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2015-2016学年福建省师大附中高二下学期期末考试数学(理)试题


福建师大附中 2015-2016 学年第二学期模块考试卷

高二数学(理科)选修 2-3
本试卷共 4 页. 满分 150 分,考试时间 120 分钟. 注意事项:试卷分第 I 卷和第 II 卷两部分,将答案填写在答卷纸上,考试结束后只交答案卷.

第I卷

共 60 分

一、选择题:本大题有 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求. (1)已知随机变量 X 服从正态分布 N (1, ? 2 ) ,且 P ( X ? 0) ? 0.1 ,则 P (1 ? X ? 2) ? (A) 0.1 (B) 0.4 (C) 0.6 (D) 0.9 (2)直线 y ? 2 x ? 1 的参数方程可以是
?x ? t2 (A) ? ( t 为参数) ? 2 y ? 2 t ? 1 ? ?

? x ? 2t ? 1 (B) ? ( t 为参数) ? y ? 4t ? 1
(D) ?

? x ? t ?1 (C) ? ( t 为参数) ? y ? 2t ? 1

? x ? sin ? ( ? 为参数) ?t ? 2sin ? ? 1
1 ,则事件 A 恰有 1 次发生的概率是 3 65 (D) 81

(3)在 4 次的独立重复试验中,事件 A 在一次试验中发生的概率为 (A)

8 81

(B)

16 81

(C)

32 81

(4)学校要选派 4 名爱好摄影的同学中的 3 名参加校外摄影小组的 3 期培训(每期只派 1 名) ,由于时间上 的冲突,甲、乙两位同学都不能参加第 1 期培训,则不同的选派方式有 (A) 6 种 (B) 8 种 (C) 10 种 (D) 12 种

(5)从 1, 2,3, 4,5 中不放回地依次取 2 个数,事件 A 表示“第 1 次取到的是奇数” , 事件 B 表示“第 2 次 取到的是奇数” ,则 P ( B | A) ? (A)

? ?
n

(B)

? ??

(C)

? ?

(D)

? ?

(6) ?1 ? 2 x ? ( n ? N , n ? 6) 的展开式中 x 5 和 x 6 的系数相等,则 n ? (A) 7 (7) (1 ? (B) 8 (C) 9 (D) 10

1 )(1 ? x) 5 的展开式中含 x3 项的系数为 x (A) 5 (B) 7 (C) 8
2

(D) 10

(8) x ? 3 ? x ? 1 ? a ? 3a 对任意实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围为 (C) ? ??, ?1? ? ? 4, ?? ? (D) ? ??, 2? ? ?5, ?? ? (9)将 5 位同学分别保送到北京大学,清华大学,浙江大学等三所大学就读,则每所大学至少保送一人的 概率为 (A) ?1, 2? (B) ? ??,1? ? ? 2, ?? ?

?? ?? ?? (C) (D) ?? ?? ?? 11 2 10 11 (10)若多项式 x ? x ? a0 ? a1 ( x ? 1) ? a2 ( x ? 1) ? ??? ? a10 ( x ? 1) ? a11 ( x ? 1) ,则 a10 的值为
(A) (B) (A) ?11


?? ???

(B) ?10

(C) 10
1第

(D) 11

(11)如图,电路中共有 7 个电阻与一个电灯 A ,若 灯 A 不亮,则因电阻断路的可能性的种数为 (A) 12 (C) 54 (B) 28 (D) 63

R R R

R R

R

R

A ○ (12)若 (1 ? 2 x) 2015 ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ??? ? a2015 x 2015 ( x ? R ) ,则 a1 ? 2a2 ? ??? ? 2015a2015 ? (A) ?4030 (B) ?2015 (C) 2015 (D) 4030

第Ⅱ卷
二、填空题:本大题有 4 小题,每小题 5 分.

共 90 分

?
P

0

1

2

(13)已知随机变量 ? 的分布列如右表,且? ? 2? ? 3 , 则

E? 的值为
n

.

7 15
.

7 15

1 15

1 ? ? (14)设 ? x ? ? 的展开式的二项式系数和为 64,则展开式中常数项为 x? ?
(15)在平面直角坐标系中,曲线 C1 的参数方程为: ?

? x ? 4 cos ? ( ? 为参数) ,直线 l 的方程为 ? y ? 3sin ?

. x ? y ? 5 ? 0 .已知点 M 为曲线 C1 上任意一点,则点 M 到直线 l 的距离的最大值是 1 k ?1 1 k * k k ?1 (16)已知 kCn ,通过变式可以得到: Cn ? nCn Cn ;若将 n ? 1 赋 ?1 ( 1 ? k ? n ,且 k , n ? N ) ?1 ? k n
k k ?1 给 n ,又可得到 kCn ?1 ? ( n ? 1)Cn ;由已知也可得到:

1 1 1 2 2 n ?1 n ?1 Cn ? 2Cn2 ? 21 ? ? ? nCnn ? 2n ?1 ? nCn0?1 ? nCn ? n(1 ? 2) n ?1 ? n ? 3n ?1 .请根 ?1 ? 2 ? nCn ?1 ? 2 ? ? ? nCn ?1 ? 2

据以上材料所蕴含的数学思想方法与结论,计算:

1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 1 0 n Cn ? ? Cn ? ( ) ? Cn ? ( ) ? ? ? Cn ? ( ) n ?1 ? 3 2 3 3 3 n ?1 3
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

.

(17)(本小题满分 12 分) 某种产品的广告费支出 x 与销售额 y (单位:万元)之间有如下对应数据:

x y

2 30

4 40

5 60

6 50

8 70

? ? bx ? a ; (Ⅰ)求 y 关于 x 的线性回归方程 y
(Ⅱ)据此估计广告费支出为 10 万元时,所得的销售额.
2 (参考数据: ? xi ? 145 i ?1 5

? yi2 ? 13500
i ?1

5

?x y
i ?1 i

5

i

? 1380 ,

参考公式:回归直线方程 y ? a ? b x ,其中 b ?

^

^

^

^

?x y
i ?1 n i

n

i

? nx ? y ? nx
2

?x
i ?1



2

i

(18)(本小题满分 12 分)
页 2第

近年空气质量逐步恶化,出现雾霾天气的现象增多,大气污染危害加重,大气污染可引起心悸、呼吸 困难等心肺疾病. 为了解某市心肺疾病是否与性别有关,某医院随机地对入院的 50 人进行了问卷调查, 得到如下的列联表. 患心肺疾病 男 女 合计 10 50 不患心肺疾病 5 合计

已知在全部 50 人中随机抽取 1 人,抽到患心肺疾病的人的概率为

3 5

(Ⅰ)请将列联表补充完整; (Ⅱ)是否有 99.5% 的把握认为患心肺疾病与性别有关?说明你的理由. 附: K 2 ?

n(ad ? bc) 2 . (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828

P ? K 2 ? k0 ?

k0

(Ⅲ)已知在患心肺疾病的 10 位女性中,有 3 位又患有胃病,现从患心肺疾病的 10 位女性中,选出 3 位进行胃病检查,求至少有 1 位患有胃病的概率. (19) (本小题满分 10 分) 已知 f ( x) ? 2 x ? 2 ? x ? 1 . (Ⅰ)求不等式 f ( x) ? 6 的解集; (Ⅱ)设 m, n, p 为正实数,且 m ? n ? p ? f (2) ,求证: mn ? np ? pm ? 3 . (20)(本小题满分 10 分) 已知曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 4 cos ? .以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为 x 轴的正半轴,建 立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程是 ?

? x ? 1 ? t cos ? ( t 为参数) . ? y ? t sin ?

(Ⅰ)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (Ⅱ)若直线 l 与曲线 C 相交于 A 、 B 两点,且 AB ? 14 ,求直线 l 的倾斜角 ? 的值. (21)(本小题满分 12 分) 已知 2 件次品和 3 件正品混放在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检测一件产品,检测后不 放回,直到检测出 2 件次品或者检测出 3 件正品时检测结束. (Ⅰ)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率; (Ⅱ)已知每检测一件产品需要费用 100 元,设 X 表示直到检测出 2 件次品或者检测出 3 件正品时所 需要的检测费用(单位:元) ,求 X 的分布列和数学期望.



3第

(22) (本小题满分 14 分) 为评估设备 M 生产某种零件的性能,从设备 M 生产零件的流水线上随机抽取 100 件零件做为样本, 测量其直径后,整理得到下表:

经计算,样本的平均值 ? ? 65 ,标准差 ? ? 2.2 ,以频率值作为概率的估计值. (Ⅰ)为评判一台设备的性能,从该设备加工的零件中任意抽取一件,记其直径为 X ,并根据以下不 等式进行评判( P 表示相应事件的频率) ; ① P ? ? ? ? ? X ? ? ? ? ? ? 0.6826 ; ② P ? ? ? 2? ? X ? ? ? 2? ? ? 0.9544 ; ③ P ? ? ? 3? ? X ? ? ? 3? ? ? 0.9974 . 评判规则为:若同时满足上述三个不等式,则设备等级为甲;仅满足其中两个,则等级为乙,若仅满 足其中一个,则等级为丙;若全部不满足,则等级为丁.试判断设备 M 的性能等级. (Ⅱ)将直径小于等于 ? ? 2? 或直径大于 ? ? 2? 的零件认为是次品. (ⅰ)从设备 M 的生产流水线 上随意抽取 2 件零件,计算其中次品个数 Y 的数学期望 E ?Y ? ; ..... (ⅱ)从样本 中随意抽取 2 件零件,计算其中次品个数 Z 的数学期望 E ? Z ? . ..



4第

福建省师大附中 2015-2016 学年第二学期模块考试 高二数学(理科)选修 2-3 参考答案
一、选择题: (1)-(12) :BCCDDB 二、填空题: (13)

21 5

(14) 15

三、解答题: (17)解: (Ⅰ) x ?

ACBADA 2 , 1 4 (15) 5 2 (16) [( ) n ?1 ? 1] 4 n ?1 3 , 6

2+4+5+6+8 25 = ? 5 ,..............................2 分 5 5 30+40+60+50+70 250 y? = ? 50 ..............................4 分 5 5
2 又已知 ? xi ? 145 , ? xi yi ? 1380 i ?1 i ?1 5 5

?? 于是可得: b

? x y ? 5x y
i ?1 5 i i

5

?x
i ?1

2 i

? 5x

2

?

1380 ? 5 ? 5 ? 50 ? 6.5 ,..............................7 分 145 ? 5 ? 5 ? 5

? ? y ? bx ? ? 50 ? 6.5 ? 5 ? 17.5 ..............................9 分 a
因此,所求回归直线方程为: y ? 6.5 x ? 17.5 (Ⅱ) 根据上面求得的回归直线方程,当广告费支出为 10 万元时,

?

? y ? 6.5 ? 10 ? 17.5=82.5 (万元)
即这种产品的销售收入大约为 82. 5 万元. ..............................12 分 (18)解: (Ⅰ)根据在全部 50 人中随机抽取 1 人抽到患心肺疾病生的概率为 人,故可得,列联表补充如下 患心肺疾病 不患心肺疾病 男 女 合计 . (Ⅱ)因为 K 的观测值 k0= 又 P(k ≥7.879)=0.005=0.5%, 所以,我们有 99.5%的把握认为是否患心肺疾病是与性别有关系的................................9 分 (Ⅲ)从患心肺疾病的 10 位女性中,选出 3 位进行胃病检查,至少有 1 位患有胃病的概率
页 5第
2 2

3 ,可得患心肺疾病的为 30 5

合计 25 25 50 ..............................4 分 = ≈8.333,.....................7 分

20 10 30

5 15 20

P ? 1?

3 C7 7 17 ? 1? ? 3 C10 24 24

..............................12 分

(19) (Ⅰ)不等式 2 x ? 2 ? x ? 1 ? 6 等价于不等式组

? x ? ?1 ??1 ? x ? 2 ? x?2 或? ,或 ? , ? ??3 x ? 3 ? 6 ? ? x ? 5 ? 6 ?3 x ? 3 ? 6
解不等式组,得 x ?? 或 ?1 ? x ? 2 或 2 ? x ? 3 ,..............................6 分 所以不等式 2 x ? 2 ? x ? 1 ? 6 的解集为 x ? (?1,3) . (Ⅱ)证明:∵ m ? n ? p ? 3 , ∴ (m ? n ? p ) ? m ? n ? p ? 2mn ? 2np ? 2mp ? 9 ,..............................7 分
2 2 2 2

∵ m, n, p 为正实数, ∴由均值不等式,得 m 2 ? n 2 ? 2mn (当且仅当 m ? n 时取等号) , , n 2 ? p 2 ? 2np (当且仅当 n ? p 时取等号) , p 2 ? m 2 ? 2 pm (当且仅当 p ? m 时取等号) ∴ m ? n ? p ? mn ? np ? pm (当且仅当 m ? n ? p 时取等号) ,
2 2 2

∴ (m ? n ? p ) ? m ? n ? p ? 2mn ? 2np ? 2 pm ? 9 ? 3mn ? 3np ? 3 pm ,
2 2 2 2

∴ mn ? np ? pm ? 3 (当且仅当 m ? n ? p 时取等号) ...............................10 分 (20)解: (Ⅰ)由 ? ? 4 cos ? ,得 ( x ? 2) ? y ? 4 . ..............................3 分
2 2

(Ⅱ)将 ?

? x ? 1 ? t cos ? 2 2 代入圆的方程得 (t cos ? ? 1) ? (t sin ? ) ? 4 , ? y ? t sin ?

化简得 t 2 ? 2t cos ? ? 3 ? 0 ...............................5 分 设 A, B 两点对应的参数分别为 t1 , t2 ,则 ? ∴ | AB |?| t1 ? t2 |?

?t1 ? t2 ? 2 cos ? ,.............................6 分 ? t1t2 ? ?3

(t1 ? t2 ) 2 ? 4t1t2 ? 4 cos 2 ? ? 12 ? 14 ,..............................8 分
2 ? 3? ,? ? 或 ..............................10 分 2 4 4

∴ 4 cos 2 ? ? 2 , cos ? ? ?

(21) 解: (Ⅰ)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件 A ,

P( A) ?


1 1 A2 A3 3 ? ..............................3 分 A52 10

6第

(Ⅱ) X 的可能取值为 200,300,400..............................4 分

P( X ? 200) ?

2 A2 1 ? 2 A5 10 3 1 1 2 A3 ? C2 C3 A2 3 ? 3 A5 10

P( X ? 300) ?

1 3 C32C2 A3 ? 2 3 P( X ? 400) ? ? A54 5

(或 P ( X ? 400) ? 1 ? P ( X ? 200) ? P ( X ? 300) ? 故 X 的分布列为

3 ) 5

..............................10 分

EX ? 200 ?

1 3 3 ? 300 ? ? 400 ? ? 350 ..............................12 分 10 10 5

(22)解: (Ⅰ) P ? ? ? ? ? X ? ? ? ? ? ? P ? 62.8 ? X ? 67.2 ? ? 0.8 ? 0.6826 ,...........1 分

P ? ? ? 2? ? X ? ? ? 2? ? ? P ? 60.6 ? X ? 69.4 ? ? 0.94 ? 0.9544 ,...........2 分 P ? ? ? 3? ? X ? ? ? 3? ? ? P ? 58.4 ? X ? 71.6 ? ? 0.98 ? 0.9974 ,...........3 分
因为设备 M 的数据仅满足一个不等式,故其性能等级为丙;...........4 分 (Ⅱ)易知样本中次品共 6 件,可估计设备 M 生产零件的次品率为 0.06............5 分 (ⅰ)由题意可知 Y ? B ? 2, 0.06 ? ,...........7 分 于是 E ?Y ? ? 2 ? 0.06 ? 0.12 ;...........8 分 (ⅱ)由题意可知 Z 的分布列为

...........11 分 故 E ?Z ? ? 0?
2 1 1 C94 C6 C94 C62 3 ? 1 ? ? 2 ? ? ............12 分 2 2 2 C100 C100 C100 25



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