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江苏省扬中市高级中学2014-2015第二学期高一数学周练习12


江苏省扬中市高级中学高一数学周练习 12
1.若不等式 ( x ? 1)(ax ? 4) ? 0 的解集是 {x | x ?

姓名 .

4 或 x ? 1} ,则 a 的取值范围为 a

2.已知不等式 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的解是 x ? 2, 或 x ? 3 则不等式 bx 2 ? ax ? c ? 0 的解 集为 3.不等式 ( x ?1)( x ? 2)2 ? 0 的解集为 。

4 .关于 x 的不等式 ax ? b ? 0 的解集为 (1,??) ,则关于 x 的不等式 _______ 5.不等式
2

ax ? b ? 0 的解集为 x?2

_____.

5? x ? ?1 的解集为 x ? 2x ? 3

。 。 .

6.若存在 x 使不等式 x 2 ? 2 x ? k 2 ? 1 ? 0 成立,则实数 k 的取值范围是 7.数列 ?an ? 的通项公式为 an ?| 2n ? 21| ,则数列 ?an ? 的前 15 项和 s15 =

8.在等比数列 ?an ? 中,已知 a1 ? a2 ? a3 ? 1, a4 ? a5 ? a6 ? ?2 ,则该数列的前 15 项的和

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? BA?BC ? = 9.在△ ABC 中,若 AB=1, AC ? 3,| AB ? AC |?| BC | ,则 ??? . | BC | ?2n ? 1, n ? 2m ? 1 10.已知数列 ?an ?中, an ? ? n ?m ? N *?,其前 n 项和为 Sn ,则 S9 ? 2 , n ? 2 m ?
2 11.设等差数列 ?an ?前 n 项和为 Sn ,且 am?1 ? am?1 ? am ? 0 , S2m?1 ? 58 ,则 m ?
2 2 12.在 ?ABC 中,已知 c ? a ? 5b , 3 sin A cos C ? cos A sin C ,则 b ?

S15 = __

__.

3 13.设等比数列 ?an ? 的公比为 q ( 0 ? q ? 1 ) ,前 n 项和为 Sn ,若 a1 ? 4a3a4 ,且 a 6 与 a4 的等 4 差中项为 a 5 ,则 S6 ?
2 ? ?x ? x ? 2 ? 0 14.若关于 x 的不等式组 ? 2 恰有一个整数解,则实数 k 的取值范围是 2 x ? (2 k ? 5) x ? 5 k ? 0 ? ?

15.设两个向量 e1 、 e2 满足| e1 |=2,| e2 |=1, e1 与 e2 的夹角为 60 ,向量 m ? e1 ? 2e2 ,
0

?? ? ?
?

?? ?

(1)若 m 与 n 夹角为锐角,求实数 ? 的取值范围.(2)若 m 与 n 夹角为 60 0 , n ? e1 ? ? e2 , 求实数 ? 的值.

??

?

??

16. 数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,满足 Sn ? n2 ? 2n .等比数列 ?bn ? 满足: b1 ? 3, b4 ? 81 . (1)求证:数列 {an } 为等差数列; (2)若 Tn ?

a a1 a2 a3 ? ? ? ? ? n ,求 Tn . b1 b2 b3 bn

17.为改善居民的生活环境,政府拟将一公园进行改造扩建.已知原公园是直径为 200 米的半 圆形,出入口在圆心 O 处,A 为居民小区,OA 的距离为 200 米,按照设计要求,以居民小 区 A 和圆弧上点 B 为线段向半圆外作等腰直角三角形 ABC(C 为直角顶点) ,使改造后的公 园成四边形 OABC,如图. (1)若 OA ? OB 时,C 与出入口 O 的距离为多少米? (2)B 设计在什么位置时,公园 OABC 的面积最大?

18.已知函数 f ( x) ? ?3x2 ? a(5 ? a) x ? b . (1)当关于 x 的不等式 f(x) ? 0 的解集为(?1,3)时,求实数 a,b 的值; (2)若对任意实数 a,不等式 f(2) ? 0 恒成立,求实数 b 的取值范围; (3)设 b 为常数,求关于 a 的不等式 f(1) ? 0 的解集.

19.如图,将一个边长为 1 的正三角形的每条边三等分,以中间一段为边向形外作正三角形, 并擦去中间一段,得图(2).如此继续下去,得图(3)……,记第 n 个图形的边长 an 、周长为

bn .

(Ⅰ)求数列 {an } 、 {bn } 的通项公式;

(Ⅱ) 若第 n 个图形的面积为 Sn , 试探求 Sn , Sn?1, ? n ? 2? 满足的关系式, 并证明 : S n ?

2 3 . 5

(1)

(2)

(3)

20. 已知数列 ?an ?的前 n 项和为 Sn ,且 a1 ? 2, an ? Sn?1 ? 2n (n ? N * , n ? 2) (1)求证:数列 ?

? Sn ? 是等差数列; (2)求数列 ?an ?的通项公式; n? ?2 ? n 2 ? n ? 2 ,如果对任意 n ? N * ,都有 b ? t 2 ? 3 t 成立,求实数 t 的取值范围。 (3)令 b ? n n 4 an

参考答案:

a ? 0; (?? ,?1) ? ( ,?? ) ; 1. 2. 3. 4. 5. [1,??) ? ?? 2?; (??,?1) ? (2,??) ; (?1,1) ? (2,3) ;
6. ? 2 ? k ?

6 5

2 ;7. 125 ;8. 11;9.2;10. 395 ;11.15 ;12. 10 ;14. ?? 3,2? ? ?3,4? ;
1

15. (1) ? ? (?2,2) ? (2,??) ; (2) ? ? ?1 . 16.解: (1)由已知得: a1 ? 3 , ………………1 分

n ? 2 且 n ? N * 时, an ? Sn ? Sn?1 ? (n2 ? 2n) ? [(n ?1)2 ? 2(n ?1)] ? 2n ? 1
经检验 a1 亦满足 an ? 2n ? 1 ∴ an ? 2n ? 1(n ? N *) ………………4 分

∴ an?1 ? an ? [2(n ? 1) ? 1] ? (2n ? 1) ? 2 为常数 ∴ {an } 为等差数列,且通项公式为 an ? 2n ? 1(n ? N *) (2)设等比数列 ?bn ? 的公比为 q ,则 q 3 ? ………………6 分

b4 ? 27 , b1 an 2n ? 1 ? n bn 3
① ② ……………8 分

∴ q ? 3 ,则 bn ? 3 ? 3n ?1 ? 3n , n ? N * ∴

3 5 7 2n ? 1 ?Tn ? ? 2 ? 3 ? L L ? n 3 3 3 3 1 3 5 7 2n ? 1 2n ? 1 Tn ? ? 3 ? 4 ? L ? n ? n ?1 2 3 3 3 3 3 3
① ? ②得:

1 1 (1 ? n?1 ) 2 2 1 1 1 1 2n ? 1 2n ? 1 4 2n ? 4 3 Tn ? 1 ? 2( 2 ? 3 ? 4 ? ? n ) ? n ?1 ? 1 ? 2 ? 3 ? n ?1 ? ? n ?1 13 分 1 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1? 3 n?2 ?Tn ? 2 ? n , n ? N * ………………14 分 3

18.解: ⑴ f ( x) ? 0 即 ? 3x2 ? a(5 ? a) x ? b ? 0 ∴ 3x2 ? a(5 ? a) x ? b ? 0 ∴?

?3 ? a(5 ? a) ? b ? 0 ?27 ? 3a(5 ? a) ? b ? 0
………………… …5 分 …………7 分

∴?

?a ? 2 ?a ? 3 或? (若用根与系数关系也算对) ?b ? 9 ?b ? 9

⑵ f (2) ? 0 ,即 ? 12 ? 2a(5 ? a) ? b ? 0 即 2a 2 ? 10a ? (12 ? b) ? 0 ∴ ? ? 0 恒成立

?b ? ?

1 2

…………………………10 分

2 ⑶ f (1) ? 0 即 a ? 5a ? b ? 3 ? 0 ,∴△= (?5)2 ? 4(?b ? 3) ? 13 ? 4b

10 当 ? ? 0 即 b ? ? 20 当 ? ? 0 即 b ? ? 30 当 ? ? 0 即 b ? ?

13 时, a ? R 4

…………………………………12 分 ………………………14 分

13 5 时,解集为 ?a | a ? ,a ? R } 2 4

13 5 ? 4b ? 13 时,解集为{ a a ? 或 a ? 5 ? 4b ? 13 } ……16 分 4 2 2 1 3

19.解: (Ⅰ)由题意知,从第 2 个图形起,每一个图形的边长均为上一个图形边长的 , 所以

1 ?1? 数列 {an } 是首项为 1,公比为 的等比数列,则 an ? ? ? . ………2 分 3 ? 3? 设第 n 个图形的边数为 cn ,因为第 1 个图形的边数为 3,从第 2 个图形起,每一个图形的边数
均为上一个图形边数的 4 倍,则 cn ? 3 ? 4n?1. 因此,第 n 个图形的周长 bn = an ? cn ? ? ? (Ⅱ) S1 ? ………4 分

n ?1

?1? ? 3?

n ?1

? 4? ? ? 3 ? 4n?1 ? ? 3 ? ? ? ? 3?

n ?1

. ………6 分
………8 分

3 ,当 n ? 2 时, 4
2

n ?1 n ?1 ? 3 2? 3 ?? 1 ? ? 3 3 ?4? n?2 Sn ? Sn?1 ? cn?1 ? ? ? ? ? . ………12 分 ? ? ? Sn?1 ? ? 4 ? an ? ? ? Sn?1 ? 3 ? 4 ? 4 ? ?? 16 ? 9 ? ?? 3 ? ? ? ? ? ? S n ? S1 ? ? S 2 ? S1 ? ? ? S3 ? S 2 ? ? ? ? ? S n ? S n ?1 ?

2 3 n ?1 3 3 3 ?4 ? 4 ? ? 4 ? ?4? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? 4 16 ? ?9? ? ?9 ? 9 ? ? 9 ? ? n ?1 4 ? ?4? ? ? ?1 ? ? ? ? 3 3 3 9 ? ? ?9? ? ? ? ? ? 4 4 16 1? 9 n ?1 2 3 3 3 ?4? ? ? ?? ? , 5 20 ? 9 ?

………………………………15 分 ………………………………16 分

? Sn ?

2 3 . 5

n 20.(1)当 n ? 2 时,? Sn ? Sn?1 ? Sn?1 ? 2n ? S n ? 2 S n ?1 ? 2 ?

S n S n ?1 S n S n ?1 ? n ?1 ? 1 ? n ? n ?1 ? n 2 2 2 2

1 又? a1 ? 2 ?

S1 ? Sn ? ? 1 ? 数列 ? n 1 为公差的等差数列. ……………… (5 分) ? 是以 1 为首项, 2 ?2 ? Sn ? n ? S n ? n ? 2 n .当 n ? 2 时, an ? ?n ?1?2n?1 ? 2n ? 2n?1 ?n ? 1? (8 分) n 2

(2)由(1)知:

当 n ? 1 时, a1 ? 2 也满足?an ? 2n?1 ?n ? 1? ………………(9 分) (3)bn ?

?n ? 2??n ? 1? ? ?n ? 2?? 1 ?n?1 ? b ? b ? n ? 1 ? n ? 2 ? 3 ? n …………(11 分). ? ? n ?1 n 2n 2 n ?1 2n 2n?1 ?n ? 1? ? 2?

当 n ? 2 时, 当 n ? 3 时, 当 n ? 4 时, bn?1 ? bn ; bn?1 ? bn ; bn?1 ? bn .?b1 ? b2 ? b3 ? b4 ? b5 ?

b6 ? ? ? ? ………………(14 分)
1 3 1 1 ? ?bn ?max ? b3 ? b4 ? ? t 2 ? t ? ? 4t 2 ? 3t ? 1 ? 0 ?t ? 1 或 t ? ? . ……(16 分) 4 4 4 4


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