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课堂新坐标2014高考数学(理)二轮专题复习课时作业15


课时作业(十五)
A.内切 C.外切 B.相交 D.相离

直线与圆
)

1.圆(x+2)2+y2=4 与圆(x-2)2+(y-1)2=9 的位置关系为(

【解析】 两圆的圆心分别为(-2,0),(2,1),半径分别为 r=2,R=3,两圆 的圆心距离为 ?-2-2?2+?0-1?2= 17,则 R-r< 17<R+r,所以两圆相交. 【答案】 B

2. (2013· 广东高考)垂直于直线 y=x+1 且与圆 x2+y2=1 相切于第一象限的 直线方程是( ) B.x+y+1=0 D.x+y+ 2=0

A.x+y- 2=0 C.x+y-1=0

【解析】 与直线 y=x+1 垂直的直线方程可设为 x+y+b=0,由 x+y+b =0 与圆 x2+y2=1 相切, 可得 |b| =1, 故 b=± 2.因为直线与圆相切于第一 12+12

象限,故结合图形分析知 b=- 2,故直线方程为 x+y- 2=0,故选 A. 【答案】 A

3.(2013· 济南调研)已知圆(x-a)2+(y-b)2=r2 的圆心为抛物线 y2=4x 的焦 点,且与直线 3x+4y+2=0 相切,则该圆的方程为( 64 A.(x-1)2+y2=25 C.(x-1)2+y2=1 【解析】 64 B.x2+(y-1)2=25 D.x2+(y-1)2=1 )

因为抛物线 y2=4x 的焦点坐标为(1,0),

∴a=1,b=0. 又根据 r= |3×1+4×0+2| =1, 32+42

∴圆的方程为(x-1)2+y2=1. 【答案】 C

4.已知圆的方程为 x2+y2-6x-8y=0,设该圆中过点(3,5)的最长弦和最短 弦分别为 AC 和 BD,则四边形 ABCD 的面积是( )

A.10 6 C.30 6 【解析】

B.20 6 D.40 6 配方可得(x-3)2+(y-4)2=25,其圆心为 C(3,4),半径为 r=5,

则过点(3,5)的最长弦|AC|=2r=10, 最短弦|BD|=2 r2-12=4 6, 且有 AC⊥BD, 1 则四边形 ABCD 的面积为 S=2|AC|×|BD|=20 6. 【答案】 B

5. (2013· 江西高考)过点( 2, 0)引直线 l 与曲线 y= 1-x2相交于 A, B 两点, O 为坐标原点,当△AOB 的面积取最大值时,直线 l 的斜率等于( 3 A. 3 3 C.± 3 【解析】 3 B.- 3 D.- 3 由于 y= 1-x2,即 x2+y2=1(y≥0),直线 l 与 x2+y2=1(y≥0) )

1 1 交于 A,B 两点,如图所示,S△AOB=2· sin ∠AOB≤2,且当∠AOB=90° 时,S△
AOB 取得最大值,此时

2 AB= 2,点 O 到直线 l 的距离为 2 ,则∠OCB=30° ,所

3 以直线 l 的倾斜角为 150° ,则斜率为- 3 .

【答案】 二、填空题

B

6.(2013· 浙江高考)直线 y=2x+3 被圆 x2+y2-6x-8y=0 所截得的弦长等 于__________. 【解析】 圆的方程可化为(x-3)2+(y-4)2=25,故圆心为(3,4),半径 r= |2×3-4+3| = 5, 4+1

5.又直线方程为 2x-y+3=0,所以圆心到直线的距离为 d= 所以弦长为 2 【答案】 r2-d2=2× 25-5=2 20=4 4 5 5.

π? ? 0<θ<2?. 7.(2013· 湖北高考)已知圆 O:x2+y2=5,直线 l:xcos θ+ysin θ=1? ? ? 设圆 O 上到直线 l 的距离等于 1 的点的个数为 k,则 k=________. 【解析】 ∵圆心(0,0)到直线的距离为 1,又∵圆 O 的半径为 5,故圆上

有 4 个点符合条件. 【答案】 4

8. 设圆 x2+y2=2 的切线 l 与 x 轴的正半轴、 y 轴的正半轴分别交于点 A, B, 当|AB|取最小值时,切线 l 的方程为________. x y 【解析】 设切线 l 方程为a+b=1,因为 l 与圆相切,则圆心(0,0)到 l 的距 离 d= 2= 1 , 1 1 a2+b2

b2 a2? 1 1 1 ?1 1? ? ?a2+b2?=2?2+a2+b2?≥8. 即a2+b2=2,|AB|2=a2+b2=2(a2+b2)· ? ? ? ? 当且仅当 a=b 时等号成立,解得 a=b=2,所以 x+y=2. 【答案】 三、解答题 9.已知点 A(-3,0),B(3,0),动点 P 满足|PA|=2|PB|. (1)若点 P 的轨迹为曲线 C,求此曲线的方程; (2)若点 Q 在直线 l1:x+y+3=0 上,直线 l2 经过点 Q 且与曲线 C 只有一个 公共点 M,求|QM|的最小值. 【解】 (1)设点 P 的坐标为(x,y),且|PA|=2|PB|. x+y=2

则 ?x+3?2+y2=2 ?x-3?2+y2. 化简得曲线 C:(x-5)2+y2=16. (2)曲线 C 是以点(5,0)为圆心,4 为半径的圆,如图.

由直线 l2 是此圆的切线,连接 CQ, 则|QM|= |CQ|2-|CM|2= |CQ|2-16,

当 CQ ⊥ l1 时, |CQ| 取最小值, |CQ| = 32-16=4.

|5+3| = 4 2 ,此时 |QM| 的最小值为 2

10. 在平面直角坐标系 xOy 中, 曲线 y=x2-6x+1 与坐标轴的交点都在圆 C 上. (1)求圆 C 的方程; (2)若圆 C 与直线 x-y+a=0 交于 A,B 两点,且 OA⊥OB,求 a 的值. 【解】 (1)曲线 y=x2-6x+1 与 y 轴的交点为(0,1), 与 x 轴的交点为(3+2 2, 0),(3-2 2,0). 故可设 C 的圆心为(3,t),则有 32+(t-1)2=(2 2)2+t2,解得 t=1. 则圆 C 的半径为 32+?t-1?2=3. 所以圆 C 的方程为(x-3)2+(y-1)2=9. ?x-y+a=0, (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),其坐标满足方程组? 2 2 ??x-3? +?y-1? =9. 消去 y,得方程 2x2+(2a-8)x+a2-2a+1=0. 由已知可得,判别式 Δ=56-16a-4a2>0. ?8-2a?± 56-16a-4a2 因此 x1,2= , 4 a2-2a+1 从而 x1+x2=4-a,x1x2= .① 2 由于 OA⊥OB,可得 x1x2+y1y2=0. 又 y1=x1+a,y2=x2+a, 所以 2x1x2+a(x1+x2)+a2=0.② 由①②得 a=-1,满足 Δ>0,故 a=-1. 11. (2012· 福州模拟)已知过点 A(-1,0)的动直线 l 与圆 C:x2+(y-3)2=4 相交于 P,Q 两点,M 是 PQ 的中点,l 与直线 m:x+3y+6=0 相交于 N.

图 5-1-1 (1)求证:当 l 与 m 垂直时,l 必过圆心 C; (2)当|PQ|=2 3时,求直线 l 的方程; → → (3)探索AM· AN是否与直线 l 的倾斜角有关,若无关,请求出其值;若有关, 请说明理由. 【解】 (1)证明 1 ∵l 与 m 垂直,且 km=-3,∴kl=3,

故直线 l 的方程为 y=3(x+1),即 3x-y+3=0. ∵圆心坐标为(0,3)满足直线 l 方程, ∴当 l 与 m 垂直时,l 必过圆心 C. (2)当直线 l 与 x 轴垂直时,易知 x=-1 符合题意. 当直线 l 与 x 轴不垂直时, 设直线 l 的方程为 y=k(x+1),即 kx-y+k=0, ∵PQ=2 3,∴CM= 4-3=1, 则由 CM= |-k+3| 4 =1,得 k=3, 2 k +1

∴直线 l:4x-3y+4=0. 故直线 l 的方程为 x=-1 或 4x-3y+4=0. → → → → → → → → → → → (3)∵CM⊥MN,∴AM· AN=(AC+CM)· AN=AC· AN+CM· AN=AC· AN. → → 5 5 当 l 与 x 轴垂直时,易得 N(-1,-3),则AN=(0,-3),又AC=(1,3), → → → → ∴AM· AN=AC· AN=-5. 当 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y=k(x+1), → ?y=k?x+1?, -3k-6 -5k -5 -5k 则由? 得 N( , ),则AN=( , ), 1+3k 1+3k 1+3k 1+3k ?x+3y+6=0, → → → → -5 -15k ∴AM· AN=AC· AN= + =-5, 1+3k 1+3k → → → → 综上所述,AM· AN与直线 l 的斜率无关,且AM· AN=-5.


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