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专题:数列通项公式[答案版]


高考专题:数列的通项公式
数列是高考中的重点内容之一,每年的高考题都会考察到,小题一般较易,大题一般 较难。而作为给出数列的一种形式——通项公式,在求数列问题中尤其重要。本文给出了 求数列通项公式的常用方法。 一、等差或等比数列利用基本量 如果已知数列为等差(或等比)数列,可直接根据等差(或等比)数列的通项公式, 求得 a1 ,d(或 q),从而直接写出通项公式。 例 1. 等差数列 ?an ? 是递减数列,且 a2 ? a3 ? a4 =48, a2 ? a3 ? a4 =12,则数列的通 项公式是( ) (B) (A) an ? 2n ? 12

a n ? 2n ? 4 (C) an ? ?2n ? 12 (D) an ? ?2n ? 10
?( a3 ? d ) ? a3 ? ( a3 ? d ) ? 48 , ? 3a3 ? 12
∴ d ? ?2 , a1 ? 8 ,

解析:设等差数列的公差位 d,由已知 ?

解得 ?

? a3 ? 4 ,又 ?an ? 是递减数列, ?d ? ?2

∴ an ? 8 ? (n ? 1)(?2) ? ? 2n ? 10 ,故选(D)。 二、累加(乘)法 对于形如 an?1 ? an ? f (n) 型或形如 an?1 ? f (n)an 型的数列,我们可以根据递推公 式,写出 n 取 1 到 n 时的所有的递推关系式,然后将它们分别相加(或相乘)即可得到通 项公式。 类型 1

an ?1 ? an ? f (n)

解法:把原递推公式转化为 an?1 ? an ? f (n) ,利用累加法(逐差相加法)求解。 例 3. 若在数列 ?an ? 中, a1 ? 3 , an?1 ? an ? n ,求通项 an 。 解析:由 an?1 ? an ? n 得 an?1 ? an ? n ,所以

an ? an?1 ? n ? 1, an?1 ? an?2 ? n ? 2 ,…, a2 ? a1 ? 1 ,
将以上各式相加得: an 所以 an =

? a1 ? (n ? 1) ? (n ? 2) ? ? ? ? ? 1 ,又 a1 ? 3

n(n ? 1) ?3 2

练习 1. 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 类型 2

1 1 , an ?1 ? an ? 2 ,求 an 。 2 n ?n

an?1 ? f (n)an

解法:把原递推公式转化为

an?1 ? f (n) ,利用累乘法(逐商相乘法)求解。 an

例 4: 在数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an?1 ? 2 n an ( n ? N * ),求通项 an 。 解析:由已知

an?1 a a a ? 2 n , n ? 2 n?1 , n?1 ? 2 n?2 ,…, 2 ? 2 ,又 a1 ? 1 , an an?1 an?2 a1

所以 an =

n ( n ?1) a n a n ?1 a ? ? … 2 ? a1 = 2 n ?1 ? 2 n ?2 ? … ? 2 ? 1 = 2 2 a n ?1 a n ? 2 a1

练习 2: 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 练习 3:已知 a1 ? 3 , a n ?1 ?

2 n a n ,求 an 。 , a n ?1 ? 3 n ?1

3n ? 1 a n (n ? 1) ,求 an 。 3n ? 2

三、构造法 有些数列本身并不是等差或等比数列,但可以经过适当的变形,构造出一个新的数列 为等差或等比数列,从而利用这个数列求其通项公式。 类型 3

an?1 ? pan ? q (其中 p,q 均为常数, ( pq( p ? 1) ? 0) )。
q , 1? p

解法(待定系数法):把原递推公式转化为: an?1 ? t ? p(an ? t ) ,其中 t ? 再利用换元法转化为等比数列求解。 例 5: 已知数 {an } 的递推关系为 an ?1 ? 2an ? 1,且 a1 ? 1 求通项 an 。 解:∵ an ?1 ? 2an ? 1 令 bn ? an ? 1 则辅助数列 {bn } 是公比为 2 的等比数列 ∴ bn ? b1q n ?1 即 an ? 1 ? (a1 ? 1)qn ?1 ? 2n ∴ an ? 2n ? 1 ∴ an ?1 ? 1 ? 2(an ? 1)

变式: 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an?1 ? 2an ? 3 ,求 an . 类型 4

an?1 ? pan ? q n (其中 p,q 均为常数, ( pq( p ? 1)(q ? 1) ? 0) )。
n

(或

an?1 ? pan ? rq ,其中 p,q, r 均为常数) 。
解法:一般地,要先在原递推公式两边同除以 q
n ?1

,得:

an?1 p an 1 ? ? ? 引入辅助数列 q n?1 q q n q

?bn ? (其中 bn ? an n
q

),得: bn?1 ?

p 1 bn ? 再待定系数法解决。 q q

例 6:已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an?1 ? 3an ? 2n?1 ,求 an 。 变式:已知数列 ?an ? 中, a1 ?

5 1 1 n ?1 , a n ?1 ? a n ? ( ) ,求 an 。 6 3 2

类型 5

倒数法

an?1 ?

f ( n) a n g ( n) a n ? h( n)

解法:这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为 an?1 ? pan ? q 。 例 7:已知数列{ an }中 a1 ? 1 且 an?1 ? 解:∵ an?1 ?

an an ? 1

an ( n ? N ),,求数列的通项公式。 an ? 1 a ?1 1 1 1 ? n ? ? 1 , 设 bn ? ∴ ,则 bn?1 ? bn ? 1 an?1 an an an

故{ bn }是以 b1 ?

1 ? 1 为首项,1 为公差的等差数列 a1
∴ an ?

∴ bn ? 1 ? (n ? 1) ? n

1 1 ? bn n
n∈N ? ,求通项 a n .

例 8:若数列{a n }中,a 1 =1,a n?1 = 变式:1.若数列的递推公式为 a1 ? 3,

2a n an ? 2

1 1 ? ? 2(n ? ? ) ,则求这个数列的通项公式。 an ?1 an

2、已知数列{ a n }满足 a1 ? 1, n ? 2 时, a n?1 ? a n ? 2a n?1 a n ,求通项公式。 3、已知数列{an}满足: an ? 四、公式法 类型 6 递推公式为 S n 与 an 的关系式。(或 Sn ? f (an ) ) 解法:这种类型一般利用

an?1 , a1 ? 1 ,求数列{an}的通项公式。 3 ? an?1 ? 1

?S1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?(n ? 1) an ? ? 与 an ? S n ? S n?1 ? f (an ) ? f (an?1 ) 消去 S n (n ? 2) 或与 ?S n ? S n ?1 ? ? ? ? ? ? ? (n ? 2) S n ? f (S n ? S n?1 ) (n ? 2) 消去 an 进行求解。
例9:(1)已知数列{an}的前n项和Sn=n -9n,则其通项an= 足5<ak<8,则k=
2

;若它的第k项满

【解析】{an}等差,易得 an ? 2n ? 10 ,解不等式 5 ? 2k ? 10 ? 8 ,可得 k ? 8
(2)已知数列 ?an ? 前 n 项和 Sn ? 2an ? 3n .(1)求 an?1 与 an 的关系;(2)求通项公式. 例 10:在数列 ?an ? 中, a1 +2 a2 +3 a3 +…+ nan = n(n ? 1)(n ? 2) ,求 an 。

解析:令 S n = a1 +2 a2 +3 a3 +…+ nan = n(n ? 1)(n ? 2) , 则 S n ?1 = a1 +2 a2 +3 a3 +…+ (n ? 1)an?1 = (n ? 1)n(n ? 1) , 则 S n - S n ?1 = nan = n(n ? 1)(n ? 2) - (n ? 1)n(n ? 1) , ∴

an = (n ? 1)(n ? 2) - (n ? 1)(n ? 1) = 3n ? 3
1 2
n?2

例 11. 设数列 ?an ? 的前 n 项和 S n = 4 ? a n ? 解析:由 S n = 4 ? a n ?

,求 an 。

1 2
n?2

,得 S n?1 = 4 ? a n ?1 ?

1 2 n ?1





a n?1 = S n?1 - S n = an - a n?1 +(

1 2
n ?2

?

1 2 n ?1





1 1 a n?1 = a n + n ,两边同乘以 2 n ?1 ,得 2 n ?1 a n?1 = 2 n an +2, 2 2

∴ 2 n an 是首项为 1 公差为 2 的等差数列,∴ 2 an =2+ (n ? 1) ? 2 = 2 n ,∴ an =
n

?

?

n 2 n ?1

五、对数法

r 类型 7 an?1 ? pan ( p ? 0, an ? 0)

解法:这种类型一般是等式两边取对数后转化为 an?1 ? pan ? q ,再利用待定系数法求 解。
2 例 12:已知数列{ an }中, a1 ? 1, an?1 ? b ? an (b ? 0) ,求数列 ?an ? 的通项公式 .

六、递推公式型

类型 8

an?2 ? pan?1 ? qan (其中 p,q 均为常数)。

解法一(待定系数法):先把原递推公式转化为 an?2 ? san?1 ? t (an?1 ? san ) 其中 s,t 满足 ?

?s ? t ? p ?st ? ?q
2 1 a n ?1 ? a n ,求 an 。 3 3 1 ? a n ?1 ? ? (a n ?1 ? a n ) 3

例 13:(同 08 广东)在数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , a 2 ? 2 , a n ? 2 ? 解析:在 a n ? 2 ?

2 1 a n ?1 ? a n 两边减去 a n?1 ,得 a n ? 2 3 3



? an?1 ? an ?是以 a2 ? a1 ? 1 为首项,以 ? 1 为公比的等比数列,
3
1 3

n ?1 ∴ a n ?1 ? a n ? ( ? ) ,由累加法得

an = (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ? ? ? ? (a2 ? a1 ) ? a1

1 n ?2 1 1 ? (? ) n ?3 ? … (? ) ? 1 ? 1 = = (? ) 3 3 3

1 1 ? (? ) n?1 3 1 n ?1 3 = [1 ? ( ? ) ] ? 1 1 4 3 1? 3

=

7 3 1 n ?1 ? (? ) 4 4 3

七、归纳、猜想
2 例 14:在数列{ an }中, a1 ? 2, an?1 ? an ? na ? 1 ,则 an 的表达式为



2 分析:因为 a1 ? 2, an?1 ? an ? na ? 1 ,所以得: a2 ? 3, a3 ? 4, a4 ? 5 ,

猜想: an ? n ? 1 。 点评:对难以用上各法求通项的数列,常先由递推公式算出前几项,找到规律,归 纳、猜想出通项公式。 类型 9 周期型 解法:由递推式计算出前几项,寻找周期。

例 16. 在数列 {an } 中, a1 ? 1, a2 ? 5, an?2 ? an?1 ? an , 求a1998. 解:由条件 a n ? 3 ? a n ? 2 ? a n ? 1 ? (a n ? 1 ? a n ) ? a n ? 1 ? ?a n , 即 an?3 ? ?an ,? an?6 ? ?an?3 ? an , 即每间隔 6 项循环一次.1998=6×333, ∴ a1998 ? a6 ? ?4. 例 17:已知数列 {an } 满足 a1 ? 0, a n ?1 ?

an ? 3 3a n ? 1

(n ? N * ) ,则 a 20 = (
3 2



A.0

B. ? 3

C. 3

D.


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