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2014年高考理科数学总复习试卷第98卷题目及其答案


2014 年高考理科数学总复习试卷第 98 卷题目及其答 案
数学(文科)
本试卷共 20 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟.

第 I 卷 (选择题) (50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求. 1.已知全集 U=R,集合 A={ x | x <3},B={ x | log3 x >0},则 A ? CUB=( ) A.{ x |1< x <3} B.{ x |1≤ x <3} C .{ x | x <3} D.{ x | x ≤1} )

2.已知 a,b,c∈R,命题“若 a ? b ? c =3,则 a 2 ? b2 ? c2 ≥3”的否命题是( A.若 a+b+c≠3,则 a 2 ? b2 ? c 2 <3 C.若 a+b+c≠3,则 a 2 ? b2 ? c 2 ≥3 3. y ? (sin x ? cos x)2 ? 1 是( A. 最小正周期为 2 π 的奇函数 C. 最小正周期为 π 的奇函数 ) B. 最小正周期为 2 π 的偶函数 D. 最小正周期为 π 的偶函数 ) B.若 a+b+c=3,则 a 2 ? b2 ? c 2 <3 D.若 a 2 ? b2 ? c 2 ≥3,则 a+b+c=3

4.已知 a、b 是实数,则“a>1,且 b>1”是“a+b>2,且 ab ? 1 ” 的( A.充分而不必要条件 C.充分且必要条件
2

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ) B.直角三角形 D.等腰直角三角形 ( ) D. y ? x ? 1 )

5.若 AB ? BC ? AB ? 0, 则?ABC 是( A.锐角三角形 C.钝角三角形

6.曲线 f ( x) ? x ln x 在点 x ? 1 处的切线方程为 A. y ? 2 x ? 2 B. y ? 2 x ? 2

C. y ? x ? 1

7.若方程 f ( x) ? 2 ? 0 在 ( ??, 0) 内有解,则 y ? f ( x) 的图象是(

1

8.要得到函数 y ? 2 sin( 3 x ? A.向左平移

?
5

) 的图象,只需将函数 y ? 2 sin 3x 的图象(



? ? 个单位 B.向右平移 个单位 5 5 ? ? C.向左平移 个单位 D.向右平移 个单位 15 15 ? 1 ? 9.已知 sin(? ? ) ? ,则 cos( ? ? ) 的值等于( ) 4 3 4
A.
2 2 3

B. ?

2 2 3

C.

1 3

D. ?

1 3

10.对任意实数 x , y ,定义运算 x ? y ? ax ? by ? cxy ,其中 a, b, c 是常数,等式右边的运 算是通常的加法和乘法运算。已知 1? 2 ? 3 , 2 ? 3 ? 4 ,并且有一个非零常数 m ,使得对 任意实数 x ,都有 x ? m ? x ,则 m 的值是( A. ?4 B. 4 C. ?5 D. 6 )

第 II 卷(非选择题) (100 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 11.函数 f ( x) ?

x?4 的定义域为_____________ | x | ?5

12.已知函数 f ( x) ? ?

?2 x , ( x ? 4) , 则 f (5) = _____________. f ( x ? 1 ) ? 2 , ( x ? 4 ) ?

13.已知单位向量 e1 , e2 的夹角为 60 ,则 2e1 ? e2 ?

?x ? 2 y ? 9 ? 14.已知实数 x,y 满足 ? x ? 4 y ? ?3, 则z ? ?3 x ? y 的最小值是 ?x ? 1 ?
三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、 证明过程和演算步骤.
2

15.(本题满分 12 分)
已知函数 f ( x) ? sin x ? cos x , x ? R . (1)求函数 f ( x) 的最小正周期; (2)若函数 f ( x) 在 x ? x0 处取得最大值,求 f ( x0 ) ? f (2 x0 ) ? f (3x0 ) 的值. 16. (本题满分 12 分) 已知命题 p : x2 ? 12 x ? 64 ? 0 , q : x2 ? 2 x ? 1 ? a 2 ? 0 , 若 ? p 是 ? q 的必要而不充分条件,求正实数 a 的取值范围

17. (本题满分 14 分) 已知向量 m= ( 3 sin

x x x ,1), n= (cos , cos 2 ) . 4 4 4

(1)若 m·n=1,求 cos( x ? (2)记函数 f(x)=

?

3

) 的值;
A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且满足

m·n,在 ?ABC 中,角

(2a ? c) cos B ? b cosC, 求 f(A)的取值范围.

18. (本题满分 14 分) 设 f ( x) ?

ex ,其中 a ? 0 1 ? ax2
4 时,求 f ( x) 的极值点; 3

(Ⅰ)当 a ?

(Ⅱ)若 f ( x) 为 R 上的单调函数,求 a 的取值范围。

19. (本题满分 14 分) 某工厂生产一种产品的成本费由三部分组成: ① 职工工资固定支出 12500 元; ② 原材料费每件 40 元;

3

③ 电力与机器保养等费用为每件 0.05 x 元,其中 x 是该厂生产这种产品的总件数. (1)把每件产品的成本费 P ( x) (元)表示成产品件数 x 的函数,并求每件产品的最低成本 费; (2) 如果该厂生产的这种产品的数量 x 不超过 3000 件, 且产品能全部销售. 根据市场调查: 每件产品的销售价 Q ( x) 与产品件数 x 有如下关系: Q( x) ? 170 ? 0.05x ,试问生产多 少件产品,总利润最高?(总利润=总销售额—总的成本)

20. (本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? 2 ?
x

a . 将 y ? f ( x) 的图象向右平移 2 个单位,得到 y ? g ( x) 的图 2x

象. (1)求函数 y ? g ( x) 的解析式; (2) 若函数 y ? h( x) 与函数 y ? g ( x) 的图象关于直线 y ? 1 对称,求函数 y ? h( x) 的 解析式; (3)设 F ( x) ? 值范围.

1 f ( x) ? h( x), 已知 F ( x) 的最小值是 m ,且 m ? 2 ? 7, 求实数 a 的取 a

4

参考答案
DACAB CDDDB 12.12 13. 3 14.-17

11. ?4,5? ? ?5,???

15.解: (1) f ( x) ? sin x ? cos x ?

2 sin( x ?

?
4

) , ??????3 分

? f ( x) 的最小正周期为 2 ?
(2)依题意, x0 ? 2k? ?

??????6 分

3? (k ?Z ) , ??????8 分 4

由周期性, f ( x0 ) ? f (2 x0 ) ? f (3x0 )

3? 3? 3? 3? 9? 9? ? cos ) ? (sin ? cos ) ? (sin ? cos ) 4 4 2 2 4 4 ? 2 ?1 ? (sin
??????12 分

16. 解: p:(x-16)(x+4)<0,? -4<x<16,?????????3 分

q:?x-(1-a)?? x ? (1 ? a)? ? 0 a>0 ?1-a ? x ? 1+a

????6 分

? p 是 ? q 的必要而不充分条件? p 是 q 的充分而不必要条件

?1 ? a ? ?4 ?? ? a ? 15 ,? 正实数 a 的取值范围 ? 15, ??) ?1 ? a ? 16
17.解: (1)∵m·n=1 即 3 sin

????12 分

x x x cos ? cos 2 ? 1 4 4 4

????????2 分



3 x 1 x 1 sin ? cos ? ? 1 2 2 2 2 2
x ? 1 ? ) ? ????????4 分 2 6 2
5

∴ sin(

∴ cos( x ?

?

x ? 1 1 ) ? 1 ? 2 sin 2 ( ? ) ? 1 ? 2 ? ( ) 2 ? 3 2 6 2 2

????7 分

(2)∵ (2a ? c) cos B ? b cosC, 由正弦定理得 (2 sin A ? sin C ) cos B ? sin BcocC ∴ 2 sin A cos B ? sin C cos B ? sin B cos C ∴ 2 sin A cos B ? sin(B ? C ) ∵ A? B ?C ?? ∴ sin(B ? C ) ? sin A, 且 sin A ? 0, ??????9 分

1 ? ,B ? , 2 3 2? ∴0 ? A ? 3 ? A ? ? ∴ ? ? ? 6 2 6 2 1 A ? ∴ ? sin( ? ) ? 1 2 2 6
∴ cos B ? 又∵f(x)= m·n= sin(

??????11 分

???????12 分

x ? 1 ? )? 2 6 2 A ? 1 ∴ f ( A) ? sin( ? ) ? 2 6 2 3 ∴ 1 ? f ( A) ? 2 3 故函数 f(A)的取值范围是 (1, ). 2
18.解:对 f ( x) 求导得 f ' ( x) ? e x (Ⅰ)当 a ?

???????14 分

1 ? ax2 ? 2ax (1 ? ax2 ) 2

①?????2 分

4 2 时,若 f ' ( x) ? 0,则4x ? 8x ? 3 ? 0, 3 3 1 解得 x1 ? , x 2 ? ?????4 分 2 2.
综合①,可知

x
f ?( x) f ( x)

1 (?? , ) 2
+ ↗

1 2
0 极大值

1 3 ( , ) 2 2
- ↘

3 2
0 极小值

3 ( ,?? ) 2
+ ↗

6

所以, x1 ?

3 1 是极小值点, x 2 ? 是极大值点. ?????8 分 2 2

(II)若 f ( x) 为 R 上的单调函数,则 f ' ( x) 在 R 上不变号, 结合①与条件 a>0,知 ax ? 2ax ? 1 ? 0 在 R 上恒成立,?????10 分
2

因此 ? ? 4a 2 ? 4a ? 4a(a ? 1) ? 0 由此并结合 a ? 0 ,知 0 ? a ? 1 。 所以 a 的取值范围为 a 0 ? a ? 1 . ?????14 分 19.解: (1) P ( x) ?

?

?

12500 ? 40 ? 0.05 x x

??3 分

由基本不等式得 P( x) ? 2 12500 ? 0.05 ? 40 ? 90 当且仅当

???5 分

12500 ? 0.05 x ,即 x ? 500 时,等号成立 ??6 分 x 12500 ? 40 ? 0.05 x ,成本的最小值为 90 元. ??7 分 ∴ P( x) ? x (2)设总利润为 y 元,则

y ? xQ( x) ? xP( x) ? ?0.1x 2 ? 130x ? 12500 ? ?0.1( x ? 650) 2 ? 29750
当 x ? 650 时, ymax ? 29750 ?????12 分 ?????13 分

答:生产 650 件产品时,总利润最高,最高总利润为 29750 元. ??14 分

20.解:(1)由题设, g ( x) ? f ( x ? 2) ? 2 x ?2 ?

a 2 x?2

.???3 分

(2)设 ( x, y)在y ? h( x) 的图象上, ( x1 , y1 )在y ? g ( x) 的图象上,

?x ? x 则? 1 , (5 分) ? y1 ? 2 ? y
? 2 ? y ? g ( x), y ? 2 ? g ( x)

即 h( x ) ? 2 ? 2 x ? 2 ? (3)由题设,
F ( x) ?

a 2 x?2

.?????6 分

a 1 1 1 2 1 ? x ? 2 ? 2 x ? 2 ? x ? 2 = ( ? )2 x ? x (4a ? 1) ? 2 2 a 4 2 a 2

x

7

a ? 0 ①当 a ? 0 时,有

1 1 ? ? 0 , 4a ? 1 ? 0 , a 4

而 2x ? 0 ,

1 ? 0, 2x

? F ( x) ? 2 ,这与 F ( x) 的最小值 m ? 2 ? 7, 矛盾;??8 分

②当 0 ? a ?

1 1 1 时,有 ? ? 0 , 4a ? 1 ? 0 ,此时 F ( x) 在 R 上是增函数,故不 a 4 4

存在最小值;?????9 分
1 1 ③当 a ? 4 时,有 ? ? 0 , 4a ? 1 ? 0 ,此时 F ( x) 在 R 上是减函数,故不存 a 4

在最小值;?????10 分 ④当
1 1 1 ? a ? 4 时,有 ? ? 0 , 4a ? 1 ? 0 , a 4 4

F ( x) ? 2

(4 ? a)(4a ? 1) ? 2 .?????11 分 4a 4a(4a ? 1) 时取得等号, 4?a (4 ? a)(4a ? 1) ?2 4a
????12 分

当且仅当 2 x ?

F ( x) 取最小值 m ? 2

? (4 ? a)(4a ? 1) 7 ? ? 1 ? 4a 4 又 m ? 2 ? 7 及 ? a ? 4 ,得 ? 4 ?1 ? a ? 4 ? ?4 ?1 ?a?2 ? 1 ?2 ,? ? a ? 2 ? ?1 ? a ? 4 2 ? ?4

?????14 分

8


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