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2019年高中数学人教版选修1-1习题:第一章1.1-1.1.3四种命题间的相互关系 Word版含答案



第一章 常用逻辑用语
1.1 命题及其关系 四种命题 1.1.2 1.1.3

四种命题间的相互关系

A 级 基础巩固 一、选择题 1.命题“对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形的对角线相等”的( A.逆命题 C.逆否命题 B.否命题 D.无关命题 )

解析:将命题“对角线相等的四边形是矩形”写成“若 p,则 q”的形式为:“若一个四 边形的对角线相等,则这个四边形是矩形”.而将命题“矩形的对角线相等”写成“若 p,则

q”的形式为:“若一个四边形是矩形,则四边形的对角线相等”.则前一个命题为后一个命
题的逆命题. 答案:A 2.已知 a,b,c∈R,命题“若 a+b+c=3,则 a +b +c ≥3”的否命题是( A.若 a+b+c≠3,则 a +b +c <3 B.若 a+b+c=3,则 a +b +c <3 C.若 a+b+c≠3,则 a +b +c ≥3 D.若 a+b+c≥3,则 a +b +c =3 解析:否定条件,得 a+b+c≠3,否定结论,得 a +b +c <3.所以否命题是“若 a+b +c≠3,则 a +b +c <3”. 答案:A 3.与命题“能被 6 整除的整数,一定能被 3 整除”等价的命题是( A.能被 3 整除的整数,一定能被 6 整除 B.不能被 3 整除的整数,一定不能被 6 整除 C.不能被 6 整除的整数,一定不能被 3 整除 D.不能被 6 整除的整数,不一定能被 3 整除 解析:原命题与它的逆否命题是等价命题,原命题的逆否命题是:不能被 3 整除的整数, 一定不能被 6 整除. 答案:B 4.下列说法: )
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)

①原命题为真,它的否命题为假; ②原命题为真,它的逆命题不一定为真; ③一个命题的逆命题为真,它的否命题一定为真; ④一个命题的逆否命题为真,它的否命题一定为真. 其中正确的是( A.①② C.③④ ) B.②③ D.②③④

解析:互为逆否命题的两个命题同真假,互为否命题和逆命题的两个命题,它们的真假 性没有关系. 答案:B 5.有下列四种命题: ①“若 x+y=0,则 x,y 互为相反数”的否命题; ②“若 x>y,则 x >y ”的逆否命题; ③“若 x≤3,则 x -x-6>0”的否命题; ④“对顶角相等”的逆命题. 其中真命题的个数是( A.0 B.1 C.2 D.3 )
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解析:(1)原命题的否命题与其逆命题有相同的真假性,其逆命题为“若 x,y 互为相反 数,则 x+y=0”,为真命题;(2)原命题与其逆否命题具有相同的真假性.而原命题为假命 题(如 x=0,y=-1),故其逆否命题为假命题;(3)该命题的否命题为“若 x>3,则 x -x- 6≤0”,很明显为假命题;(4)该命题的逆命题是“相等的角是对顶角”,显然是假命题. 答案:B 二、填空题 6.命题“若 x <4,则-2<x<2”的逆否命题为_______________,是______________(填 “真”或“假”)命题. 解析:命题“若 x <4,则-2<x<2”的逆否命题为“若 x≥2 或 x≤-2,则 x ≥4” ,因为 原命题是真命题,所以其逆否命题也是真命题. 答案:若 x≥2 或 x≤-2,则 x ≥4
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7.命题“当 AB=AC 时,△ABC 是等腰三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个 命题中,真命题有________个. 解析:原命题“当 AB=AC 时,△ABC 是等腰三角形”是真命题,且互为逆否命题等价, 故其逆否命题为真命题.其逆命题“若△ABC 是等腰三角形,则 AB=AC”是假命题,则否命 题是假命题.则 4 个命题中有 2 个是真命题. 答案:2

8.设有两个命题:①不等式 mx +1>0 的解集是 R;②函数 f(x)=logm x 是减函数.如 果这两个命题中有且只有一个是真命题,则实数 m 的取值范围是________. 解析:①当 m=0 时,mx +1=1>0 恒成立,解集为 R.当 m≠0 时,若 mx +1>0 的解集 为 R,必有 m>0. 综上知,不等式 mx +1>0 的解集为 R,必有 m≥0. ②当 0 < m < 1 时, f(x) = logm x 是减函数,当两个命题中有且只有一个真命题时
?m≥0, ?m<0, ? ? ? 或? ?m≤0或m≥1 ? ?0<m<1, ?
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所以 m=0 或 m≥1. 答案:m=0 或 m≥1 三、解答题 9.写出命题“在△ABC 中,若 a>b,则 A>B”的逆命题、否命题和逆否命题,并判断它 们的真假. 解:(1)逆命题:在△ABC 中,若 A>B,则 a>b 为真命题.否命题:在△ABC 中,若 a≤b, 则 A≤B 为真命题.逆否命题:在△ABC 中,若 A≤B,则 a≤b 为真命题. 10.判断命题“已知 a,x 为实数,若关于 x 的不等式 x +(2a+1)x+a +2>0 的解集是 7 R,则 a< ”的逆否命题的真假. 4 解:先判断原命题的真假如下:因为 a,x 为实数,关于 x 的不等式 x +(2a+1)x+a +2 >0 的解集为 R,且抛物线 y=x +(2a+1)x+a +2 的开口向上,所以Δ =(2a+1) -4(a + 2)=4a-7<0. 7 所以 a< .所以原命题是真命题. 4 因为互为逆否命题的两个命题同真同假,所以原命题的逆否命题为真命题.
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B 级 能力提升 1.若命题 p 的逆命题是 q,命题 q 的否命题是 m,则 m 是 p 的( A.原命题 C.否命题 B.逆命题 D.逆否命题 )

解析:设命题 p 为“若 k,则 l”,则命题 q 为“若 l,则 k”,从而命题 m 为“若非 l, 则非 k”,即命题 m 是命题 p 的逆否命题. 答案:D 2.给出命题:若函数 y=f(x)是幂函数,则函数 y=f(x)的图象不过第四象限,在它的 逆命题、否命题、逆否命题三个命题中,为真命题的是________. 解析:由于原命题为真命题,则其逆否命题也为真命题.其否命题:若函数 y=f(x)不是 幂函数,则 y=f(x)的图象过第四象限,为假命题,从而原命题的逆命题也是假命题.

答案:逆否命题 3.已知 p:x +mx+1=0 有两个不等的负根,q:4x +4(m-2)x+1=0 无实数根.若 p,
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q 一真一假,求 m 的取值范围.
解:当 p 为真时,即方程 x +mx+1=0 有两个不等的负根,设两个负根为 x1,x2,则有
? ?m -4>0, ? ?x1+x2=-m<0, ?
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解得 m>2. 当 q 为真时,即方程 4x +4(m-2)x+1=0 无实数根,则有 16(m-2) -4×4×1<0,解得 1<m<3. 若 p 真,q 假,则?
? ?m>2, ?m≤1或m≥3, ? ?m≤2, ? ? ?1<m<3,
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得 m∈[3,+∞);

若 p 假,q 真,则?

得 m∈(1,2].

综上所述,m 的取值范围是(1,2]∪[3,+∞).