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解析几何综合学生用









解析几何经典 理数 1. (2012 河南高三第二次联考,5,5 分)双曲线 - =1 的渐近线与圆 (x-3)2+y2=r2(r>0)相切,则 r 等于( A. 3 B. 2 C. ) D. 6

2.(2012 吉林高三质检,12,5 分)如图,以 AB 为直径的圆有一内接梯 形 ABCD,且 AB∥CD,若双曲线以 A、B 为焦点,且过 C、D 两点,则当 梯形的周长最大时,双曲线的离心率为( )

A.

B.

C. 1+

D. 1+

3.(2013 高考仿真试题一,10,5 分)过双曲线 - =1(a>0,b>0)的左焦 点 F(-c,0)(c>0),作圆 x2+y2= 的切线,切点为 E,延长 FE 交双曲线右支 于点 P,若 = ( + ),则双曲线的离心率为( A. B. C. ) D.

4.(2013 高考仿真试题二,3,5 分)抛物线 y2=2px(p>0)的准线过双曲 线 =1 的左焦点,则该抛物线的焦点坐标为( )

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A. (1,0)

B. (2,0)

C. (3,0)

D.

5.(2013 高考仿真试题二, 12,5 分)已知椭圆方程为 + =1(a>b>0),M、 N 是椭圆的左、右顶点,P 是椭圆上任意一点,且直线 PM、PN 的斜率 分别为 k1、k2(k1k2≠0),若|k1|+|k2|的最小值为 1,则椭圆的离心率为 ( A. ) B. C. D. -

6.(2013 高考仿真试题三,11,5 分)设点 P 是椭圆 + =1(a>b>0)上一 点,F1、F2 分别是椭圆的左、右焦点,I 为△PF1F2 的内心,若 + A. =2 B. ,则该椭圆的离心率是( C. ) D.

7.(2013 高考仿真试题四,8,5 分)已知双曲线 M: - =1 和双曲线 N: - =1,其中 b>a>0,且双曲线 M 与 N 的交点在两坐标轴上的射影恰 好是两双曲线的焦点,则双曲线 M 的离心率为( A. B. C. D. )

8.(2013 高考仿真试题五, 3,5 分)在同一平面直角坐标系下,下列曲线 中,其右焦点与抛物线 y2=4x 的焦点重合的是( A. + =1 B. + =1 C. - =1 ) D.

- =1

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9.(2013 高考仿真试题五,7,5 分)若双曲线 - =1(a>0,b>0)上不存在 点 P 使得右焦点 F 关于直线 OP(O 为双曲线的中心)的对称点在 y 轴 上,则该双曲线离心率的取值范围为( A. ( ,+∞) B. [ ,+∞) ) C. (1, ] D. (1, )

10.(2012 河南省毕业班模拟,11,5 分)已知 F1,F2 分别是双曲线 (a>0,b>0)的左、右焦点,P 为双曲线上的一点,若∠ F1PF2=90°,且△F1PF2 的三边长成等差数列,则双曲线的离心率是 ( ) B.3 C.4 D.5

A.2

11. (2013 吉林省吉林市普通高中高三一月期末,10,5 分)曲线 的焦点 恰好是曲线 点,且曲线 与曲线 交点连线过点 ,则曲线 的右焦 的离心率是( )

A. C.

B. D.

12.(2013 高考仿真试题三,15,5 分)过双曲线 - =1(a>0,b>0)的左焦 点 F 作圆 x2+y2= 的切线,切点为 E,延长 FE 交双曲线右支于点 P,若 E 为 PF 的中点,则双曲线的离心率为 .

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13.(2012 河南高三模拟,20,12 分)在平面直角坐标系 xOy(O 为坐 标原点)中,椭圆 E1: + =1(a>b>0)的两个焦点在圆 E2:x2+y2=a+b 上, 且椭圆的离心率是 . (Ⅰ)求椭圆 E1 和圆 E2 的方程; (Ⅱ)是否存在经过圆 E2 上的一点 P(x0,y0)的直线 l,使 l 与圆 E2 相切,与 椭圆 E1 有两个不同的交点 A、B,且 · =3?若存在,求出点 P 的横坐 标 x0 的值;若不存在,请说明理由. 14.(2012 吉林高三质检,20,12 分)已知 F1(-1,0)、F2(1,0),圆 F2:(x-1)2+y2=1,一动圆在 y 轴右侧与 y 轴相切,同时与圆 F2 相外切,此 动圆的圆心轨迹为曲线 C,曲线 E 是以 F1,F2 为焦点的椭圆. (Ⅰ)求曲线 C 的方程; (Ⅱ)设曲线 C 与曲线 E 相交于第一象限点 P,且|PF1|= ,求曲线 E 的标 准方程; (Ⅲ)在(Ⅰ)、 (Ⅱ)的条件下,直线 l 与椭圆 E 相交于 A,B 两点,若 AB 的中点 M 在曲线 C 上,求直线 l 的斜率 k 的取值范围. 15.(2013 高考仿真试题一, 20,12 分)已知抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 为 F,过点 F 作直线 l 与抛物线交于 A,B 两点,抛物线的准线与 x 轴交 于点 C.

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(1)证明:∠ACF=∠BCF; (2)求∠ACB 的最大值,并求∠ACB 取得最大值时线段 AB 的长. 16.(2013 高考仿真试题二,20,12 分)已知中心在原点 O,焦点在 x 轴上,离心率为 的椭圆过点 (1)求椭圆的方程; (2)设不过原点 O 的直线 l 与该椭圆交于 P,Q 两点,满足直线 OP,PQ,OQ 的斜率依次成等比数列,求△OPQ 面积的取值范围. 17.(2013 高考仿真试题三,20,12 分)已知圆 x2+y2=1 过椭圆 + =1(a>b>0)的两焦点,与椭圆有且仅有两个公共点,直线 y=kx+m 与圆 x2+y2=1 相切,与椭圆 + =1 相交于 A,B 两点. 记λ= · ,且 ≤λ≤ . (1)求椭圆的方程; (2)求 k 的取值范围; (3)求△OAB 的面积 S 的取值范围. 18.(2013 高考仿真试题四, 20, 12 分)已知抛物线 C:x2=4y,M 为直线 l:y=-1 上任意一点,过点 M 作抛物线 C 的两条切线 MA,MB,切点分别 为 A,B. (1)当 M 的坐标为(0,-1)时,求过 M,A,B 三点的圆的方程; .

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(2)证明:以 AB 为直径的圆恒过点 M. 19.(2013 高考仿真试题五,20,12 分)在平面直角坐标系中,点 P 到直 线 x=-2 的距离比它到点 M(1,0)的距离大 1,点 M(1,0)关于 y 轴的对称 点为 N,直线 l 过点 M 交曲线 C 于 A,B 两点. 记点 P 的轨迹为曲线 C. (1)求曲线 C 的方程; (2)求直线 NA,NB 的倾斜角之和,并判断∠ANB 是否恒为锐角. 20.(2012 河南省毕业班模拟,20,12 分)已知椭圆 C: (a

>b>0)的离心率为 ,椭圆上的点到焦点的最近距离为 2,若椭圆 C 与 x 轴交于 A,B 两点,M 是椭圆 C 上异于 A,B 的任意一点,直 线 MA 交直线 l:x=9 于 G 点,直线 MB 交直线 l 于 H 点. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 试探求以 GH 为直径的圆是否恒经过 x 轴上的定点?若经过, 求 出定点的坐标;若不经过,请说明理由. 21.(2013 吉林省吉林市普通高中高三一月期末,22,12 分)已知 , 足: , ,O 为坐标原点,动点 E 满

(I) 求点 E 的轨迹 C 的方程;

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(II)过曲线 C 上的动点 P 向圆 O:

引两条切线 PA、PB,

切点分别为 A、B,直线 AB 与 x 轴、y 轴分别交于 M、N 两点,求Δ MON 面积的最小值. 答案 理数 1. C 7. A 8.D 2.D 9.C 3. C 10.D = . (2 分) 4.B 11.D 5.C 12. 6. A

13.(Ⅰ)由条件知 a2-b2=a+b, 解得 a=2,b=1.

所以,椭圆 E1 的方程为 +y2=1, 圆 E2 的方程为 x2+y2=3. (5 分) (Ⅱ)如图,假设满足题中条件的直线 l 存在,由 l 与圆 x2+y2=3 相切于点 P(x0,y0),知直线 l 的方程为 xx0+yy0=3. (6 分)

当 y0=0 时, · = ≠3,不合题意;

当 y0≠0 时,由

及 + =3,

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得 3(1+ )x2-24x0x+4 +24=0, 由(-24x0)2-12(1+ )(24+4 )>0, 知 2< <3. 设 A、B 两点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),

则 x1+x2=

,x1x2=

, ,

· =x1x2+y1y2= [x1x2-x0(x1+x2)+3]= 由 =3,得 = ,又因为 2< <3,

所以存在直线 l. 此时点 P 的横坐标 x0=± (x,y)(x>0), ∵动圆在 y 轴右侧与 y 轴相切,同时与圆 F2 相外切,(1 分) ∴ =x+1,化简整理得 y2=4x,曲线 C 的方程为 y2=4x(x>0). (3 分) . (12 分) 14.(Ⅰ)设动圆圆心的坐标为

(Ⅱ)依题意知,c=1,|PF1|= ,可得 xP= ,(4 分) ∴|PF2|= ,又由椭圆定义得 2a=|PF1|+|PF2|= + =4,a=2. (5 分) ∴b2=a2-c2=3,∴曲线 E 的标准方程为 + =1. (6 分)

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(Ⅲ)设直线 l 与椭圆 E 的交点 A(x1,y1),B(x2,y2),A,B 的中点 M 的坐标为 (x0,y0),

将 A,B 的坐标代入椭圆方程中,得 两式相减得 3(x1-x2)(x1+x2)+4(y1-y2)(y1+y2)=0, ∴ =- ,(7 分) =- y0,(8 分) ,
,(10 分)

∵ =4x0,∴直线 AB 的斜率 k= 由(Ⅱ)知 xP= ,∴ =4xP= ,∴yP=± 由题设知即0< (y0≠0),∴<y0<

(k≠0). (12 分)

15.(1)证明:由题设知,F

,C

,

设 A(x1,y1),B(x2,y2),直线 l 的方程为 x=my+ , 代入抛物线方程 y2=2px,得 y2-2pmy-p2=0. 则 y1+y2=2pm,y1y2=-p2. (4 分) 不妨设 y1>0,y2<0,则

tan∠ACF=

=

=

=

=

,

tan∠BCF=-

=-

,

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∴tan∠ACF=tan∠BCF,又∠ACF,∠BCF∈(0,π), ∴∠ACF=∠BCF. (8 分)

(2)如(1)所设 y1>0,tan∠ACF=



=1,当且仅当 y1=p 时取等号,此

时∠ACF 取最大值 ,∠ACB=2∠ACF 取最大值 , 并且 A ,B ,|AB|=2p. (12 分)

失分警示:(1)不能准确地得出∠ACF 与∠BCF 的正切值. (2)没有注意到∠ACF 取得最大值 时,y1=p. 圆方程为 + =1(a>b>0), 16.(1)由题意可设椭



解得

所以椭圆方程为 +y2=1. (4 分) (2)由题意可知,直线 l 的斜率存在且不为 0,OP,OQ 的斜率存在, 故可设直线 l 的方程为 y=kx+m(m≠0 且 m≠±1),P(x1,y1),Q(x2,y2), 由 消去 y 得(1+4k2)x2+8kmx+4(m2-1)=0,

Δ=64k2m2-16(1+4k2)(m2-1)=16(4k2-m2+1)>0, 且 x1+x2= ,x1x2= .

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故 y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2. 因为直线 OP,PQ,OQ 的斜率依次成等比数列,

所以 · = 即 +m2=0,

=k2,

又 m≠0,所以 k2= ,即 k=± . 又 m≠±1,且Δ>0,∴02<2 且 m2≠1. 又 S△OPQ= |x1-x2||m|= 为(0,1). (12 分) 失分警示:根据直线 OP、PQ、OQ 的斜率依次成等比数列求出 k 的 值,从而用 m 表示出 S△OPQ. 17.(1)由题意知 2c=2,c=1. |m|= ,所以 S△OPQ 的取值范围

因为圆与椭圆有且只有两个公共点,从而 b=1,故 a= , 所以所求椭圆方程为 +y2=1. (3 分) (2)因为直线 l:y=kx+m 与圆 x2+y2=1 相切, 所以原点 O 到直线 l 的距离为 =1,即 m2=k2+1. (5 分)



得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0.

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设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=

,x1x2=

. (7 分) ,由 ≤λ≤ ,得 ≤k2≤

λ= · =x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2= 1, 即 k 的取值范围是 ∪ . (9 分)

(3)|AB|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2] =2,由 ≤k2≤1,得 ≤|AB|≤ . (11 分)

设△OAB 的 AB 边上的高为 d,则 S= |AB|d= |AB|, 所以 ≤S≤ . (12 分) 失分警示:(1)没有将几何关系转化为代数式;(2)计算时不细心或不耐 心. 由 18.(1)当 M 的坐标为(0,-1)时,设过 M 点的切线方程为 y=kx-1, 消去 y 得 x2-4kx+4=0. (*)

令Δ=(4k)2-4×4=0,解得 k=±1. 代入方程(*),解得 x=±2,不妨取 A(2,1),B(-2,1). (2 分) 设圆心 P(0,a),由|PM|=|PB|得 =a+1,解得 a=1. 所以|PM|=2,

故过 M,A,B 三点的圆的方程为 x2+(y-1)2=4. (4 分) (2)证明:设 M(x0,-1),A ,B ,

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由已知得 y= ,y'= x, 所以 kMA= ,kMB= , 切线 MA 的方程为 y- = (x-x1),即 y= x1x- , 切线 MB 的方程为 y- = (x-x2),即 y= x2x- . (6 分) 又因为切线 MA 过点 M(x0,-1), 所以-1= x0x1- . ① 又因为切线 MB 也过点 M(x0,-1), 所以-1= x0x2- . ② 所以 x1,x2 是方程-1= x0x- x2 的两个实根, 由根与系数的关系得 x1+x2=2x0,x1x2=-4. (8 分) 因为 = , = ,

所以 · =(x1-x0)(x2-x0)+ =x1x2-x0(x1+x2)+ + =x1x2-x0(x1+x2)+ + + ( + )+1 + [(x1+x2)2-2x1x2]+1.

将 x1+x2=2x0,x1x2=-4 代入上式得 · =0. (11 分)

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所以以 AB 为直径的圆恒过点 M. (12 分) 失分警示:(1)没有考虑到利用导数的知识来写出切线方程; (2)证明以 AB 为直径的圆过点 M 时,不易想到用 · =0 来证明,导致 难以入手. 19.(1)依题意知,点 P 到直线 x=-1 的距离等于它到点

(1,0)的距离,故点 P 的轨迹是顶点为坐标原点,以 x 轴为对称轴,开口方 向向右的抛物线,设其方程为 y2=2px(p>0). 易知 p=2,所以曲线 C 的方程为 y2=4x. (2 分) (2)当直线 l 不垂直于 x 轴时,根据题意可设 l 的方程为 y=k(x-1)(k≠0), 由 可得 k2x2-(2k2+4)x+k2=0. ,x1x2=1.

设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2= ∴y1y2=-4,(4 分) ∵N(-1,0),∴ kNA+kNB= + = + =

=

=0. (7 分)

当直线 l 垂直于 x 轴时,点 A,B 关于 x 轴对称,显然 kNA+kNB=0. 综上知 kNA+kNB=0,所以直线 NA,NB 的倾斜角之和为π. (9 分) 当直线 l 不垂直于 x 轴 时, · =(x1+1)(x2+1)+y1y2=x1x2+x1+x2+1+y1y2= >0,此时∠ANB 为锐

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角; 当直线 l 垂直于 x 轴时,点 A,B 关于 x 轴对称,易知 A(1,2),B(1,-2)或 A(1,-2),B(1,2), 此时△ANB 为等腰直角三角形,∠ANB= . 综上知,∠ANB 不恒为锐角. (12 分) 失分警示:(1)忽略 l⊥x 轴的情形. (2)运算不够细心,导致没有将 kNA+kNB 化简出来. 20.(Ⅰ)由题意得 解得





∴椭圆 的方程为 ……………………………………………………4 分

(Ⅱ)设直线 如图所示.



的斜率分别为 、 ,

,

,



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.

在椭圆上,∴



整理得









,则









∴ 分 设

. ……………………………………………………………8

的中点为







为直径的圆的方程为:

.



,得



整理得



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解得 即以

, 为直径的圆恒过 轴上的定点 …………………………12 分 因为 所以 . , , 即动点 E 到两定点 A、B 的距离之和为常数 6( 所以动点 E 的轨迹是以 A、B 为焦点,长轴长 所以 ,所以 , ), 的椭圆, ,所以 21.(I)设点 ,所以 , ,

又 所以

所以点 E 的轨迹 C 的方程是 . …………………4 分

(II)如图所示,设

为曲

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线 C 上任一点, 由题意知 ,

所以 O、A、P、B 在以 OP 为直径的圆上,

其方程是



AB 是圆 O 和以 OP 为直径的圆的公共弦, 将这两个圆的方程相减得直线 AB 所在的直线方程是 , 所以 ,

所以





所以ΔMON 面积的最小值是 . ……………………………… 12 分

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