 【2016 高考冲刺卷(4) 【江苏卷】 】 【选修 4—5:不等式选讲】设 x,y 均为正数,且 x>y, 求证:x+ 4 ≥y+3. x -2xy+y2
2

53.【2016 高考冲刺卷 (4) 【江苏卷】 】 如图, 在直角梯形 AA A1B1 // AB , ?A1 AB ? 90? , 1B 1B 中,

AB ? AA1 ? 2 A1B1 ? 2 .直角梯形 AAC 1 1C 通过直角梯形 AA 1B 1B 以直线 AA 1 为轴旋转得到,

M 为线段 BC 的中点, P 为线段 BB1 上的动点. 且使得平面 AAC 1 1C ? 平面 AA 1B 1B .
(Ⅰ)当点 P 是线段 BB1 中点时,求二面角 P ? AM ? B 的余弦值;

AMP ?请说明理由. (Ⅱ)是否存在点 P ,使得直线 AC 1 //平面
A1 C1 P A C M
n
2

B1

B

54. 【2016 高考冲刺卷(4) 【江苏卷】 】设(1-x) =a0+a1x+a2x +?+anx ,n∈N,n≥2. (1)设 n=11,求|a6|+|a7|+|a8|+|a9|+|a10|+|a11|的值; (2) 设 bk=

n

Sm k ?1 | ak+1(k∈N, k≤n-1), Sm=b0+b1+b2+?+bm(m∈N, m≤n-1), 求| m Cn ?1 n?k

55. 【2016 高考冲刺卷(8) 【江苏卷】 】 【选修 4—1 几何证明选讲】如图,△ABC 内接于圆 O,

D 为弦 BC 上一点,过 D 作直线 DP // AC,交 AB 于点 E,交圆 O 在 A 点处的切线于点 P.求
证:△PAE∽△BDE. P

A

E P B P D P

C P

56. 【2016 高考冲刺卷(8) 【江苏卷】 】 【选修 4—2:矩阵与变换】 已知 a,b 是实数,如果

?3 a ? 矩阵 A= ? ? 所对应的变换 T 把点(2,3)变成点(3,4). ?b ?2 ?
(1)求 a,b 的值. (2)若矩阵 A 的逆矩阵为 B,求 B . 57. 【2016 高考冲刺卷(8) 【江苏卷】 】 【选修 4—4:坐标系与参数方程】 在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 过点 M (1, 2) ,倾斜角为 ? ﹒以坐标原点 O 为极点, x 轴
2

3
的正半轴为极轴建立极坐标系,圆 C : ? ? 6cos ? ﹒若直线 l 与圆 C 相交于 A , B 两点,求

MA? MB 的值.
58. 【2016 高考冲刺卷 (8) 【江苏卷】 】 【选修 4—5: 不等式选讲】 求函数 f(x)=5 x + 8 ? 2 x 的最大值. 59. 【2016 高考冲刺卷(8) 【江苏卷】 】 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y =2px (p>0)的准线 l 与 x 轴交于点 M,过 M 的直线与抛物线交于 A,B 两点.设 A(x1,y1)到准 线 l 的距离为 d,且
2

d=λ p(λ >0) .
(1)若 y1=d=1,求抛物线的标准方程;

???? ? ??? ? (2)若 AM ? ? AB =0,求证:直线 AB 的斜率为定值.
y B

l

M

A O X

?,an 满足 a1 ? a2 ? ? ? an ? 0 ,且 60. 【2016 高考冲刺卷(8) 【江苏卷】 】设实数 a1 ,a2 ,

| a1 | ? | a2 | ?? ? | an |≤1 (n ? N * 且 n ≥ 2) ,令 bn ?

an (n ? N*) .求证: n

1 1 (n ? N*) . | b1 ? b2 ? ? ? bn |≤ ? 2 2n
61. 【2016 高考冲刺卷(1) 【江苏卷】 】 【选修 4-1:几何证明选讲】 (本小题满分 10 分) 如图, AB 为⊙ O 的直径,直线 CD 与⊙ O 相切于点 D , AC ? CD , DE ? AB ,C 、 E 为 垂足,连接 AD, BD . 若 AC ? 4 , DE ? 3 ,求 BD 的长. C D

A

· O

E

B

62. 【2016 高考冲刺卷(1) 【江苏卷】 】 【选修 4-2:矩阵与变换】 (本小题满分 10 分)

?1 2? 已知矩阵 A ? ? ? ,求矩阵 A 的特征值和特征向量. ? ?1 4?
63. 【2016 高考冲刺卷(1) 【江苏卷】 】 【选修 4-4:坐标系与参数方程】 (本小题满分 10 分) 在极坐标系中,求圆 ? ? 8 sin ? 上的点到直线 ? ?

?
3

( ? ? R )距离的最大值.

64. 【2016 高考冲刺卷(1) 【江苏卷】 】 【选修 4-5:不等式选讲】 (本小题满分 10 分)
2 3 已知正实数 a , b, c 满足 a ? b ? c ? 1 ,求证:

1 1 1 ? 4 ? 6 ≥ 27 . 2 a b c

65.【2016 高考冲刺卷(1) 【江苏卷】 】 (本小题满分 10 分)如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,

AB=3,AA1=AC=4,AA1⊥平面 ABC; AB⊥AC,
(1)求二面角 A1-BC1-B1 的余弦值; (2)在线段 BC1 存在点 D,使得 AD⊥A1B,求

BD 的值. BC1

A1

B1

C1

A

B

C

66【2016 高考冲刺卷(1) 【江苏卷】 】 (本小题满分 10 分) 已知 k , m ? N* ,若存在互不相等的正整数 a1 , a2 , ? , am ,使得 a1a2 , a2 a3 , ? , am?1am , am a1 同时小 于 k ,则记 f ( k ) 为满足条件的 m 的最大值. (1)求 f (6) 的值; (2)对于给定的正整数 n (n ? 1) , (ⅰ)当 n(n ? 2) ? k ? (n ? 1)(n ? 2) 时,求 f ( k ) 的解析式; (ⅱ)当 n(n ? 1) ? k ? n(n ? 2) 时,求 f ( k ) 的解析式. 67. 【2016 高考冲刺卷(3) 【江苏卷】 】 【选修 4-1:几何证明选讲】 (本小题满分 10 分) 如图,过点 P 作圆 O 的割线 PBA 与切线 PE , E 为切点,连接 AE,BE ,?APE 的平分线与

AE,BE 分别交于 C,D ,其中 ?APE ? 30? .

(Ⅰ)求证:

ED PB PD ? ? ; BD PA PC

(Ⅱ)求 ?PCE 的大小. 68. 【2016 高考冲刺卷(3) 【江苏卷】 】 【选修 4-2:矩阵与变换】 (本小题满分 10 分)

? ?1 2 ? ? 的一个特征值为 ?2 ,求 M 2 . 已知矩阵 M ? ? 5 ? x? ?2 ?
69. 【2016 高考冲刺卷(3) 【江苏卷】 】 【选修 4-4:坐标系与参数方程】 (本小题满分 10 分) 在直角坐标系中,以原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线

? ? x ? ?2 ? ? 2 C : ? sin ? ? 2a cos? (a ? 0) 过点 P(?2, ?4) 的直线 l : ? ? y ? ?4 ? ? ?
相交于点 M , N 两点. (1)求曲线 C 的平面直角坐标系方程和直线 l 的普通方程; (2)若 PM , MN , PN 成等比数列,求实数 a 的值.

2 t 2 ( 为参数) 与曲线 C t 2 t 2

70. 【2016 高考冲刺卷(3) 【江苏卷】 】 【选修 4-5:不等式选讲】 (本小题满分 10 分) 已知函数 f ? x ? ? x ?1 ? 2 x ?1 (1)解不等式 f ? x ? ? 4 (2)若不等式 f ? x ? ? a ? 1 对任意的 x ? R 恒成立,求实数 a 的取值范围. 71. 【2016 高考冲刺卷(3) 【江苏卷】 】 (本小题满分 10 分) 袋中装有黑球和白球共 7 个,从中任取 2 个球都是白球的概率为
1 。现有甲、乙两人从袋中 7

轮流、不放回地摸取 1 球,甲先取,乙后取,然后甲再取??直到袋中的球取完即终止。若 摸出白球,则记 2 分,若摸出黑球,则记 1 分。每个球在每一次被取出的机会是等可能的。 用?表示甲,乙最终得分差的绝对值. (1)求袋中原有白球的个数; (2)求随机变量?的概率分布列及期望 E?. 72. 【2016 高考冲刺卷(3) 【江苏卷】 】 (本小题满分 10 分) 设 n 个正数 a1 , a2 ,?, an 满足 a1 ≤ a2 ≤ ? ≤ an ( n ? N* 且 n ≥3 ) . (1)当 n ? 3 时,证明: (2)当 n ? 4 时,不等式
a1a2 a2 a3 a3 a1 ? ? ≥ a1 ? a2 ? a3 ; a3 a1 a2 a1a2 a2 a3 a3 a4 a4 a1 ? ? ? ≥ a1 ? a2 ? a3 ? a4 也成立,请你将其推广到 n a3 a4 a1 a2

( n ? N* 且 n ≥3 )个正数 a1 , a2 ,?, an 的情形,归纳出一般性的结论并用数学归纳法证明. 73. 【2016 高考冲刺卷(5) 【江苏卷】 】 【选修 4-1:几何证明选讲】 (本小题满分 10 分) 已知 AB 为半圆 O 的直径, AB ? 4, C 为半圆上一点,过点 C 作半圆的切线 CD ,过 A 点作

AD ? CD 于 D ,交半圆于点 E , DE ? 1 .

(1)证明: AC 平分 ?BAD ; (2)求 BC 的长. 74. 【2016 高考冲刺卷(5) 【江苏卷】 】 【选修 4-2:矩阵与变换】 (本小题满分 10 分) 设矩阵 M ? ?

? a 0? 的一个特征值为 2 ,若曲线 C 在矩阵 M 变换下的方程为 x 2 ? y 2 ? 1,求 ? ?2 1 ?

曲线 C 的方程. 75. 【2016 高考冲刺卷(5) 【江苏卷】 】 【选修 4-4:坐标系与参数方程】 (本小题满分 10 分) 在极坐标系中,求圆 ? ? 8 sin ? 上的点到直线 ? ?

?
3

( ? ? R )距离的最大值.

76. 【2016 高考冲刺卷(5) 【江苏卷】 】 【选修 4-5:不等式选讲】 (本小题满分 10 分) 已知正实数 a, b, c 满足 a ? b ? c ? 3 ,求证:

b c a ? 2 ? 2 ?3. 2 a b c

77. 【2016 高考冲刺卷(5) 【江苏卷】 】 (本小题满分 10 分)

E,F ?ABC ? 60? , 如图, 已知四棱锥 P ? ABCD , 底面 ABCD 为菱形, PA ? 平面 ABCD ,
分别是 BC,PC 的中点. P

F A B E C D

(1)证明: AE ? PD ; (2)若 AB ? 2, PA ? 2 ,求二面角 E ? AF ? C 的余弦值. 78. 【2016 高考冲刺卷(5) 【江苏卷】 】 (本小题满分 10 分) 一种十字绣作品由相同的小正方形构成,图①,②,③,④分别是制作该作品前四步时对应 的图案,按照如此规律,第 n 步完成时对应图案中所包含小正方形的个数记为 f (n) .









(1)求出 f (2) , f (3) , f (4) , f (5) 的值; (2)利用归纳推理,归纳出 f (n + 1) 与 f (n) 的关系式; (3)猜想 f (n) 的表达式,并写出推导过程. 79. 【2016 高考冲刺卷(6) 【江苏卷】 】[选修 4-1:几何证明选讲] (本小题满分 10 分) 如图所示,圆 O 的两弦 AB 和 CD 交于点 E,EF∥CB,EF 交 AD 的延长线于点 F,FG 切圆 O 于点 G. 若 FG=2,求 EF 的长. 80. 【2016 高考冲刺卷(6) 【江苏卷】 】[选修 4-2:矩阵与变换] (本小题满分 10 分) 已知矩阵 A ? ?

? a 2? ? , A 的一个特征值 ? ? 2 .设在矩阵 A 所对应的变换 ? 和关于 x ? ?1 4 ?

轴的反射变换 ? ,写出复合变换 ? ?? 的变换公式. 81. 【2016 高考冲刺卷(6) 【江苏卷】 】 【选修 4—4:坐标系与参数方程】 (本小题满分 10 分) 已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处,极轴与 x 轴的正半轴重合.直线 l 的极坐标方程 为: ? sin(? ?

?
6

)?

? x ? 2 ? 2cos ? 1 ,曲线 C 的参数方程为: ? .求曲线 C 上的 (? 为参数) 2 ? y ? 2sin ?

点到直线 l 的距离的最大值 82. 【2016 高考冲刺卷(6) 【江苏卷】 】[选修 4-5:不等式选讲] (本小题满分 10 分) 已知实数 x、y、z 满足 x +4y +9z =a(a>0),且 x+y+z 的最大值是 1,求 a 的值. 83. 【2016 高考冲刺卷(6) 【江苏卷】 】设点 F 是抛物线 L: y ? 2 px ( p ? 0) 的焦点,
2
2 2 2

P ?、Pn 是抛物线 L 上的 n 个不同的点( n ? 3, n ? N* ). 1、P 2、P 3、
(1) 当 p ? 2 时,试写出抛物线 L 上的三个定点 P1 、 P2 、 P3 的坐标,从而使得

??? ? ???? ???? | FP | ? | FP | ? | FP 1 2 3 |? 6 ;
(2)当 n ? 3 时,若 | FP 1 | ? | FP 2 | ? | FP 3 | ??? | FP n |? np , 则 FP 1 ? FP 2 ? FP 3 ? ? ? FP n ? 0 。试判断此结论是否正确,如正确,请说明理由;如错误,

??? ?

????

??? ?

????

??? ? ???? ????

???? ?

请构造举例说明。 84. 【2016 高考冲刺卷(6) 【江苏卷】 】如图,由若干个小正方形组成的 k 层三角形图阵,第 一层有 1 个小正方形,第二层有 2 个小正方形,依此类推,第 k 层有 k 个小正方形,除去最 底下的一层,每个小正方形都放置在这一下层的两个小正方形之上,现对第 k 层的每个小正 形用数字进行标注,从左到右依次记为 x1 , x2 ,? ? ?xk , 其中 xi ??0,1? (1 ? i ? k ) ,其它小正方形 标注的数字是它下面两个小正方形标注的数字之和,依此规律,记第一层的小正方形标注的 数字为 x0 。 (1)当 k=4 时,若要求 x0 为 2 的倍数,则有多少种不同的标注方法? (2)当 k=11 时,若要求 x0 为 3 的倍数,则有多少种不同的标注方法?

85. 【2016 高考冲刺卷(7) 【江苏卷】 】 【选修 4-1:几何证明选讲】 (本小题满分 10 分) 如图所示, AC 为 的直径, D 为 的中点, E 为 BC 的中点.

(1)求证: DE∥ AB ; (2)求证: AC ? BC ? 2 AD ? CD . 86. 【2016 高考冲刺卷(7) 【江苏卷】 】 【选修 4-2:矩阵与变换】 (本小题满分 10 分) 若矩阵 M ? ?

?a ?c

2? ?1? ?1 属于特征值 3 的一个特征向量为 α ? ? ? ,求矩阵 M 的逆矩阵 M . ? 1? ?1?

87. 【2016 高考冲刺卷(7) 【江苏卷】 】 【选修 4-4:坐标系与参数方程】 (本小题满分 10 分) 在平面直角坐标系中,已知直线 l 过点 P ? ?1, 2? ,倾斜角 ? ? 正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 3 . (Ⅰ)写出直线 l 的参数方程和曲线 C 的直角坐标方程;

?
6

,再以原点为极点, x 轴的

(Ⅱ)若直线 l 与曲线 C 分别交于 M 、N 两点,求 PM ? PN 的值. 88. 【2016 高考冲刺卷(7) 【江苏卷】 】 【选修 4-5:不等式选讲】 (本小题满分 10 分) 已知正实数 a, b, c 满足 a ? b ? c ? 3 ,求证:

b c a ? 2 ? 2 ?3. 2 a b c

89. 【2016 高考冲刺卷(7) 【江苏卷】 】 (本小题满分 10 分) 已知正方形 ?? CD 的边长为 2 , ? 、 F 、 G 、 ? 分别是边 ?? 、 ? C 、 CD 、 D ? 的中点. (1)在正方形 ?? CD 内部随机取一点 ? ,求满足 PE ? 1 的概率; (2)从 ? 、 ? 、 C 、 D 、 ? 、 F 、 G 、 ? 这八个点中,随机选取两个点,记这两个点之间 的距离的平方为 ? ,求随机变量 ? 的分布列与数学期望 ?? . 90. 【2016 高考冲刺卷(7) 【江苏卷】 】 (本小题满分 10 分) 设 a 是一个自然数, f ( a ) 是 a 的各位数字的平方和,定义数列 {an } : a1 是自然数, . an ? f (an?1 ) ( n ? N * , n ? 2 ) (1)求 f (99) , f (2014) ; (2)若 a1 ? 100 ,求证: a1 ? a2 ; (3)求证:存在 m ? N * ,使得 am ? 100 . 91. 【2016 高考冲刺卷(9) 【江苏卷】 】[选修 4-1:几何证明选讲] (本小题满分 10 分) 如图,⊙O 的半径 OB 垂直于直径 AC,M 为 AO 上一点,BM 的延长线交⊙O 于 N,过 N 点的切线 交 CA 的延长线于 P, 若⊙O 的半径为 2 3 ,OA= 3 OM, 求 MN 的长.
A1 B1

C1

A

B

C

92. 【2016 高考冲刺卷(9) 【江苏卷】 】[选修 4-2:矩阵与变换] (本小题满分 10 分)
? 1 0? ?3 0 ? ?1 ? ,求 A 的特征值. 已知矩阵 A ? ? ? ,A 的逆矩阵 A ? ? 3 ? b 1? ?2 a ? ? ?

93. 【2016 高考冲刺卷(9) 【江苏卷】 】 【选修 4—4:坐标系与参数方程】 (本小题满分 10 分) 在极坐标系中,圆 C 的极坐标方程为 ? 2 ? 8? sin(? ? ) ? 13 ? 0 ,已知 A(1,

?

3

3? 3? ), B(3, ) , 2 2

P 为圆 C 上一点,求 ?PAB 面积的最小值.
94. 【2016 高考冲刺卷(9) 【江苏卷】 】[选修 4-5:不等式选讲] (本小题满分 10 分)

1 1 1 ? 4 ? 6 ≥ 27 . 2 a b c 2 95. 【2016 高考冲刺卷(9) 【江苏卷】 】已知抛物线 C : y ? 2 px ( p ? 0) 的焦点为 F ,过 F 作
已知正实数 a, b, c 满足 a ? b ? c ? 1 ,求证:
2 3

直线 l 与抛物线交于点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , O 为坐标原点,若 | AB |? 4 p ,且 OA ? OB ,且

??? ? ??? ? FA ? FB ? ?9 .
(1)求抛物线 C 的方程; (2)若直线 l : y ? x ? m 与抛物线 C 相切于点 E ,与圆 ( x ? 2)2 ? ( y ? )2 ? 4 交于点 F , G , 求 EF ? EG . 96. 【2016 高考冲刺卷(9) 【江苏卷】 】 (本小题满分 10 分) 甲乙两人进行围棋比赛,共比赛 2n( n ? N* )局.根据以往比赛胜负的情况知道,每局 甲胜 的概率和乙胜的概率均为 1 .如果某人获胜的局数多于另一人,则此人赢得比赛.记甲 2 赢得 比赛的概率为 P(n). (1)求 P(2) 与 P(3) 的值; (2)试比较 P(n) 与 P (n ? 1) 的大小,并证明你的结论.

1 2

??? ? ??? ?


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