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圆锥曲线二轮复习全部题型总结


圆锥曲线
一、 圆锥曲线的定义
1、几何定义: 用一个平面去截一个圆锥面,得到的交线就称为圆锥曲线(conic sections)。 通常提到的圆锥曲线包括椭圆,双曲线和抛物线,但严格来讲,它还包括一些退化情形。具体而言: 1) 当平面与圆锥面的母线平行,且不过圆锥顶点,结果为抛物线。 2) 当平面与圆锥面的母线平行,且过圆锥顶点,结果退化为一条直线。 3) 当平面只与圆锥面一侧相交,且不过圆锥顶点,结果为椭圆。 4) 当平面只与圆锥面一侧相交,且不过圆锥顶点,并与圆锥面的对称轴垂直,结果为圆。 5) 当平面只与圆锥面一侧相交,且过圆锥顶点,结果退化为一个点。 6) 当平面与圆锥面两侧都相交,且不过圆锥顶点,结果为双曲线的一支(另一支为此圆锥面的对顶圆锥 面与平面的交线)。 7) 当平面与圆锥面两侧都相交,且过圆锥顶点,结果为两条相交直线。 思考: 【做】例 1、(14 年 3 月 13 校联考 14 题)设 B 、 C 是定点,且均不在平面 ? 上,动点 A 在平面 ? 上,且

sin ?ABC ?

1 ,则点 A 的轨迹为( ) 2
(B)抛物线或双曲线 (C)椭圆或双曲线 (D)以上均有可能

(A)圆或椭圆

4、书本上基本的定义 在平面内 1)圆:到定点的距离等于定长; 2)椭圆:到两定点的距离之和为常数(大于两定点的距离); 3)双曲线:到两定点距离之差的绝对值为常数(小于两定点的距离); 4)抛物线:到定点与定直线距离相等.(定点不在定直线上).

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二、轨迹方程
1、求曲线方程的一般步骤:建系、设点、列式、化简、确定点的范围. 2、求动点轨迹方程的几种方法 (1)直接法:(2)定义法:(3)代入法:(4) 参数法:(5)点差法: 典型例题 一:直接法 此类问题重在寻找数量关系。 例 1: 一条线段 AB 的长等于 2 a ,两个端点 A 和 B 分别在 x 轴和 y 轴上滑动, 求 AB 中点 M 的轨迹方程?

二:定义法 例 1: 已知 ?ABC的顶点 A, B 的坐标分别为 (-4, 0) , (4, 0) , C 为动点, 且满足 sin B ? sin A ? 求点 C 的轨迹。

5 sin C, 4

2:一动圆与圆 O: x ? y ? 1 外切,而与圆 C: x ? y ? 6 x ? 8 ? 0 内切,那么动圆的圆心 M 的轨迹是:
2 2 2 2

A:抛物线 B:圆 C:椭圆 D:双曲线一支

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三:参数法 此类方法主要在于设置合适的参数,求出参数方程,最后消参,化为普通方程。注意参数的取值范围。 例 1.过点 P(2,4)作两条互相垂直的直线 l1,l2,若 l1 交 x 轴于 A 点,l2 交 y 轴于 B 点,求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程。

四:代入法 例 1.点 B 是椭圆

x2 y2 ? ? 1上的动点, A(2a,0) 为定点,求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程. a2 b2

五、点差法 例 1 直线 l : ax ? y ? ? a ? 5? ? 0 ( a 是参数)与抛物线 y ? ? x ? 1? 的相交弦是 AB ,求弦 AB 的中点轨
2

迹方程.

三、方程识别
1、 平面直角坐标方程

2、参数方程 (1) 圆

a ? r cos ? ?xy ? ? b ? r sin ?

(2) 椭圆

a cos ? ?xy ? ? b sin ?

(3) 双曲线

a sec? ?xy ? ? b tan ?

(4) 抛物线

?

x ? 2 pt 2 y ? 2 pt

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经典例题 例 1、当 m,n 满足什么条件时,方程

x2 y ? ? 1 分别表示圆、椭圆、双曲线? m n

2

【做】例 2、 (2013 年上海徐汇区一模 18) 【理】对于直角坐标平面 xOy 内的点 A( x, y ) (不是原点), A 的“对偶点” B 是指:满足 OA OB ? 1 且在射线 OA 上的那个点. 若 P, Q, R, S 是在同一直线上的 四个不同的点(都不是原点),则它们的“对偶点” P , Q , R , S (
' ' ' '



A .一定共线;
C .要么共线,要么共圆;

B .一定共圆;
D .既不共线,也不共圆.

四、圆锥曲线的概念与几何性质

注:与

y2 x2 y 2 x2 ? ? ( ? ? 0 ); ? ? 1 共渐近线的双曲线方程 - a2 b2 a 2 b2

经典例题 例 1.椭圆 5 x 2 ? ky 2 ? 5 的一个焦点是(0, 2),那么 k= 。

变式:1.与椭圆

y2 x2 ? ? 1 共焦点,且过点(3,-2)的椭圆标准方程是 9 4



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2.双曲线

y2 x2 ? ? 1 的渐近线为 9 4

;

两渐近线夹角为



3.过点(-6,3)且和双曲线 x -2y =2 有相同的渐近线的双曲线方程为

2

2

4.若双曲线 8kx 2 ? ky 2 ? 8 的一个焦点是(0,3),则 k 的值是



例 2.给出问题:F1、F2 是双曲线

x2 y2 ? =1 的焦点,点 P 在双曲线上.若点 P 到焦点 F1 的 16 20

距离等于 9,求点 P 到焦点 F2 的距离.某学生的解答如下:双曲线的实轴长为 8,由 ||PF1|-|PF2||=8,即|9-|PF2||=8,得|PF2|=1 或 17. 该学生的解答是否正确?若正确,请将他的解题依据填在下面空格内,若不正确, 将正确的结果填在下面空格内. .

五、点与圆锥曲线位置关系、最值问题
1、位置关系 ①几何方法 ②代数方法 ③利用 x、y 进行范围锁定 2、 最值问题 ①一定一动(动点在圆锥曲线上):利用两点间的距离公式.(圆可用加减半径求解) ②两定一动(其中一定为焦点、动点在圆锥曲线上):利用焦点转化(抛物线利用焦点与准线转换) 经典例题 例 1. 某海域内有一孤岛. 岛四周的海平面(视为平面)上有一浅水区(含边界),其边界 是长轴长为

2a 、短轴长为 2b 的椭圆. 已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为 h1、 h 2 ,且两个导航灯在海平面上
的投影恰好落在椭圆的两个焦点上. 现有船只经过该海域(船只的大小忽略不计),在船上测得甲、乙 导航灯的仰角分别为 ? 1、 ? 2 ,那么 船只已进入该浅水区的判别条件是

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例 2.已知 M 是椭圆

y2 x2 ? ? 1 上的动点,N 是圆 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1 的动点,求|MN|的最小值 9 4

例 3.(1) P 是椭圆

x2 y2 + ? 1上一点, F1 是椭圆右焦点, A(1,1) ,求 PF1 ? PA 的范围. 4 3

(2) P 是双曲线 x ?
2

y2 ? 1 上一点, F1 是双曲线右焦点, A(2,1) ,求 PF1 ? PA 的最小值. 2

(3) P 是椭圆

x2 y2 + ? 1上一点, F1 是椭圆右焦点, A(3,3) ,求 PA ? PF1 的最小值 4 3

六、直线与圆锥曲线位置关系、交点个数
方法一 是方程的观点,即把曲线方程和直线的方程联立成方程组,利用判别式Δ 来讨论位置关系.方程 解的个数为交点个数。


方法二是几何的观点(以双曲线为例) 直线与双曲线的位置关系: 区域①:无切线,2 条与渐近线平行的直线,合计 2 条;
F1

y

4

3

2 1
F2 x

53 3

区域②:即定点在双曲线上,1 条切线,2 条与渐近线平行的直线,合计 3 条; 区域③:2 条切线,2 条与渐近线平行的直线,合计 4 条; 区域④:即定点在渐近线上且非原点, 1 条切线,1 条与渐近线平行的直线,合计 2 条; 区域⑤:即过原点,无切线,无与渐近线平行的直线. 小结:过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点,可以作出的直线数目可能有 0、2、3、4 条.

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经典例题 例 1.已知直线 y=kx-1 与双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 ,试列出实数 k 需满足的不等式组,使直线与双曲线交同支于 两点 。

x2 y2 ? ? 1 只有一个交点的直线的条数为 例 2.过点 P(3,4)与双曲线 c : 9 16
A.4 B. 3 C.2 D. 1





例 3.若对任意 k?R,直线 y ? k ( x ? 2) ? b 与双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 总有公共点,则 b 范围



2 2 变式:1.过原点与双曲线 x ? y ? ?1 交于两点的直线斜率的取值范围是 4 3

2.若方程 x+k- 1 ? x =0 只有一个解,则实数 k 的取值范围是
2

_



2 2 4.曲线 x ? y ? 6x ? 0( y ? 0) 与直线 y ? k ( x ? 2) 有公共点的充要条件是(



? 3 ? A . k ? ?? ,0 ? ; ? 4 ?

? 4? B . k ? ? 0, ? ; ? 3?

C . k ? ? 0, ? ; ? 4?

?

3?

? 3 3? D . k ? ?? , ? . ? 4 4?

5.已知两点 M(—5,0)和 N(5,0),若直线上存在点 P 使|PM|—|PN|=6,则称该直线为“B 型直线”。 给出下列直线: ① y ? x ? 1; ② y ? 2; ③y? 上所有正确的序号)

4 x; ④ y ? 2 x ? 1. 其中为 “B 型直线” 的是 3

(填

6.已知双曲线方程为 2 x ? y ? 2 与点 P(1,2),
2 2

(1)求过点 P(1,2)的直线 l 的斜率 k 的取值范围,使直线与双曲线有一个交点,两个交点,没有交 点。

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七、直线与圆锥曲线的最值、弦长以及面积
1、到定直线的距离最值:方法一:作定直线的平行线与圆锥曲线相切,两平行线之间的距离为最值。 方法二:直接利用参数方程,用点到直线的距离公式来进行解决。 2、弦长问题 若直线 y ? kx ? b 与二次曲线的交点为 A( x1, , y1 )和 B ( x2, , y 2 ) 方法一:联立直线与二次曲线方程求出两交点 ? 两点间距离
2 2 方法二:利用弦长公式: | AB |? 1 ? k 2 | x1 ? x2 | = 1 +k ? ( x1 + x 2 )

4 x1x 2

? 1?
2

1 1 | y1 ? y 2 | = 1 + 2 ? ( y1 +y 2 ) 2 2 k k
2 2

4 y1y 2

方法三:(半弦长) =(半径) -(圆心到直线距离) (—只适用于圆) 注意:椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦

3、面积 (1)、普通三角形:(注意) S ?

1 ? AB ? d 2

注意:有时需要将三角形拆成两个三角形 .
2 (2)、焦点三角形:椭圆: S ? b tan

?
2

2 ,双曲线: S△ PF1F2 ? b ? cot

?
2

经典例题 例 1.椭圆

x2 y2 ? ? 1 上的点到直线 l: x ? y ? 9 ? 0 的距离的最小值为___________. 16 9

变式:1、设点 P 在曲线 y ? x ? 2 上,点 Q 在曲线 y ?
2

x ? 2 上,则 PQ 的最小值等于



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例 2. 经过双曲线 x ?
2

y2 ? 1 的右焦点 F2 作直线 l 交双曲线与 A 、 B 两点,若|AB|=4, 2
( (C)2; (D)1 )

则这样的直线存在的条数为 (A)4; (B)3;

变式:1.一直线 l 过椭圆

x2 y2 ? ? 1 的左焦点,被椭圆截得的弦长为 2,则直线 l 的方程为 4 2



2.若 F1 、F2 为双曲线 C : 到 x 轴的距离为( )

x2 ? y 2 ? 1 的左、右焦点,点 P 在双曲线 C 上,∠ F1 PF2 = 60 ? ,则 P 4

A.

5 ; 5

B.

15 ; 5

C.

2 15 ; 5

D.

15 . 20

八、几何意义
常涉及距离和斜率以及截距,另外方程解的问题也会涉及,通常结合圆锥曲线的图像,但要注意变量的 范围。 典型例题 例 1. 如果实数 x, y 满足方程 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 3 ,那么
1 2
y 的最大值为 x





(A)

(B)

3 3
2

(C)

3 2

(D)

3

变式:1 若方程 x+k- 1 ? x =0 只有一个解,则实数 k 的取值范围是 _

_。

2.若关于 x 的方程

x 2 ? 1 ? k ( x ? 2) 有两个不等的实数根,则实数 k 的取值范围是_____.

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九、角的大小、垂直问题
1、角:借助向量,转化为坐标运算。 2、垂直问题:(1)斜率乘积为-1 3、与向量有关问题:转化为坐标运算 (2)向量数量积为 0.

典型例题

x2 ? y 2 ? 1 的左、右焦点. 例 1.设 F1 、 F2 分别是椭圆 4
(Ⅰ)若 P 是该椭圆上的一个动点,求 PF1 ? PF2 的最大值和最小值; (Ⅱ) 设过定点 M (0,2) 的直线 l 与椭圆交于不同的两点 A 、B , 且∠ AOB 为锐角 (其中 O 为坐标原点) , 求直线 l 的斜率 k 的取值范围.

变式:1. 直线 l : y ? kx ? 1与双曲线C : 2 x 2 ? y 2 ? 1 的右支交于不同的两点 A、B. (1)求实数 k 的取值范围; (2)是否存在实数 k,使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点 F?若存在,求出 k 的值;若不存 在,说明理由.

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【做】2.倾角为 准线上的动点.

? 的直线 l 过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点 F 与抛物线交于 A、B 两点,点 C 是抛物线 3
y
A C

(1)△ABC 能否为正三角形? (2)若△ABC 是钝角三角形,求点 C 纵坐标的取值范围. O B

F

x

十、弦中点问题以及对称问题
弦中点问题:1、韦达定理;2、点差法. 对称问题:垂直、平分。1、韦达定理;2、点差法。 典型例题
例 1、如果椭圆

x2 y 2 ? ? 1 弦被点 A(4,2)平分,那么这条弦所在的直线方程是 36 9



变式: 1、 已知直线 y=-x+1 与椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 相交于 A、B 两点,且线段 AB 的中点在直线 L: a 2 b2

x-2y=0 上,则此椭圆中 c : a 为_______

例 2、 若抛物线 y ? ax 2 ? 1 上总存在关于直线 x ? y ? 0 对称的两点,求 a 的范围

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

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变式:1.若直线 L 过 M(-2,1),交椭圆 C : 的方程.

x2 y2 ? ? 1 于 A、B 两点,若 A、B 关于点 M 对称,求直线 L 9 4

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十一、存在性问题
1、正面求解:存在或存在几个的问题 2、反面求解:假设存在,再加以计算或证明. 典型例题 【做】例 1.将两个顶点在抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 上,另一个顶点 ?2 p,0? ,这样的正三角形有(
2



A. 0 个

B.2 个

C. 4 个

D .1 个

(2012.奉贤.文.18.)两个顶点在抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 上,另一个顶点是此抛物线焦点,这样的
2

正三角形有( A. 4 个

) B.3 个 C.2 个 D .1 个

, 0) 的距离为 例 2.已知点 P 是直角坐标平面内的动点,点 P 到直线 l1:x ? ?2 的距离为 d 1 ,到点 F (?1

d 2 ,且 d 2 ? 2 .
d1 2
(1)求动点 P 所在曲线 C 的方程; (2)直线 l 过点 F 且与曲线 C 交于不同两点 A、 B(点 A 或 B 不在 x 轴上), 分别过 A、 B 点作直线 l1 : x ? ?2 的垂线,对应的垂足分别为 M、N ,试判断点 F 与以线段 MN 为直径的圆的位置关系(指在圆内、圆上、 圆外等情况); (3)记 S1 ? S?FAM , S2 ? S?FMN , S3 ? S?FBN (A、B、 M、N 是(2)中的点),问是否存在实数 ? ,使
2 S2 ? ? S1S3 成立.若存在,求出 ? 的值;若不存在,请说明理由.

进一步思考问题:若上述问题中直线 l1 : x ? ?

a2 0) 、曲线 C: 、点 F (?c, c

2 x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0,c ? a 2 ? b 2 ) ,则使等式 S2 ? ? S1S3 成立的 ? 的值仍保持不变.请给出你的判断 a 2 b2

(填写“不正确”或“正确”)(限于时间,这里不需要举反例,或证明).

第 12 页 共 12 页

变式:1. 已知双曲线方程为 2 x 2 ? y 2 ? 2 与点 P(1,2), (3)是否存在直线 l ,使 Q(1,1)为 l 被双曲线所截弦的中点?若存在, 求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由。

2.已知 ?ABC的三个顶点在抛物线 ? : x ? y 上运动,
2

1. 求 ? 的焦点坐标; 2. 若点 A 在坐标原点, 且 ?BAC ? 求点 M 的轨迹方程; 3. 试研究: 是否存在一条边所在直线的斜率为 2 的正三角形 ABC ,若存在,求出这个正三角形

?
2

,点 M 在 BC 上,且

AM ? BC ? 0 ,

ABC 的边长,若不存在,说明理由.

3.对于双曲线 C : 顶点为 A 、 B .

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 为其伴随曲线,记双曲线 C 的左、右 C : ? ? 1 ( a ? 0, b ? 0) ,定义 1 a 2 b2 a 2 b2

(1)当 a ? b 时,记双曲线 C 的半焦距为 c ,其伴随椭圆 C1 的半焦距为 c1 ,若 c ? 2c1 ,求双曲线 C 的渐 近线方程; (2)若双曲线 C 的方程为 轨迹方程; (3)过双曲线 C : x ? y ? 1 的左焦点 F ,且斜率为 k 的直线 l 与双曲线 C 交于 N 1 、 N 2 两点,求证:对
2 2

x2 y2 ? ? 1 ,弦 PQ ? x 轴,记直线 PA 与直线 QB 的交点为 M ,求动点 M 的 4 2

任意的 k ? [?2 4 , 2 4 ] ,在伴随曲线 C1 上总存在点 S ,使得 FN1 ? FN2 ? FS .

?

1

?

1

???? ? ???? ?

??? ?2

第 13 页 共 13 页

十二、圆锥曲线定点、定值问题
例 1.(2012 杨浦区二模文 22)已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,点 a 2 b2

M ? 0, 2? 是椭圆的一个顶点,△ F1MF2 是等腰直角三角形.
(1)求椭圆 C 的方程; (2)设点 P 是椭圆 C 上一动点,求直线 PM 的中点 Q 的轨迹方程; (3 ) 过点 M 分别作直线 MA ,MB 交椭圆于 A ,B 两点, 设两直线的斜率分别为 k1 ,k 2 , 且 k1 ? k2 ? 8 , 探究:直线 AB 是否过定点,并说明理由.

例 2.在平面直角坐标系 xOy 中,已知双曲线 C1 : 2 x ? y ? 1 .
2 2

(1)过 C1 的左顶点引 C1 的一条渐近线的平行线,求该直线与另一条渐近线及 x 轴围成 的三角形的面积;(4 分) (2)设斜率为 1 的直线 l 交 C1 于 P、Q 两点,若 l 与圆 x ? y ? 1相切,求证:
2 2

OP⊥OQ;(6 分)
(3)设椭圆 C2 : 4 x ? y ? 1. 若 M、N 分别是 C1 、 C2 上的动点,且 OM⊥ON,
2 2

求证:O 到直线 MN 的距离是定值.(6 分)

变式:1.(2012 普陀区二模理 23)以椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的中心 O 为圆心, a2 ? b2 为 a 2 b2

第 14 页 共 14 页

半径的圆称为该椭圆的“准圆”.设椭圆 C 的左顶点为 A ,左焦点为 F ,上顶点为 B ,且满足 AB ? 2 ,

S?OAB ?

6 S?OFB . 2

(1)求椭圆 C 及其“准圆”的方程; (2 ) 若椭圆 C 的 “准圆”的一条弦 ED 与椭圆 C 交于 M 、N 两点, 试证明:当 OM ? ON ? 0 时, 弦 ED 的长为定值; (3)对于给定的椭圆 C ,若点 P 是下列三点之一时,是否存在以 P 为一个顶点的“准圆”的内接矩形, 使椭圆 C 完全落在该矩形所围成的区域内(包括边界)?若存在,请写出作图方法,并予以证明;若不存 在,请说明理由. 说明:对于下列三点只需选做一种,满分分别是① 2 分,②5 分,③7 分;若选择了多于一种的情形,则 按照序号较小的解答计分。 ① P ( a, b) ; ② P(0, a2 ? b2 ) ; ③ 射线 y ? 3x ( x ? 0) 与椭圆 C 的“准圆”的交点 P .

???? ? ????

2.(2013 年上海宝山区理科一模 23)(本题 18 分,第(1)小题 6 分;第(2)小题 12 分)

第 15 页 共 15 页

如图,椭圆 E :

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左焦点为 F1 ,右焦点为 F2 ,过 F1 的直线交椭圆于 A, B 两 a 2 b2

点,△ ABF2 的周长为 8,且 ?AF1 F2 面积最大时, ?AF1 F2 为正三角形. (1)求椭圆 E 的方程; (2)设动直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P ,且与直线 x ? 4 相交于点 Q .试探究: ① 以 PQ 为直径的圆与 x 轴的位置关系? ② 在坐标平面内是否存在定点 M ,使得以 PQ 为直径的圆恒过点 M ?若存在,求出 M 的坐标;若不存 在,说明理由. y A

F1 O B

F2 x

【做】3.(2014 闵行二模理 22)(本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第(1)小题满分 4 分,第(2)、

第 16 页 共 16 页

(3)小题满分各 6 分. 设椭圆 ? 1 的中心和抛物线 ? 2 的顶点均为原点 O , ? 1 、 ? 2 的焦点均在 x 轴上,过 ? 2 的焦点 F 作直线

l ,与 ? 2 交于 A、B 两点,在 ? 1 、 ? 2 上各取两个点,将其坐标记录于下表中:
y
x

A C

3
?2 3

?2

4

3

y

0

?4

?

3 2

F0 O

F x B D

(1)求 ? 1 , ? 2 的标准方程; (2)若 l 与 ? 1 交于 C、D 两点, F0 为 ? 1 的左焦点,求 (3)点 P、 Q 是 ? 1 上的两点,且 OP ? OQ ,求证: 此定值时, OP ? OQ 是否成立? 请说明理由.

S△ F0 AB S△ F0CD
1 OP
2

的最小值;

第 22 题图

?

1 OQ
2

为定值;反之,当

1 OP
2

?

1 OQ
2



十三、圆锥曲线性质的类比及思考

第 17 页 共 17 页

(1) 圆中
①若 P 0 ( x0 , y0 ) 在圆 ②若 P 0 ( x0 , y0 ) 在圆 是

xx y y x2 y 2 ? 2 ? 1 上,则过 P0 的圆的切线方程是 02 ? 02 ? 1 . 2 r r r r

x2 y 2 ? ? 1 外 ,则过 P0 作圆的两条切线切点为 P 1P 2 的直线方程 1、P 2 ,则切点弦 P r2 r2

x0 x y0 y ? 2 ? 1. r2 r x0 x y0 y ? 2 ? 1 的不平行于 x,y 轴的弦, M ( x0 , y0 ) 为 AB 的中点,则 kOM ? k AB ? ?1 ,即 r2 r

③ AB 是圆

K AB ? ?
④已知圆

x0 . y0
x0 x y0 y ? 2 ? 1, 直线 y ? kx 交圆于 A ,B 两点, 点 P 是圆上异于 A ,B 的任一点, 且 k PA ,k PB r2 r

均存在,则 k PA ? kPB =-1 .

(2)椭圆中
x0 x y0 y x2 y 2 ? 2 ? 1. ①若 P 0 ( x0 , y0 ) 在椭圆 2 ? 2 ? 1 上,则过 P0 的椭圆的切线方程是 a2 b a b

x2 y 2 ②若 P 1P 2 的直线 1、P 2 ,则切点弦 P 0 ( x0 , y0 ) 在椭圆 2 ? 2 ? 1 外 ,则过 P0 作椭圆的两条切线切点为 P a b
方程是

x0 x y0 y ? 2 ? 1. a2 b

③椭圆

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的左右焦点分别为 F1 , F2 , 点 P 为椭圆上任意一点 ?F 则椭圆 1 PF 2 ?? , a 2 b2

2 的焦点角形的面积为 S ?F1PF2 ? b tan

?
2

.

④ AB 是椭圆

x2 y 2 b2 ? ? 1 k ? k ? ? 的不平行于对称轴的弦, 为 的中点,则 ,即 M ( x , y ) AB OM AB 0 0 a 2 b2 a2

K AB ? ?

b 2 x0 . a 2 y0

⑤已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1, 直线 y ? kx 交椭圆于 A ,B 两点, 点 P 是椭圆上异于 A ,B 的任一点, 且 k PA , a 2 b2

第 18 页 共 18 页

k PB 均存在,则 k PA ? k PB ? ?

b2 . a2

(3)双曲线中
①若 P 0 ( x0 , y0 ) 在双曲线 ②若 P 0 ( x0 , y0 ) 在双曲线

xx y y x2 y 2 ? 2 ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )上,则过 P0 的双曲线的切线方程是 02 ? 02 ? 1 . 2 a b a b

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )外 ,则过 P0 作双曲线的两条切线切点为 P 1、P 2, a 2 b2
x0 x y0 y ? 2 ?1. a2 b

则切点弦 P 1P 2 的直线方程是

x2 y 2 ③双曲线 2 ? 2 ? 1( a ? 0, b ? 0 )的左右焦点分别为 F1 , F2 ,点 P 为双曲线上任意一点 ?F 1 PF 2 ?? , a b
2 则双曲线的焦点角形的面积为 S ?F1PF2 ? b co t

?
2

.

④ AB 是双曲线

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )的不平行于对称轴的弦, M ( x0 , y0 ) 为 AB 的中点,则 a 2 b2

KOM ? K AB

b 2 x0 b2 ? 2 ,即 K AB ? 2 . a a y0
x2 y 2 ? ? 1 ,直线 y ? kx 交双曲线于 A , B 两点,点 P 是双曲线上异于 A , B 的任一点, a 2 b2
b2 . a2

⑤已知双曲线

且 k PA , k PB 均存在,则 k PA ? k PB ?

经典例题
例 1.设 F1 、 F2 分别为椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左右两个焦点。 a 2 b2

(1) 若椭圆上的点 A (1, ) 到 F1 , F2 两点的距离之和等于 4,写出椭圆 C 的方程和焦点坐标;

3 2

x2 y 2 (2) 已知椭圆具有性质:若 M , N 是椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上关于原点对称的两个点,点 P a b
是椭圆上任意一点,且直线 PM , PN 的斜率都存在,并记为 kPM , kPN ,那么 k PM 与 k PN 的乘积是与 P 点

x2 y 2 位置无关的定值。试对双曲线 2 ? 2 ? 1 写出类似的性质,并加以证明。 a b

变式:1.(2013 年上海青浦区一模 22) (本题满分 16 分) 本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分,第 3 小题满分 2 分.

第 19 页 共 19 页

设直线 L1:y ? k1 x ? p 交椭圆 ?: 2 ?

x2 a

y2 ? 1 (a ? b ? 0) 于 C、D 两点,交直线 L2:y ? k 2 x 于点 E . b2
b2 ; a2

(1)若 E 为 CD 的中点,求证: k1 ? k 2 ? ?

(2)写出上述命题的逆命题并证明此逆命题为真; (3)请你类比椭圆中(1)、(2)的结论,写出双曲线中类似性质的结论(不必证明).

2. AB, CD 是 ? O 的两条弦,直线 AB, CD 相交于点 P ,则 PA ? PB ? PC ? PD. 与椭圆进行类比: AB, CD 是椭圆

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的两条弦,直线 AB, CD 相交于点 P ,且 a 2 b2

直线 AB与CD 的倾斜角互补,则 PA ? PB ? PC ? PD.

十五、向量以及极坐标与圆锥曲线 (*)

第 20 页 共 20 页

【做】例 1.已知椭圆的焦点 F 1 ?1,0? , F 2 ? ?1,0? ,过 P ? 0, ? 作垂直于 y 轴的直线被椭圆所截线段长为

? ?

1? 2?

6 ,过 F1 作直线 l 与椭圆交于 A、B 两点.
(1)求椭圆的标准方程; (2)若 A 是椭圆与 y 轴负半轴的交点,求 ?PAB 的面积; (3)是否存在实数 t 使 PA ? PB ? tPF 1 ,若存在,求 t 的值和直线 l 的方程;若不存在,说明理由.
y
P

??? ? ??? ?

????

F2

O

F1

x

x2 y 2 例 2.已知椭圆 ? 的方程为 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) ,点 P 的坐标为( ? a, b ). a b
(1)若直角坐标平面上的点 M 、 A(0,?b), B(a,0) 满足 PM ?

1 ( PA ? PB) ,求点 M 的坐标; 2

[ 来源 :学. 科. 网]

(2)设直线 l1 : y ? k1 x ? p 交椭圆 ? 于 C 、 D 两点,交直线 l2 : y ? k2 x 于点 E .若 k1 ? k2 ? ?

b2 ,证明: a2

E 为 CD 的中点;
(理)(3)对于椭圆 ? 上的点 Q(a cos? , b sin ? ) (0 ? ? ? ? ) ,如果椭圆 ? 上存在不同的两个交点 P1 、

P2 满足 PP 1 、 P2 的步骤,并求出使 P 1 、 P2 存在的 ? 的取值范围. 1 ? PP 2 ? PQ ,写出求作点 P
(文)(3)设点 P 在椭圆 ? 内且不在 x 轴上,如何构作过 PQ 中点 F 的直线 l ,使得 l 与椭圆 ? 的两个交

a ? 10 , b ? 5 ,点 P 的坐标是(-8,-1),若椭圆 ? 上 点 P1 、 P2 满足 PP 1 ? PP 2 ? PQ ?令
的点 P1 、 P2 满足 PP 1 、 P2 的坐标. 1 ? PP 2 ? PQ ,求点 P

??? ?

????

??? ?

??? ?

????

??? ?

例 3.(1)设椭圆 C1 :

x2 y2 9 y2 2 C 与双曲线 : ? ? 1 9 x ? ? 1 有相同的焦点 F1、F2 , M 是椭圆 C1 与 2 8 a2 b2
y
第 21 页 共 21 页

双曲线 C2 的公共点,且 ?MF1F2 的周长为 6 ,求椭圆 C1 的方程; 我们把具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆” .

(2)如图,已知“盾圆 D ”的方程为 y ? ?
2

(0 ? x ? 3) ? 4x .设“盾圆 D ” ? ? 12( x ? 4) (3 ? x ? 4)

上的任意一点 M 到 F ? 1, 0 ? 的距离为 d1 , M 到直线 l : x ? 3 的距离为 d 2 , 求证: d1 ? d 2 为定值;
2 (3)由抛物线弧 E1 : y = 4 x ( 0 ? x ?

2 2 x2 y2 )与第(1)小题椭圆弧 E2 : 2 ? 2 ? 1( ? x ? a ) 3 3 a b

所合成的封闭曲线为“盾圆 E ” . 设过点 F ? 1, 0 ? 的直线与“盾圆 E ”交于 A、B 两点,

| FA |? r1 , | FB |? r2 且 ?AFx ? ? ( 0 ? ? ? ? ),试用 cos ? 表示 r1 ;并求

r1 的取值范围. r2

十五、其他题型

第 22 页 共 22 页

一、探索性问题
1.(松江区 2013 届高三一模 理科)14.定义变换 T 将平面内的点 P( x, y )( x ? 0, y ? 0) 变换到平面内的 点 Q( x ,

x y y ) .若曲线 C0 : ? ? 1( x ? 0, y ? 0) 经变换 T 后得到曲线 C1 ,曲线 C1 经变换 T 后得到曲线 4 2

C 2 ? ,依次类推,曲线 Cn ?1 经变换 T 后得到曲线 C n ,当 n ? N * 时,记曲线 C n 与 x 、 y 轴正半轴的交点
为 An (an ,0) 和 Bn (0, bn ) .某同学研究后认为曲线 C n 具有如下性质: ①对任意的 n ? N ,曲线 C n 都关于原点对称;
*

②对任意的 n ? N ,曲线 C n 恒过点 (0, 2) ;
*

③对任意的 n ? N ,曲线 C n 均在矩形 OAn Dn Bn (含边界)的内部,其中 Dn 的坐标为 Dn (an , bn ) ;
*

④记矩形 OAn Dn Bn 的面积为 S n ,则 lim Sn ? 1
n??

其中所有正确结论的序号是



2.(2013 闸北二模 理 15(倒数第 3 题)) 和平面解析几何的观点相同,在空间中,空间曲面可以看作是适合某种条件的动点的轨迹.在空间 直角坐标系 O ? xyz 中,空间曲面的方程是一个三元方程 F ( x, y, z ) ? 0 . 设 F1 、 F 2 为空间中的两个定点, | F1 F2 |? 2c ? 0 ,我们将曲面 ? 定义为满足 | PF 1 | ? | PF2 |? 2a

(a ? c) 的动点 P 的轨迹.
(1)试建立一个适当的空间直角坐标系 O ? xyz ,求曲面 ? 的方程; (2)指出和证明曲面 ? 的对称性,并画出曲面 ? 的直观图.

二、新定义问题
1、(2011 上海高考理 23)(18 分)已知平面上的线段 l 及点 P ,在 l 上任取一点 Q ,线段 PQ 长度的

第 23 页 共 23 页

最小值称为点 P 到线段 l 的距离,记作 d ( P, l ) 。 ⑴ 求点 P (1,1) 到线段 l : x ? y ? 3 ? 0(3 ? x ? 5) 的距离 d ( P, l ) ; ⑵ 设 l 是长为 2 的线段,求点集 D ? {P | d ( P, l ) ? 1} 所表示图形的面积; ⑶ 写出到两条线段 l1 , l2 距离相等的点的集合 ? ? {P | d ( P, l1 ) ? d ( P, l2 )},其中 l1 ? AB, l2 ? CD ,

A, B, C , D 是下列三组点中的一组。对于下列三组点只需选做一种,满分分别是①2 分,②6 分,③8 分;
若选择了多于一种的情形,则按照序号较小的解答计分。 ① A(1,3), B(1,0), C (?1,3), D(?1,0) 。 ② A(1,3), B(1,0), C (?1,3), D(?1, ?2) 。 ③

A(0,1), B(0,0), C (0,0), D(2,0) 。

2、(2012.奉贤.文理.23.)出租车几何学是由十九世纪的赫尔曼 -闵可夫斯基所创立的。在出租车几何 学中,点还是形如

?x, y ? 的有序实数对,直线还是满足 ax ? by ? c ? 0 的所有 ?x, y ? 组成的图形,角度大

第 24 页 共 24 页

小的定义也和原来一样。直角坐标系内任意两点 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y 2 ? 定义它们之间的一种“距离”:

AB ? x1 ? x2 ? y1 ? y2 ,请解决以下问题:
1、(理)求线段 x ? y ? 2 ( x ? 0, y ? 0) 上一点 M ?x, y ? 的距离到原点 O?0,0? 的“距离”; (文)求点 A?1,3? 、 B?6,9? 的“距离” AB ; 2、(理)定义:“圆”是所有到定点“距离”为定值的点组成的图形, 求“圆周”上的所有点到点 Q?a, b ? 的“距离”均为 r 的“圆”方程; (文)求线段 x ? y ? 2 ( x ? 0, y ? 0) 上一点 M ?x, y ? 的距离到原点 O?0,0? 的“距离”; 3、(理)点 A?1,3? 、 B?6,9? ,写出线段 AB 的垂直平分线的轨迹方程并画出大致图像. (文)定义:“圆”是所有到定点“距离”为定值的点组成的图形,点 A?1,3? 、 B?6,9? , C ?1,9? ,求经 过这三个点确定的一个“圆”的方程,并画出大致图像; (说明所给图形小正方形的单位是 1)

y

y

C

?

?

B

? B

A

?

A

?

O

x

O

x

第 25 页 共 25 页


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