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“活用”圆的几何性质,“巧解”解析几何中圆的问题


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解题 技巧与方法 
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“ 活 用 ’ ’ 圆的 几何性质, “ 巧解 " 解析几 何中圆 的问 题  
◎ 吴 凤玲  ( 南京 航 空航 天 大 学 附属 高级 中 学 2 1 0 0 0 7 )  

【 摘要 】 作为代 数 与几何 相结 合 的产 物—— 解析 几何 ,  
其核心思想是通 过坐标 把 几何 问题代 数化 , 然后 通过 代 数  

伴 析 

法一运用 的是代 数方法 , 其 思 路 是 根 据 曲直 

线 的倾 斜 角 的关 系 设 出直 线 方 程 , 通 过 解 方 程 组 求 出点 A,  

运 算 解 决 几 何 问题 . 但 是 在 解 决 解 析 几 何 问题 的 时候 , 如 果 


B 的坐 标 , 再根据斜 率公式 求 A B 的斜 率 . 整 个 解 题 过 程 运  算量较 大 , 环环相扣 , 对学 生计 算能力 要求 甚高 , 稍 有 不 慎 


味强调解析几何 中的代 数运算 , 会 导 致 复 杂 而 冗 长 的运 

算的过程 , 而如 果 在 进 行 运 算 的 同 时 能 综 合 考 虑 几 何 因 素 ,  
则 往 往 能 够 简 化 运 算.  

步 出错 将 影 响 最 后 的 结 果 . 而 解 法 二 充 分 利 用 了 图 形 特 

征 , 利用了“ 同 圆 中相 等 的 圆周 角 所 对 的 弧 相 等 ” 的性 质 得  出A P 。 = B P   , 再根据垂径定理推论“ 平 分 弧 的直 径 垂 直 平 分  弧所对 的弦” 得 0 P   j - A B, 根 据平面几 何性质 “ 垂 直 于 同一 

【 关键词 】 代 数运算 ; 简化; 问题 
以“ 圆” 为例 , 圆 是 平 面 几 何 和 解 析 几 何 中最 重 要 的 内  
容之一 , 它有许多重要几何性质 , 对 于 解 析 几 何 中 有 关 圆 的 

直 线 的两 直 线 平 行 ” 即得证. 两种 解法 比较 , 解 法 二 的 绝 妙  之 处 让 人 惊 叹.  
二、 活 用 切 线 长 定 理 

问题 , 若 能充分利用 圆 的几何 性质 , 将 会使 解题 思路 简 明 ,  
解法简捷 , 不仅免去解析几何繁琐 的运算 , 还 能 充 分 地 感 受  到 平 面 几 何 的魅 力 . 正基于这种认 识 , 笔 者 在 教 学 过 程 中 进 
行 了一 些 研 讨 , 深感此法的绝妙 , 能 够 很 好 地 激 发 学 生 的 思 

例2   ( 2 0 1 1年 南 京 市 高 三 学 情 调 研 卷 第 1 9题 ) 已知  圆 M 的 圆心 M 在 Y轴 上 , 半径为 1 . 直线 1 :  =2 x+ 2被 圆 M  所 截得 的 弦 长 为   且 圆心 M 在 直 线 z 的 下 方. 设A (   , 0 ) ,  

维, 并能 够提高思维的深刻性和创 造性. 下 面 举 几 例 供 大 家 
鉴析.  


B ( t + 5 , 0) (一4≤t ≤ 一1 ) . 若 A C, B C是 圆 M 的切 线 , 求 


活 用 垂 径 定 理 及 推 论 

△A BC 面积 的最 小 值 .  

例 1   已知 0   C过 点 P( 1 , 1 ) , 且 与C   M: (   +2 )  +   ( Y+2 )  = r   ( r >0 ) 关 于 直 线  Y+2= 0对 称 . 问: 过点 P  



解法一 : ① 当直 线 A C , B C 的斜 率 都 存 在 , 即一 4<  

作 两 条 相 异 直 线 分 别 与 0C 相 交 于 A, 日, 且直 线 P A和 直 线 

P 日 的倾 斜 角 互补 , 0为坐标 原点 , 试判 断直 线 O P和 A B 是  否平行 , 请 说 明理 由.  


<一1 时, 直线 A C的斜率 k   c =t a n 2  M A 0=—— }=  
1一÷  
2t




解法 一 : 圆 C的方 程 为  + Y  = 2 .  

由题 意 知 , 直线 P A和 直 线 P B 的斜 率 存 在 , 且 互 为 相 反 

同 理 直 线 B c 的 斜 率   。 = 丢  
直线 A c的方 程 为 y=  - 2 t (  


.  
£ ) , 直线 B c的 方 程 

数, 故可设 P A: Y 一1=  (  一1 ) , P 曰: Y 一1  
由  
【  

(  一 1 ) .  

? . .

‘  
Y  =2,  

’ 得  为 y=   ( x -t - 5 ) .  

( 1+   )   +2 k ( 1一  )   +(1一  )  一2=0 .  

因为 点 P 的横 坐标  =1一 定 是 该 方 程 的解 , 故 可 得 
k  一 2   一1  
—  

『 y  

( 一  ) ,  

k  +2 k一1  
—   ’ 

’ 

醐 i 【 y : =   _   j   _ 二   一   一   ) , ’  
得  =  
2 t  +1 Ot  
。 ? ?

,  

Y  —Y ^   一k (  日一1 )一k (  ^一1 )  


3 CB  

一   ^   ———  日 一   ■ A  一
堕  : 1 :  

 

.  
.  
一  

2  
’  

:  

Y  

所 以直 线 A B和 O P一 定 平 行 .  

? .



4<  <一  

‘ .一  

≤£ 2+5  +1< 一3

5 0
? . 

,.

≤ y<

解法二 : 如图 1 , 过 P作 直 线 垂 直 于 
  I

÷ .  

轴 交 圆 0 于点 P , , 则P 。 ( 1 , 一1 ) . 因 为 直 线 

P A , P 曰的 倾 斜 角 互 补 , 所以 P A, P  关 于 直 
线P P ,对 称 , 所 以  A P P  = /B P P   , 所 以 
~   。、   : 一

故 当   = 一 ÷ 时 , △ A B c 的 面 积 取 最 小 值   1 × 5 ×  =   .  
② 当直 线 A C, B C的斜 率 有 一 个 不 存 在 时 , 即t =一 4或  1时 , 易 求 得 △A B c的 面 积 为  .  

A P  = B P   . 由垂径定理推论知 O P , J - A B, 显  然O P上O P . , 所以A B ∥O P .  
图  1  

( 下转 5 5页 )  

数学学习与研究

2 0 1 1  1 9  

舔 鹋 

解题 技巧 与方 法 



 

(   +。 ) , 则 直线 A N的斜 率为 一   1


直 线 A N : y = 一 ÷  

线 分 别 与 双 曲线 相 交 于 不 同两 点.  
推广 3 已知抛 物线 Y  = 2 p x ( P> 0 ) 的 顶 点 为 A, 过 A  

(   +。 ) . 将直线 A M 方 程 与 双 曲线 方 程 联 立 如 下 :  

序寺_ l ' 消  得  
【 Y=  (   +a ),  
( b  一( 1 7 , 2  )   一2 a  。   —o   一0   b  =0 .  


作两条互相垂直的弦 A M, A N交 抛 物 线 于 M , N两点. 试 问:   当直线 A M 的斜 率 变 化 时 , 直 线 MN 是 否 过  轴 上 的 一 定  点 ?若 过定 点 , 请给出证明 , 并求 出该定点 ; 若不过定 点 , 请 

. 

此方程有一个根为 一 n ,  


证明

设直线 A M 的 斜 率 为  , 直线 A M: Y=   , 则 直 线 



。  


譬 0   一 n  雕 可 得 点   ( 、  一   0   o  ,   0 一 0   ) ,   .  

A Ⅳ的斜率为 一   1 直线 A N:  = 一   1  

将 直线 A M 方 程 与 

同 理 可 得 Ⅳ ( 案   ,  氅   ) .  
f y =   2 p   ’ 消 去 ) , , 得   z   z 一 2 p   : 0 .  
L y=  


,  

c ? , 当  ≠   时,  =  
一  爵

- =   - _   .  
’  

?



此方程有一个根为 o , . ? .  

=   .  

直 线 M N : y -  

=  

(   一  

) .  

于 是 可 得 点   (   2 p ,   ) , 同 理 可 得 Ⅳ (  。 , 一 2   ) .  
2 p


令 y = 。 , 得   = 一  
0   ,

x  

+   豢 ;  芋 =  
, ’ 

(一 2 p k )  

㈩  



 

,,

≠1  

.  

‰ 

?  

一 o  直 线  过 定 点 P ( 、   0 一 Ⅱ   , 。 1 l ;  
直 线 MN:  一( 一2 p k )=  
( 2 ) 当  = 1时 , 直 线 MN 方 程 为  =   6  


(  一  

) ? 再令 y  0 ' 得 

此 时 


口 

直 线 M N 过 定 点 P ( 糌
?


, 。 ) ,  
’   。 ) J  


2  

×  

+  

z:2 p


直 线 MN过 定 点 p( 2 p, o ) .  

( 2 ) 当 。 =1时 , 直 线 MN 方 程 为  : 2 p , 直 线 MN 过 定 

?

直线  Ⅳ过  轴上的一定点P f  6   一  

( 上接 5 3页 )  

综 上 , 当   : = 一 ÷时 ,   A A B C 面 积 的 最 小 值 为  
解法二 : 如 图 2, 因 为 A( f , 0 ) , B( t + 5 ,  
赣   . 4≤t   0 ) (一 ≤ 一1 ) , 所以A B=5 .  

且仅当。 = b = ÷ 时取最大值 , 所以当。= b = ÷时c D取得 
Z  二 

最 小 值 1  , 面 积 S取 得 最 小 值  .   二 1  
评析 解法 一的思路是设 出直线 A B, B C方 程 , 求 出 交 

不妨设 A O =口 , B O=6 , 则 o+b=5 , 设  △A B C的 面 积 为 s , 由题 意 圆  为 AA B C的 
内切 圆 ,  
? . . 

点 C 的纵 坐 标 , 再 利 用 求 函 数 最 值 的方 法 求 出 纵 坐 标 的 最 
图 2  

小值 , 进 而 求 得 AA B C面 积 的 最 小 值 . 这 种 解 法 计 算 量 很 
大, 很多学生算不 出最终结 果 , 而 且 会 忽 略 对 斜 率 的讨 论 .  

:  

( A 曰+ B C+A C ).  

解 法 二 则 充 分 挖 掘 图形 的 几 何 特 征 , 即 圆 为 AA B C 的 外 切 
圆, 再 利用切线长 定理 把 问题转化 为求 线 段 C D 的最 值 问  

:  

( 2 口+ 2 b +2 C D):C D+5 .  

题, 并把 C D 的长 用 A O, B O表示 , 再 用 基 本 不 等 式 即得 解 ,  

设  A  D=  , / _ B MO= 卢 ,  C M D=  , 则’ , =1 T 一 (  + 卢 ) .  

整个过程计算简捷 , 思路清晰 , 不 易 出错 .  

由直 角 三 角 形 边 角 关 系 , 得 
t a nd = Ⅱ, t a n   = b,  

解 析 几 何 中涉 及 有 关 圆 的 问 题 时 , 应 优 先 考 虑 能 否 运 
用 平 面 几 何 的性 质 去 解 决 问题 , 利 用 几 何 图形 的 直 观 性 , 认 

C D = t a n  = t a n ( 盯一o z 一 / 3 )   = -t a n ( a+ 卢 )=   a   +b
:  
. 

真分析图形的特征 , 活 用 圆 的几 何 性 质 , 如 圆的对称 性 、 圆  周 角 与 圆心 角 的 关 系 、 半径 、 弦心距 及 半弦 的关系 、 垂 径 定  理及其推论 、 切线长定理等 , 不 仅 可 以迅 速 获 得 解 题 途 径 和 

由 于 。 + 6 = 5 , 由 基 本 不 等 式 , 得 。 6 ≤  
数 学学习与研究 2 0 1 1  1 9  

= 等 , 当  

方法 , 巧妙 解 决 问 题 , 而且 可以大 大减少 运算 量 , 避 免 不 必  要的失误 , 从 而 化 难 为易 、 化繁为简 , 达 到 事 倍 功 半 的 效果 .  


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