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江苏省启东市汇龙中学2013届高三高考最后一卷数学试题


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2013 届高三模拟考试数学试卷

2013.6

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分。不需写出解答过程,请把答案直接填写 在答题卡相应位置上。 1.已知全集 U ? R,集合 A ? {x | x ≤0}∪ {x | x >2},则
U

A=



. ▲ . ▲ .

2.若复数 z 满足 z (1 ? i ) ? 1 ? i ( i 是虚数单位) ,则其共轭复数 z =_

3.下面求 2 ? 5 ? 8 ? 11 ? ? ? 2012 的值的伪代码中,正整数 m 的最大值为 I←2 S←0 While I<m S←S+I I←I+3 End While Print S End
(第 3 题)

频率 组距
0.03 0.02 9 0.01 8 0.0 8 0.00 1 5 30 40 50 60 (第 4 题) 70 80 时

速 4.200 辆汽车经过某一雷达地区,时速频率分布直方图上右图所示,则时速超过 70km/h 的汽车 数量为___▲___ 辆. 5.一只口袋有形状,大小都相同的5只小球,其中2只白球,3只红球。从中一次随机摸出2只 球,则2只球不同色的概率是 ▲ 。 6.如图, A1 B1C1 D1 ? ABCD 为边长为 a 的正方体, E1 , F1 分 别是 A1 B1 , C1 D1 的中点,过 E1 F1 作正方体截面,若截面平 行于平面 A1 BCD1 ,则截面的面积为 ▲ .

D1 A1
E1

F1

C1 B1

D

C

A B 2 2 7.在 ?ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,则“ a ? b ? c ? ab ”是“ ?ABC 为
2

钝角三角形”的 填写) 8.函数 y ?



条件. (从“充要”“充分不必要”“必要不充分”中选择一个正确的 , ,

sin x ? cos x 的定义域为





9.已知曲线 y ? 3 ? log 2 a (2 x ? 5) (a ? 0, a ? 1 ) 恒过定点 (m, n) 且 k , m, n, r 成等差数列, 2 ▲ . k ?r ? 10.已知圆 C: x ? y ? 1 ,点 P( x0 , y 0 ) 是直线 l: 3x ? 2 y ? 4 ? 0 上的动点,若在圆 C 上总存
2 2

在不同的两点 A,B 使得 OA ? OB ? OP ,则 x 0 的取值范围是 ▲



11.已知函数 f ?x ? ? 2 sin x ? 1?x ? ?0,2? ?? ,若函数 h?x ? ?| f ( x) | ?a 有两个不同的零点,则 a 的取
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值范围为___▲ ___. 12.在平面直角坐标系 xOy 中,对任意的实数 m,集合 A 中的点(x,y)都不 在直线 2mx+(1-m2)y-4m-2=0 上,则集合 A 所对应的平面图形面积 的最大值为 ▲ . 13.设函数 f ( x) 的定义域为 D ,如果 ?x ? D, ?y ? D ,使

f (x) ? f (y ) ? C ( C 为常数)成立, 2 1 3 则称函数 f ( x) 在 D 上的均值为 C ,已知四个函数:① y ? x ( x ? R ) ;② y ? ( ) x ( x ? R) ; 2
③ y ? ln x( x ? (0, ??)) ; y ? 2sin x ? 1( x ? R) , ④ 上述四个函数中, 满足所在定义域上 “均 值”为 1 的函数是 ▲

14.设实数 a, x, y ,满足 ?

?
2

x ? y ? 2a ? 1

2 2 ? x ? y ? a ? 2a ? 3

,则 xy 的取值范围是



二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分。请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤。 15. (本题满分 14 分)设函数 f (? ) ? a ? b,向量 a = (sin ? , cos? ) , b = (sin ? , 3 sin ? ? 2 cos? ) ,其中角 ? 的顶点与坐标原点重合,始边与 x 轴非负半轴重合,终 边经过点 P ( x, y ) ,且 0≤ ? ≤ ? .

(1)若点 P 的坐标为 ( ,

1 3 ) ,求 f (? ) 的值; 2 2

?x ? y ? 1 (2)若点 P ( x, y ) 为平面区域 ?? x ? 1 上的一个动点,试确定 ? 的取值范围,并求 ? ?y ? 1 ?

16. (本题满分 14 分) 如图, 正方形 ABCD 和三角形 ACE 所在的平面互相垂直, EF∥BD, AB= 2 EF. E (1)求证:BF∥平面 ACE; F (2)求证:BF⊥BD.

D A B

C

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17. (本题满分 14 分)交管部门遵循公交优先的原则,在某路段开设了一条仅供车身长为 10 m 的 公共汽车行驶的专用车道,据交管部门收集的大量数据分析发现,该车道上行驶着的前,后亮亮 公共汽车间的安全距离 d ( m )与车速? ( km / h )之间满足二次函数关系 d ? f ( x) ,现已知 车速为 15 km / h 时,安全距离为 8 m ,车速为 45 km / h 时,安全距离为 38 m ;出现堵车状况时, 两车安全距离为 2 m (1)试确定 d 关于? 的函数关系式 d ? f (? ) ; (2) 车速? ( km / h ) 为多少时, 单位时段内通过这条车道的公共汽车数量最多, 最多是多少辆?

18. (本题满分 16 分)设椭圆方程

x2 y2 2 ,过焦点且垂直于 x ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) ,离心率为 2 2 a b

轴的直线交椭圆于 A,B 两点,AB=2. (1)求该椭圆的标准方程; (2)设动点 P( x0 , y 0 ) 满足 OP ? OM ? 2ON ,其中 M,N 是椭圆 C 上的点,直线 OM 与 ON 的斜率之积为 ?

1 2 2 ,求证: x0 ? 2 y 0 为定值. 2

19. (本题满分 16 分)已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , a n ?1 ? 2a n ? 2a n , n 为正整数.
2

(1)证明:数列 ?lg(2an ? 1)? 为等比数列; (2)设 Tn ? (2a1 ? 1)(2a2 ? 1)?(2an ? 1) , bn ? log 2 an ?1 Tn ,若数列 ?bn ? 的前 n 项之和 S n ,并求使
Sn ? 2014 的 n 的最小值.

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20.(本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? ax 2 ? x , a ?R . (1)若函数 y ? f ( x) 在其定义域内是单调增函数,求实数 a 的取值范围; (2)若函数 y ? f ( x) 的图象被点 P(2, f (2)) 分成的两部分为 c1 , c2(点 P 除外),该函数图象在

1 8 (3)试确定 a 的取值范围,使得曲线 y ? f ( x) 上存在唯一的点 P ,曲线在该点处的切线与曲
点 P 处的切线为 l ,求证:当 a ? ? 时, c1 , c2 分别完全位于直线 l 的两侧. 线只有一个公共点 P .

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加 试 题
考试时间 30 分钟;满分 40 分 21. (本题共 2 小题;每题 10 分,共 20 分) B. (选修 4--2:矩阵与变换)在军事密码学中,发送密码时,先将英文字母数学化,对应如下表: a 1 b 2 c 3 d 4 ? ? z 26

?1 2 ? ?14 41 ? 如果已发现发送方传出的密码矩阵为 ? ? ,双方约定人可逆矩阵为 ?3 4 ? , ? ? ?32 101?
试破解发送的英文字母密码. C. (选修 4--4:坐标系与参数方程)在直角坐标系 xoy 中,曲线 M 的参数方程为

? x ? sin ? ? cos? ? ( 为参数),若以该直角坐标系的原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立 ? ? y ? sin 2?
极坐标系,曲线 N 的极坐标方程为: ? sin(? ? (1)求曲线 M 的普通方程; (2)若曲线 N 与曲线 M 只有一个公共点,求 t 的取值范围.

?
4

)?

2 t (其中 t 为常数) . 2

22. (本小题满分 10 分) 在如图所示的几何体中, 四边形 ABCD 为矩形, 平面 ABEF⊥平面 ABCD, EF // AB,∠BAF=90? AD= 2,AB=AF=2EF =1,点 P 在棱 DF 上. , (1)若 P 是 DF 的中点, 求异面直线 BE 与 CP 所成角的余弦值; (2)若二面角 D-AP-C 的余弦值为
6 ,求 PF 的长度. 3
F E P

A

D

B

C

23. (本小题满分 10 分)设 f (x) 是定义在 R 上的函数,
0 ?0? 1 ?1? n ?n? g ( x) ? C n f ? ? x 0 (1 ? x) n ? C n f ? ? x(1 ? x) n ?1 ? ?C n f ? ? x n (1 ? x) 0 ?n? ?n? ?n?

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(1)若 f ( x) ? 1 ,求 g(x); (2)若 f ( x) ? x ,求 g(x).

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2013 届高三模拟考试数学试卷答案
一、填空题: 1.答案: ? 0, 2? 5.答案: 6.答案: 2.答案:-i 3.答案:2015 4.答案:20;

2013.6

4 ,由 A?{-1,0,1,2}得 A 的个数为 2 4 - 1 ,其中单元集有 4 个; ? 15
2 2 a ,截面与侧面 B1 BCC1 相交于 EF,E、F 分别是 B1 B,CC1 的中点, 2
2 2 2

7.答案:必要不充分,由 a ? b ? c ? ab 得∠C=

2? ,故 ?ABC 为钝角三角形,反之, 3

?ABC 为钝角三角形不只有 a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab
8.答案: ?2k? ?

? ?

?
4

,2k? ?

5? ? (k ? Z ) 4? ?

9.答案:6,曲线恒过定点 (3,3) ,由 k , m, n, r 成等差数列,所以 k ? r ? m ? n 10.答案: ? 0, ? ,因 OAPB 是棱形,故 AB 垂直平分 OP,则当 x A ? x B ?

? ?

24 ? 13 ?

2 时, k AB 不存在, 3

这时 x0 ?

x 4 4 ?x y ? 当 x0 ? 时, k AB ? ? 0 ,且直线 AB 过点 ? 0 , 0 ? , y0 3 3 ? 2 2 ?
2

2 2 2 2 直线 AB 方程为 2 x0 x ? 2 y 0 y ? x0 ? y 0 ? 0 ,圆心到直线 AB 的距离 d ? x0 ? y 0 ? 1 ,

4 24 2 2 2 即 x0 ? y 0 ? 4 ,且 3x0 ? 2 y 0 ? 4 ? 0 ,化为 13 x0 ? 24 x0 ? 0 , ? 3 13 11.答案: ? 3 ? a ? ?1 或 a ? 0 ; 由图象可得 ? 3 ? a ? ?1 或 a ? 0 8 2 2 12.答案: ;利用 a ? b ≥ 2 | ab | , 5 10 10 得 S min ? , S max ? , 13 3
13.答案:-4 令 t ? x ?

1 1 ,t ? [?3,3] , y ? log 2 | x ? |? log 2 | t | , y ? 3 sin x? ? ?3 cost? , 2 2

再令 f (t ) ? log 2 | t | ?3 cost? , t ? [?3,3] ,则 f (t ) 是偶函数,先考虑(0,3],利用二分法 解决,关键是(0,

1 1 ? ]上的交点个数的判定, f ? ? ? -3 ? 3 cos <0, f ? 1 ? ? -2 ? 3 cos ? ? 0 , ? ? ? ? 2 8 4 ?8? ?4?

1 1 ? ?1? f ? ? ? -1 ? 3 cos ? 0 ,在(0, ]上有两个交点,在( ,3]上有 2 个交点,共有 4 个,在 2 2 2 ?2?
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[?3,3] 上有 8 个交点,其和为零,故答案是-4
14.答案: 2 ? ln 2 ;依题意由 ?a ? R , ?b ? ? 0, ?? ? ,使 f (a) ? g (b) ,设 ea ? ln 则 有 a ? ln m , b ? 2e
m? 1 2
1

b 1 ? ?m, 2 2

, 所 以 b ? a ?2 e 2

m?

1

, , ?l n m 令 h ? m ? 2 e 2 ? l n m 则 ?

m?

1

h?(m )? e 2

m?

1 2

1 1 2 me 2 ? 1 ? 1? 由 h? ? m ? ? 0 ,求得 m ? ,所以函数 h ? m ? 在 ? 0, ? 上单调 ? ? , 2 m m ? 2?
? ?

m?

递减,在 ? , ?? ? 上单调递增,于是 b ? a ? h ? m ? ? h ? 二、解答题: 15.解: (1) 由 P ( ,

?1 ?2

?1? ? ? 2 ? ln 2 . ?2?

1 2

3 ? ) 且 0≤ ? ≤ ? 得 ? ? ;-------------------------------2 分 2 3

f (? ) ? a ? b = sin 2 ? ? 3 sin ? cos? ? 2 cos2 ? ? 1 ? cos2 ? ?
3 1 3 ? 3 sin 2? ? cos 2? ? ? sin(2? ? ) ? 2 2 2 6 2 y ? 2? ? 3 f ( ) ? s i n ( ? ) ? ? 2 -------------- 6 分 1 3 3 6 2 (2) 如图,作出平面区域 ? ?
由图形可得 ? ? [ 0 ,

3 sin 2? 2

?
2

] ------------8 分

0

1

x x+y-1=0

f (? ) ? sin(2? ?
因为 ? ? [ 0 ,

?
6

)?

?
2

3 2

]

所以 2? ?

?

故 f (? ) 的最小值 ? f ( ) ? 1 ;

?

? 7? ?[ , ] 6 6 6

2

? 5 f (? ) 的最大值 ? f ( ) ? ----------14 分 6 2

16. (1)证明:设 AC 与 BD 的交于 O,连结 EO, 在正方形 ABCD 中, 2 BO=AB,∵AB= 2 EF,∴BO=EF,-----2 分 又∵EF∥BD,∴EFBO 是平行四边形,----------------------------------4 分 ∵BF∥EO,BF ? 平面 ACE,EO ? 平面 ACE ∴BF∥平面 ACE ---------------------------------------------------------7 分

(2)在正方形 ABCD 中,AC⊥BD, 又∵正方形 ABCD 和三角形 ACE 所在的平面互相垂直,

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BD ? 平面 ABCD,平面 ABCD∩平面 ACE=AC, ∴BD⊥平面 ACE, ∵EO ? 平面 ACE ∴BD⊥EO, ∵EO∥BF, ∴BF⊥BD -------------------------------------------------------------14 分 -------------------------------------------------------------12 分 ---------------------------------------------------10 分

17.解(1)不妨设 ?OAB ? ? ,依题意 ? ?[ 0 , 且 MC ? 4 3 由 AO ? BO ?

?
3

],

4 , NO ? 4 3 ? 4 tan? ---------------------------------3 分 cos?

若三条道路建设的费用相同, 则

4 ? 2a ? (4 3 ? 4 tan? )a cos?

所以, sin(

?
3

??) ?

2 ? ,所以, ? ? ,-------------------------------------5 分 2 12

由两倍角的正切公式得, tan

?
12

? 2- 3

即 NO ? 8 3 ? 8 ---------------------------------------------6 分 答:该文化中心建在离 N 村的距离为 8 3 ? 8 km;------------------------7 分 (2)总费用 w ? 2 2a | OA | ? a | ON |? 2 ?

4 2a ? ? a(4 3 ? 4 tan? ) , ? ?[ 0 , ] , 3 cos?

即w ?

8 2 - 4 sin ? a ? 4a 3 ---------------------------------------------------9 分 cos?

w? ?

8 2sin? ? 4 2 a ? 0 ,得 sin ? ? ,------------------------11 分 2 4 cos ? 2 3 2 ? sin ? ? 时 y ? ? 0 ,当 时 y? ? 0 , 4 2 4
2 时,有最小值, 4

当 0 ? sin ? ?

所以,当 sin ? ? 这时, tan? ?

7 7 ) -----------------------13 分 , NO ? 4( 3 ? 7 7

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答:该文化中心建在离 N 村的距离为 4( 3 ? (本题可建立直角坐标系用解析法来解决)

7 ) km.-------------------14 分 7

17. (备用题)分析: (1) 1 ? (0.0175 ? 0.0075 ? 2 ? 0.005 ) ? 20 ? 0.0125 --4 分 20 (2) 400 ? (0.0075 ? 0.005) ? 100 人 -------------------------------8 分

(3)分层抽样的比例为 2:5:3:7:3,现共抽取 20 人,在 ?0,20 ?有2人,设为A,B , 在 ?60,80?有3人,设为a, b, c .共有 10 种可能结果.列举为: ? A, B ?、A,a ?、(A,b)、(A,c) ? ( B, a )、(B,b)、(B,c) ---------------------------------------12 分 (a, b)、 ,c) (a (b, c) 满足条件的结果有: ( A, a)、 , b)、 , c)、 , a)、 , b)、 , c)共6种 , ( A ( A (B (B (B 设满足 x ? y ? 40 的事件为 A,则 P( A) ? 18.解: (1)因为 e ?
2

6 3 ? -------------------14 分 10 5

a2 ? b2 1 ? ,即 a 2 ? 2b 2 ,---------------------------------2 分 2 a2

∵过焦点且垂直于 x 轴的直线交椭圆于 A,B 两点,AB=2.

c2 1 ∴由椭圆的对称性知,椭圆过点 (c,1) ,即 2 ? 2 ? 1 --------------------4 分 a b a2 ? b2 1 ? 2 ? 1 ,解得 a 2 ? 4 , b 2 ? 2 2 a b
椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1 ------------------------------------------------------------7 分 4 2

(2)证明:设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y 2 ) , 则 k OM k ON ?

y1 y 2 1 ? ? ,化简为 x1 x2 ? 2 y1 y 2 ? 0 ----------------------9 分 x1 x 2 2
x1 y x y ? 1 ? 1, 2 ? 2 ? 1 4 2 4 2
2 2 2 2

∵M,N 是椭圆 C 上的点,∴

由 OP ? OM ? 2ON 得 ?
2 2

? x 0 ? x1 ? 2 x 2 -----------------------------------------11 分 ? y 0 ? y1 ? 2 y 2
2 2

所以 x0 ? 2 y 0 ? ( x1 ? 2 x 2 ) ? ( y1 ? 2 y 2 )

2 2 ? ( x12 ? 2 y12 ) ? 4( x2 ? 2 y 2 ) ? 4( x1 x2 ? 2 y1 y 2 )

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? 4 ? 4 ? 4 ? 0 ? 20 (定值)------------------------------------------------------16 分
19.解析: (1)由条件 an+1=2an2+2an,得 2an+1+1=4an2+4an+1=(2an+1)2. ∵lg(2a1+1)=lg3≠0,--------------------------------------------------------3 分 ∴ lg(2an+1+1) =2. lg(2an+1)

∴{lg(2an+1)}为等比数列.------------------------------------------------7 分 (2)∵lg(2a1+1)=lg3,∴lg(2an+1)=2n 1?lg3,
- - 1 2n-1 2n 1 ∴2an+1=3 ,∴an=2(3 -1).------------------------------------9 分

∵lgTn=lg(2a1+1)+lg(2a2+1)+…+lg(2an+1)=(2n-1)lg3. 2n-1 ∴Tn=3 .----------------------------------------------------------------11 分 2n-1 lgTn ?1? bn ? log 2 an ?1 Tn =lg(2a +1)= 2n-1 =2- ? ? n ?2?
n ?1 ? 1 ?1? ? ∴Sn=2n- ?1 ? ? ? ? ? ? ? ?2? ? ? 2 ? ?
n ?1



?1? =2n-2+ 2? ? ?2?

n

----------------------------------------------13 分

由 Sn>2014 得 2n-2+ 2? ? >2014,n+ ? ? >1008,

?1? ?2?

n

?1? ?2?

n

?1? 当 n ? 1007 时,n+ ? ? <1008, ?2? ?1? 当 n≥1008 时,n+ ? ? >1008, ?2?
∴n 的最小值为 1008.-------------------------------------------------------16 分 20.解析: (1) f ?( x) ?
n

n

1 2ax 2 + x ? 1 ? 2ax ? 1 ? ? ( x ? 0) ,------------2 分 x x

只需要 2ax2 ? x ? 1≤ 0 ,即 2a ≤

1 1 1 1 2 1 ? ?( ? ) ? , x2 x x 2 4

1 所以 a ≤ ? .------------------------------------------------------------------------4 分 8

1 1 ? x ? 1 . f ?(2) ? 0 x 4 3 所以切线 l 的方程为 y ? ln 2 ? .--------------------------------------------6 分 2
(2)证明:因为 f ?( x) ?
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令 g ( x) ? ln x ?

1 2 3 x ? x ? (ln 2 ? ) ,则 g (2) ? 0 . 8 2
2

?x ? ? ? 1? 1 1 2 ? g ?( x) ? ? x ? 1 ? ? ≥0,------------- --------------------------8 分 x 4 x
g ( x) 是单调增函数,
当 x? (2, +?) 时, g ( x) ? g (2) ? 0 ; 当 x ? (0,2) 时, g ( x) ? g (2) ? 0 , 所以 c1 , c2 分别完全位于直线 l 的两侧.--------------------------10 分 (3)设点 P( x0 , f ( x0 )) , 则曲线 y ? f ( x) 在点 P 处的切线为 l : y ? f '( x0 )( x ? x0 ) ? f ( x0 ) 令 l : g ( x) ? f ( x) ? [ f '( x0 )( x ? x0 ) ? f ( x0 )] ,则 g ( x0 ) ? 0

? g '( x) ? f '( x) ? f '( x0 ) ,? g '( x0 ) ? 0 ,

? g '( x) ?

( x ? x0 )(2ax0 x ? 1) 1 1 ? 2ax ? ( ? 2ax0 ) ,? g '( x) ? ? x x0 x0 x

①当 a ? 0 时

?x ? (0, x0 ), g '( x) ? 0; ?x ? ( x0 ? ?), g '( x) ? 0

? g ( x) 在 (0, x0 ) 上单调递增,在 ( x0 , ??) 上单调递减

? g ( x) ? 0 只有唯一解 x0 ,而 x0 是任意选取的值,故不满足题意;----12 分
②当 a ? 0 时

g ''( x) ? f ''( x) ? ?

1 1 1 . ? 2a ,记 g ''(m) ? ? 2 ? 2a ? 0 ,则 m ? ? 2 2a x m

(i)若 x0 ? m ,则 g '( x) 在 (0, x0 ) 上单调递减,在 ( x0 , ??) 上单调递增

g '( x) ? g '( x0 ) ? 0 ,? g ( x) 在 (0, ??) 上单调递增

? g ( x) ? 0 只有唯一解 x ? ?

1 2a

(ii)若 x0 ? m ,则 ?(0, m), g ''( x) ? 0; ?( m, ??), g ''( x) ? 0
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? g '( x) 在 (0, m) 上单调递减,在 (m, ??) 上单调递增
此时存在 x1 ? (m, ??) ,使得 g '( x1 ) ? 0

??(0, x0 ) ? ( x1, ??), g '( x) ? 0; ?( x0 , x1 ), g '( x1 ) ? 0

? g '( x) 在 (0, x0 ) 和 ( x1 , ??) 上单调递增,在 ( x0 , x1 ) 上单调递减
此时存在 x2 ? ( x1 , ??) ,使得 g ( x2 ) ? 0 ,? g ( x) 有两个零点. (iii)若 x0 ? m 则 ?(0, m), g ''( x) ? 0; ?(m, ??), g ''( x) ? 0

? g '( x) 在 (0, m) 上单调递减,在 (m, ??) 上单调递增
此时存在 x1 ? (0, m) ,使得 g '( x1 ) ? 0

??(0, x1 ) ? ( x0 , ??), g '( x) ? 0; ?( x1, x0 ), g '( x1 ) ? 0

? g '( x) 在 (0, x1 ) 和 ( x0 , ??) 上单调递增,在 ( x1 , x0 ) 上单调递减
此时存在 x2 ? (0, x1 ) ,使得 g ( x2 ) ? 0 ,? g ( x) 有两个零点. 综上所述,当 a ? 0 时,曲线 y ? f ( x) 上存在唯一的点 P( ?

1 1 , f ( ? )) ,曲线在该点处的切 2a 2a

线与曲线只有一个公共点 P .----------------------------16 分

加 试 题
考试时间 30 分钟;满分 40 分 21. B.令 B ? ?

?1 2 ? ?14 41 ? ? ,则 A= ?3 4 ? , ? ? ?32 101? ?1 2 ? ?14 41 ? ? X= ? ? =B, ----------------------------------5 分 ?3 4 ? ?32 101?

由题意 AX= ?

?1 故X ? A B?? 3

?? 2 ?2 ?

1 ? ?14 41 ? ?4 19 ? 1? = , ? ? ?32 101? ?5 11? ? ? ? ? 2?

发送方所传出的密码对应的数字是 4、5、19、11, 故破解发送的密码是 desk. ------------------------------------------------10 分

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(此题也可以用待定系数法求解) C. (1) x ? sin ? ? cos? ?

2 sin(? ?

?
4

) ? [? 2 , 2 ] ----------------2 分

x 2 ? sin 2 ? ? cos2 ? ? 2 sin? cos? ? 1 ? sin 2?
得普通方程为 y ? x ? 1 (|x|≤ 2 )-----------------------------------5 分
2

(2)曲线 M 是抛物线的一部分; 对于曲线 N,化成直角坐标方程为 x ? y ? t ,曲线 N 是一条直线, 若曲线 M,N 只有一个公共点,则有直线 N 过点时满足要求,并且向左下方平行运动直到过 点(- 2 ,1)之前总是保持只有一个公共点,再接着向左下方平行运动直到相切之前总是 有两个公共点,所以- 2 +1<t≤ 2 +1 满足要求,-----8 分 相切时仍然只有一个公共点,由 t-x=x2-1,得 x2+x-1-t=0,

5 ? ? 1 ? 4(1 ? t ) ? 0 ,得 t ? ? , 4 5 t 的取值范围为- 2 +1<t≤ 2 +1 或 t ? ? -------------------------------10 分 4
22. (1)因为∠BAF=90?,所以 AF⊥AB, 因为 平面 ABEF⊥平面 ABCD,且平面 ABEF ∩平面 ABCD= AB, 所以 AF⊥平面 ABCD,因为四边形 ABCD 为矩形,
F z

所以以 A 为坐标原点,AB,AD,AF 分别 为 x,y,z 轴,建立如图所示空间直角坐标系

E

P

O ? xyz.
B

A

D y

所以 B(1, 0, 0) , E ( , 0,1) , P(0,1, ) , 以 BE ? (? , 0,1) ,

??? ?

1 2

1 2

x

C

C (1, 2,0) .所

??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ? BE ? CP 4 5 1 ? ? CP ? (?1, ?1, ) ,所以 cos ? BE , CP ?? ???? ??? ? , 2 | BE | ? | CP | 15
即异面直线 BE 与 CP 所成角的余弦值为

1 2

4 5 .------------------------------5 分 15
??

(2)解:因为 AB⊥平面 ADF,所以平面 APF 的法向量为 n1 ? (1, 0, 0) . 设 P 点坐标为 (0, 2 ? 2t , t ) ,在平面 APC 中, AP ? (0, 2 ? 2t , t ) , AC ? (1, 2, 0) ,
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??? ?

????

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?? ? 2t ? 2 ), 所以 平面 APC 的法向量为 n2 ? (?2,1, t
?? ?? ? ?? ?? ? | n1 ? n2 | ? cos ? n1 , n2 ?? ?? ?? ? 所以 | n1 | ? | n2 | 2 (?2) 2 ? 1 ? ( 2t ? 2 2 ) t ? 6 3 ,

解得 t ?

2 ,或 t ? 2 (舍) . 3

所以 | PF |?

5 .--------------------------10 分 3 ?n? ?n?

23.解(1)若 f ( x) ? 1 ,则 f ? ? ? f ? ? ? ? ? f ? ? ? 1 , 所以 g ( x) ? C n x (1 ? x) ? C n x(1 ? x)
0 0 n 1 n ?1 n ? ? ? C n x n (1 ? x) 0

?0? ?n?

?1? ?n?

? 1 ? x ? x) n ? 1 ---------------------------------------------------------------------3 分 (
又 0 无意义,即 g ( x) ? 1( x ? R,且 x ? 0, x ? 1 )---------------------------5 分
0

(2)若 f ( x) ? x ,则 f ? 所以 g ( x) ? C n 因为
0

?k? k ? ? (k ? 0,1,2? n) ?n? n

0 0 1 1 n n x (1 ? x) n ? C n x(1 ? x) n?1 ? ? ? C n x n n n n

k k k n! (n ? 1)! k ?1 Cn ? ? ? C n ?1 --------------8 分 n n k!(n ? k )! (k ? 1)!(n ? 1 ? (k ? 1))!
0 n ?1 1 n ?1 ? C n?1 x 2 (1 ? x) n?2 ? ? ? C n?1 x n

所以 g ( x) ? 0 ? C n-1 x(1 ? x)

0 1 n ?1 ? [C n-1 (1 ? x) n?1 ? C n?1 x(1 ? x) n?2 ? ? ? C n?1 x n?1 ]x

? (1 ? x ? x) n ?1 x ? x
所以 g ( x) ? x( x ?R,且 x ? 0, x ? 1 )-----------------------------------------10 分

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