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【人教A版】高中数学同步辅导与检测:必修5全集第二章2.5第2课时等差、等比数列的综合应用

第二章 2.5 第 2 课时 数列 等比数列的前 n 项和 等差、等比数列的综合应用 A级 基础巩固 一、选择题 1 9 1.数列 an= ,其前 n 项之和为 ,则项数 n 为( 10 n(n+1) A.12 B.11 C.10 D.9 答案:D 2.数列{an}、{bn}满足 anbn=1,an=n2+3n+2,则{bn}的前 10 项之和为( ) ) 1 5 1 7 A. B. C. D. 3 12 2 12 解析:因为 an=(n+1)(n+2), 1 1 1 1 所以 bn= = = - , an (n+1)(n+2) n+1 n+2 ? 1 1 1 ? 1 1 5 所以 S10=?2×3+3×4+…+11×12?= - = . ? ? 2 12 12 答案:B 3. 数列{an}的通项公式 an= 项之和等于 9.( ) 1 n+ n+1 , 则该数列的前________ A.99 B.98 C.97 D.96 解析:an= 1 n+ n+1 = ( n+1- n n+1- n)( n+1+ n) = n+1- n, 所以 Sn=a1+a2+a3+…+an= ( 2- 1)+( 3- 2)+…+( 令 n+1- n)= n+1-1. n+1-1=9?n+1=100,所以 n=99. 答案:A 4.数列 前 n 项和为( A. n 3n+2 1 1 1 1 , , ,…, ,…的 2×5 5×8 8×11 (3n-1)· (3n+2) ) n B. 6n+4 n+1 D. n+2 3n C. 6n+4 1 解析:因为 = (3n-1)· (3n+2) 1 1 ? 1? ? ? - ,得前 n 项和 ? 3?3n-1 3n+2? ? 11 1 1 1 1 1 1 1 1?1- 1 ? ? Sn= ( - + - + - + … + - )= ? 2 ? 3n+2? 3 2 5 5 8 8 11 3n-1 3n+2 3? ? n = . 6n+4 答案:B n+1 5.已知数列{an}的通项公式 an=log2 (n∈N*),设{an}的前 n n+2 项和为 Sn,则使 Sn<-5 成立的正整数 n( A.有最大值 63 C.有最大值 31 n+1 解析:an=log2 , n+2 所以 Sn=a1+…+an n+1 2 3 =log2 +log2 +…+log2 3 4 n+2 ) B.有最小值 63 D.有最小值 31 ?2 3 n+1? =log2?3·4·…· ? n + 2 ? ? 2 2 =log2 ,令 Sn<-5,则 log2 <-5, n+2 n+2 所以 n+2>26=64, 所以 n>62,故 n 的最小值为 63. 答案:B 二、填空题 n-1 ? ?2 (n为正奇数) 6.数列{an}中,an=? ,则它的前 n 项和 Sn ?2n-1(n为正偶数) ? =________. 解析:易知数列{an}的奇数项为以 1 为首项,4 为公比的等比数 列,偶数项是以 3 为首项,4 为公差的等差数列. n+1 n-1 (1)当 n 为奇数时,奇数项有 项,偶数项有 项, 2 2 ? n-1 ? n+1 ?n-1 ? · - 1 ? ? 2 ? 2 1-4 2 (n-1)×3 ? 所以 Sn= + + · 2 2 1-4 2n+1-1 n2-n 4= + ; 3 2 n (2)当 n 为偶数时,奇数项、偶数项各有 项, 2 n ? n?n ? ? - 1 1-42 n 2n-1 n2+n 2?2 ? 所以 Sn= + ×3+ ×4= + . 2 3 2 1-4 2 ? 答案:? 2 -1 n +n ? 3 + 2 (n为偶数) n 2 2n+1-1 n2-n + (n为奇数), 3 2 7.已知数列{an}的通项公式为 an=log2(n2+3)-2,那么 log23 是这个数列的第________项. 解析: 令 an=log23?log2(n2+3)-2=log23? n2+3=12,所以 n2=9,n=3. 答案:3 8.下列命题中正确命题为________(填序号). a1(1-qn) ①常数列一定是等比数列; ②等比数列前 n 项和 Sn= 1-q (其中 a1 为首项,q 为公比);③前 n 项和 Sn 为 n 的二次函数的数列 一定是等差数列;④0 不可能是任何等比数列的一项. 答案:④ 三、解答题 9.已知在等比数列{an}中,a1=1,且 a2 是 a1 和 a3-1 的等差中 项. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足 b1+2b2+3b3+…+nbn=an(n∈N*),求{bn}的 通项公式 bn. 解:(1)由题意,得 2a2=a1+a3-1, 即 2a1q=a1+a1q2-1,整理得 2q=q2. 又 q≠0,解得 q=2,所以 an=2n-1. (2)当 n=1 时,b1=a1=1; 当 n≥2 时,nbn=an-an-1=2n-2, 2n-2 即 bn= , n 1,n=1, ? ? 所以 bn=?2n-2 ? ? n ,n≥2. ?6n-5(n为奇数), ? 10.已知数列{an}的通项公式为 an=? n ? ?4 (n为偶数), 求 Sn. 解:①当 n 为奇数时, Sn=[1+13+…+(6n-5)]+(42+44+…+4n-1)= (1+6n-5) n+1 42(4n-1-1) · + = 2 2 42-1 (n+1)(6n-4) 4n+1-16 + = 4 15 (n+1)(3n-2) 4n+1-16 + . 2 15 ②当 n 为偶数时, Sn=[1+13+…+(6n-11)]+ (4 +4 2 4 +…+4n-1+4n)= n(3n-5) 4n+2-16 + . 2 15 B级 能力提升 ? ? ? 1? 1.在数列{an}中,a1=2,a

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