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高二数学几何概型


3.3.1 几何概型

复习回顾

古典概型的两个基本特征?
(1) 有限性:在一次试验中,可能出现的结果只有有限 个,即只有有限个不同的基本事件; (2) 等可能性:每个基本事件发生的可能性是相等的.

现实生活中,有没有实验的所有可能 结果是无穷多的情况? 相应的概率如何求?

二、主动探索,领悟归纳

? 问题:甲乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向B区域时,甲获胜, 否则乙获胜. 求甲获胜的概率是多少? ? 点击右侧的小转盘,更换一个转盘后,甲获胜的概率是多 少?

领悟归纳

定 义

?如果每个事件发生的 概率只与构成该事件 区域的长度(面积或 体积)成比例,则称 这样的概率模型为几 何概率模型,简称为 几何概型.

领悟归纳
? 几何概型的特点:

(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无 限多个. (2)每个基本事件出现的可能性相等.
? 在几何概型中,事件A的概率的计算公式如下:
构成事件A的区域长度 (面积或体积) P(A)? 试验的全部结果所构成 的区域长度(面积或体积)

例1 判下列试验中事件A发生的概率是古典概型, 还是几何概型。 (1)抛掷两颗骰子,求出现两个“4点”的概率; (2)地铁列车每3 分钟一班,在车站停1分钟. 求乘客到达站台立即上车的概率 . (3)奥运会射击比赛中箭靶的直径为122cm, 而靶心的直径只有12.2cm,运动员在70米外 射箭,假设每箭都能射中靶面任意一点,求射中 靶心的概率为多少? (4)随机地向四方格里投掷硬币50次,统计 硬币正面朝上的概率。

例1 某人午觉醒来,发现表停了,他 打开收音机,想听电台报时,求他等待的时间 不多于10分钟的概率. 解:设A={等待的时间不多于10分钟}.我们所 关心的事件A恰好是打开收音机的时刻位于 分析:假设他在 0-60分钟之间任何一个时刻打开 [50,60]时间段内,因此由几何概型的求概率 收音机是等可能的,但 0-60之间有无穷个时刻, 的公式得 不能用古典概型的公式计算随机事件发生的概率。

60 ? 50 1 P( A) ? ? , 60 6 可以通过几何概型的求概率公式得到事件发生 1 的概率。 即“等待的时间不超过 10分钟”的概率为 6

巩固练习 假设车站每隔 10 分钟发 一班车,随机到达车站,问等车时间 不超过 3 分钟的概率 ?

0←

→10

例4.假设你家订了一份报纸,送报人可能 在早上6:30—7:30之间把报纸送到你家, 你父亲离开家去工作的时间在早上7:00— 8:00之间,问你父亲在离开家前能得到报 纸(称为事件A)的概率是多少?

练习
1.公共汽车在0~5分钟内随机地到达车站,求汽 车在1~3分钟之间到达的概率。 分析:将0~5分钟这段时间看作是一段长度为5 个单位长度的线段,则1~3分钟是这一线段中 的2个单位长度。 解:设“汽车在1~3分钟之间到达”为事件A,则
3?1 2 P ( A) ? ? 5 5 2 所以“汽车在1~3分钟之间到达”的概率 5 为

练习
2.有一杯1升的水,其中 含有1个细菌,用一个 小杯从这杯水中取出 0.1升,求小杯水中含 有这个细菌的概率.

3.如右图,假设你在每个 图形上随机撒一粒黄 豆,分别计算它落到红 色部分的概率.

练习
4.一张方桌的图案如图所示。将一颗豆子随机地 扔到桌面上,假设豆子不落在线上,求下列事 件的概率: (1)豆子落在红色区域; (2)豆子落在黄色区域; (3)豆子落在绿色区域; (4)豆子落在红色或绿色区域; (5)豆子落在黄色或绿色区域。

练习
5.取一根长为3米的绳子,拉直后在任意位置剪断,那 么剪得两段的长都不少于1米的概率有多大?
1m 3m 1m

解:如上图,记“剪得两段绳子长都不小于 1m”为事件A,把绳子三等分,于是当剪断位 置处在中间一段上时,事件A发生。由于中间 一段的长度等于绳子长的三分之一,所以事 件A发生的概率P(A)=1/3。

练习
6.在等腰直角三角形ABC中,在斜边AB上任取一点 M,求AM小于AC的概率。 分析:点M随机地落在线段AB上,故线段 AB为区域D。当点M位于图中的线段AC’上 时,AM<AC,故线段AC’即为区域d。 解: 在AB上截取AC’=AC,于是 P(AM<AC)=P(AM<AC’)

AC' AC 2 = = = AB AB 2
则AM小于AC的概率为
2 2

练习
7.在半径为1的圆上随机地取两点,连成一条线,则 其长超过圆内等边三角形的边长的概率是多少? 解:记事件A={弦长超过圆内接 等边三角形的边长},取圆内接 等边三角形BCD的顶点B为弦 的一个端点,当另一点在劣弧 CD上时,|BE|>|BC|,而弧CD 的长度是圆周长的三分之一, 所以可用几何概型求解,有
1 P ( A) ? 3
B

.0 C E D

1 则“弦长超过圆内接等边三角形的边长”的概率为 3

四、总结评价,促进成长
? 1.几何概型的特点. ? 2.古典概型与几何概型的区别: 1)两种模型的基本事件发生的可能性都相等; 2)古典概型要求基本事件是有限个,而几何概型 则要求基本事件有无限多个。 ? 3.几何概型的概率公式及运用.
构成事件A的区域长度(面积或体积) P( A) ? 全部结果所构成的区域长度(面积或体积)

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