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安徽省江南十校2015届高三数学上学期期末试卷 文(含解析)


安徽省江南十校 2015 届高三上学期期末数学试卷(文科)
一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分) 1. (5 分)设 i 是虚数单位,若复数 x 满足 x(1﹣i)=i,则其虚部为() A. i B. ﹣ i C. ﹣ D.

2. (5 分)下列与抛物线 y= x 具有公共焦点的双曲线()

2

A. A、16y ﹣32x =1

2

2

B.



=1

C.

﹣y =1

2

D. x ﹣

2

=1

3. (5 分)已知 U 为全集,集合 A,B 如图所示,则(CUA)∪B()

A. {0,1,3}

B. {2,3,4}

C. {0,1,3,5}

D. {3.5}

4. (5 分)非零向量 , 满足| ﹣ |=| + |=2| |,则向量 ﹣ , 夹角的余弦值为() A. B. C. D. 1

5. (5 分)已知函数 f(x)=cosx,则它可以由 y=f′(x)的图象按照下列哪种交换得到() A. 向右平移 C. 向右平移 个单位 个单位 B. 向左平移 D. 向左平移 个单位 个单位

6. (5 分)数列{ncos(nπ )}的前 n 项和为 Sn, (n∈N ) ,则 S2015=() A. 2014 B. 2015 C. ﹣1008 D. ﹣1007

*

7. (5 分)设变量 x,y 满足约束条件

,若目标函数 z=ax+y 取最大值时最优解不

唯一,则 a 的值为()

-1-

A. ﹣1

B. 0

C. ﹣ 1 或 1

D. 1

8. (5 分)已知 l1:x+2y+1=0,l2:Ax+By+2=0(A,B∈{1,2,3,4}) ,则直线 l1 与 l2 不平行 的概率为() A. B. C. D.

9. (5 分)某几何体的三视图如图所示,则其表面积为()

A. 16+2

π

B. 24+2π

C. 5+2

π

D. 4+2(1+

)π

10. (5 分)已知函数 f(x)= A. (﹣∞,﹣3]∪[0,1) +∞) D. [﹣3,+∞)

,则不等式 f(x)﹣x≥0 的解集为() B. [﹣3,0] C. (﹣∞,﹣3]∪[0,

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在答题卡的相应位置) 11. (5 分)“手持技术和数学学科整合”是十二五重点研究课题,某县为调查研究数学教师 在教学中手持技术的使用情况,采用简单随机抽样的方法,从该县 180 名授课教师中抽取 20 名教师,调查他们在上学期的教学中使用手持技术的次数,结果用茎叶图表示,则据此可估 计上学期 180 名教师中使用次数落在[15,25)的人数为.

12. (5 分) 等差数列{an}中的 a1, a4027 是函数 f (x) =x ﹣2x ﹣x+1 的两个极值点, 则函数 y=sin (a2014x+ )是周期为.

3

2

13. (5 分)如图所示,若输入的 x=log43,程序框图(算法流程图)的输出结果为

-2-

14. (5 分)命题“存在 x>1,x +(m﹣2)x+3﹣m<0”为假命题,则 m 的取值范围是. 15. (5 分)关于函数 f(x)= (a>0,b>0)有下列命题:

2

①函数 f(x)的值域为(﹣∞,0)∪(0,+∞) ; ②直线 x=k(k∈R)与函数 f(x)图象有唯一交点; ③函数 y=f(x)+1 有两个零点; ④函数定义域为 D,则任意 x∈D,f(﹣x)=f(x) ; ⑤当 a=b=1 时,以点(0,1)为圆心病情与函数相切的圆的最小面积为 3π . 其中所有叙述正确的命题的序号是.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。解答 写在答题卡上的指定区域内) 16. (12 分)△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 =(2a﹣b﹣c,2a﹣b﹣c) , =(sinA+sinB,﹣sinC) ,若 ⊥ 且 sinB=2sinC. (Ⅰ)判断△ABC 的形状; (Ⅱ)求 cos(2B+ )的值.

17. (12 分)函数 f(x)=x +ax +bx+c(其中 a,b,c∈R) ,若 g(x)=f(x)+f′(x)为奇 函数,且 y=f(x)在(0,f(0) )处的切线与直线 x+y﹣2=0 垂直. (Ⅰ)求 a,b,c 的值; (Ⅱ)讨论 g(x)的单调性,并求 g(x)在[﹣1,3]上的最值. 18. (12 分)某公司生产部门调研发现,该公司第二、三季度的用电量与月份线性相关,数据 统计如表: 月份 4 5 6 7 8 9 用电量(千瓦时) 6 16 27 55 46 56 但核对电费报表时发现一组数据统计有误.

3

2

-3-

(Ⅰ)请画散点图,指出哪组数据有误,并说明理由; (Ⅱ)在排出有误数据后,求用电量与月份之间的回归直线方程 = x+ ,并预测统计有误那 个月份的用电量.

19. (13 分)设 O1,O2,…,On,…是坐标平面上圆心在 x 轴非负半轴上的一列圆(其中 O1 为 坐标原点) ,且圆 On 和圆 On+1 相外切,并均与直线 x+ y﹣2 =0 相切,记圆 On 的半径为 Rn. (Ⅰ)求圆 O1 的方程; (Ⅱ)求数列{Rn}的通项公式,并求数列{ Rn?log Rn}的前 n 项和 Sn.

20. (13 分)如图,△P′AB 是边长为 +1 的等边三角形,P′C=P′D= 沿边 CD 折起至 PCD 将四棱锥 P﹣ABCD,且 PC⊥BD. (Ⅰ)证明:BD⊥平面 PAC; (Ⅱ)求四棱锥 P﹣ABCD 的体积.

﹣1,现将△P′CD

21. (13 分)已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)左右焦点,上下顶点依次为 F1,F2,B1,B2,

若四边形 F1B1F2B2 的面积为 8,且椭圆的离心率为



-4-

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)已知点 M,N 在椭圆 C 上,若 M,F2,N 三点共线,且 求直线 MN 的方程. = +λ (λ ∈R) ,

安徽省江南十校 2015 届高三上学期期末数学试卷(文科) 参考答案与试题解析 一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分) 1. (5 分)设 i 是虚数单位,若复数 x 满足 x(1﹣i)=i,则其虚部为() A. i B. ﹣ i C. ﹣ D.

考点: 专题: 分析: 解答: ∴

复数代数形式的乘除运算. 数系的扩充和复数. 直接由复数代数形式的除法运算化简 x(1﹣i)=i,则其虚部可求. 解:∵x(1﹣i)=i, .

则其虚部为: . 故选:D. 点评: 本题考查了复数代数形式的乘除运算,是基础题.
2

2. (5 分)下列与抛物线 y= x 具有公共焦点的双曲线()

A. A、16y ﹣32x =1

2

2

B.



=1

C.

﹣y =1

2

D. x ﹣

2

=1

考点: 抛物线的简单性质;双曲线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 求出抛物线的焦点坐标以及双曲线的焦点坐标,判断即可.

-5-

解答: 解:抛物线 y= x 的焦点坐标(0,2) .焦点在 y 轴上,

2

双曲线



=1 的焦点坐标(0,±2) .

故选:B. 点评: 本题考查双曲线的焦点坐标的求法,抛物线的焦点坐标的求法,考查计算能力. 3. (5 分)已知 U 为全集,集合 A,B 如图所示,则(CUA)∪B()

A. {0,1,3}

B. {2,3,4}

C. {0,1,3,5}

D. {3.5}

考点: Venn 图表达集合的关系及运算. 专题: 集合. 分析: 根据 Venn 图,确定集合元素即可. 解答: 解:由 Venn 图可知,CUA={3,5},B={0,1,3}, 则(CUA)∪B={0,1,3,5}, 故选:C 点评: 本题主要考查集合的基本运算,比较基础.

4. (5 分)非零向量 , 满足| ﹣ |=| + |=2| |,则向量 ﹣ , 夹角的余弦值为() A. B. C. D. 1

考点: 数量积表示两个向量的夹角. 专题: 平面向量及应用. 分析: 先求出 =0,再根据向量的夹角公式计算即可

解答: 解:∵| ﹣ |=| + |=2| |, ∴ ∴ ﹣2 =0, ﹣ = + = +2 + =4 ,

∴( ﹣ )? =

设向量 ﹣ 与 夹角为 θ ,

-6-

∴cosθ =

=

= ,

故选:A 点评: 本题考查了向量的数量积,以及向量的夹角公式,属于基础题 5. (5 分)已知函数 f(x)=cosx,则它可以由 y=f′(x)的图象按照下列哪种交换得到() A. 向右平移 C. 向右平移 个单位 个单位 B. 向左平移 D. 向左平移 个单位 个单位

考点: 函数 y=Asin(ω x+φ )的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 由 y=f′(x)=﹣sinx=sin(﹣x)=cos(x+ 移 个单位可以得到函数 f(x)=cosx 的图象. ) ,可知把 y=f′(x)的图象向右平

解答: 解:∵f(x)=cosx, ∵y=f′(x)=﹣sinx=sin(﹣x)=cos(x+ ∴把 y=f′(x)的图象向右平移 )

个单位可以得到函数 f(x)=cosx 的图象,

故选:A. 点评: 本题主要考查诱导公式的应用,y=Asin(ω x+φ )的图象变化规律,属于基础题. 6. (5 分)数列{ncos(nπ )}的前 n 项和为 Sn, (n∈N ) ,则 S2015=() A. 2014 B. 2015 C. ﹣1008 D. ﹣1007 考点: 数列与三角函数的综合;数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由 f(n)=cosnπ 是以 T=2 为周期的周期函数可得数列每相邻四项的和,则答案可 求. 解答: 解:∵an=ncosnπ , 又∵f(n)=cosnπ 是以 T=2 为周期的周期函数 ∴a1+a2=﹣1+2=1 a3+a4=﹣3+4=1, a5+a6=1, a7+a8=1, … a2009+a2010+a2011+a2012=(0﹣2010+0+2012)=2, a2013+a2014+a2015=﹣2014. S2015=a1+a2+a3+a4+…+a2015 =(﹣1+2)+(﹣3+4)+…+(﹣2013+2014)﹣2015=﹣1008.
*

-7-

故选:C. 点评: 本题考查了三角函数的周期性,考查了数列的求和,关键是对规律的发现,是中档 题.

7. (5 分)设变量 x,y 满足约束条件

,若目标函数 z=ax+y 取最大值时最优解不

唯一,则 a 的值为() A. ﹣1 B. 0

C. ﹣ 1 或 1

D. 1

考点: 简单线性规划. 专题: 计算题;作图题;不等式的解法及应用. 分析: 由题意作出其平面区域,将 z=ax+y 化为 y=﹣ax+z,z 相当于直线 y=﹣ax+z 的纵截 距,由几何意义可得. 解答: 解:由题意作出其平面区域,

将 z=ax+y 化为 y=﹣ax+z,z 相当于直线 y=﹣ax+z 的纵截距, 则由目标函数 z=ax+y 取最大值时最优解不唯一知, y=﹣ax+z 与 y=4﹣x 重合, 故 a=1; 故选 D. 点评: 本题考查了简单线性规划,作图要细致认真,属于中档题. 8. (5 分)已知 l1:x+2y+1=0,l2:Ax+By+2=0(A,B∈{1,2,3,4}) ,则直线 l1 与 l2 不平行 的概率为() A. B. C. D.

考点: 古典概型及其概率计算公式. 专题: 概率与统计. 分析: 根据直线平行的条件得到,直线 l1 与 l2 平行种数,继而得到不平行的种数,再求出 所有的种数,根据概率公式计算即可 解答: 解:当直线 l1、l2 平行时有 B=2A 且 A≠2,有(1,2)一种,

-8-

而从{1,2,3,4}任选 2 个分给 A,B,共有 4×4=16 种, 故直线 l1 与 l2 不平行有 16﹣1=15 种, 故直线 l1 与 l2 不平行的概率为 ,

故选:A 点评: 本题以直线平行为载体,考查了古典概率的问题,属于基础题 9. (5 分)某几何体的三视图如图所示,则其表面积为()

A. 16+2

π

B. 24+2π

C. 5+2

π

D. 4+2(1+

)π

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 由已知的三视图可得:该几何体是一个正方体内挖去一个圆柱得到的组合体,求出 正方体的表面积,圆柱的侧面积和底面积,进而可得答案. 解答: 解:由已知的三视图可得:该几何体是一个正方体内挖去一个圆柱得到的组合体,

正方体的棱长为 2,故表面积为:6×2×2=24, 圆柱的底面直径为 2, 故底面半径为 1, 底面面积为: π, 底面周长为: 2π , 侧面面积为: 4π , 故组合体的表面积 S=24﹣2×π +4π =24+2π , 故选:B 点评: 本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积,解决本题的关键是得到该几何体的 形状.

-9-

10. (5 分)已知函数 f(x)= A. (﹣∞,﹣3]∪[0,1) +∞) D. [﹣3,+∞)

,则不等式 f(x)﹣x≥0 的解集为() B. [﹣3,0] C. (﹣∞,﹣3]∪[0,

考点: 其他不等式的解法. 专题: 计算题;函数的性质及应用;不等式的解法及应用. x 分析: 由 x<0 时,运用二次不等式的解法,求得 x 的范围;再由 x≥0 时,通过函数 y=e x ﹣1﹣x 的导数,判断单调性,即可得到 e ﹣1﹣x≥0 成立,则有 x≥0.再求并集即可得到解 集. 2 解答: 解:当 x<0 时,f(x)﹣x≥0 即为 x +3x≥0,解得,x≥0 或 x≤﹣3,则有 x≤﹣3; x 当 x≥0 时,f(x)﹣x≥0 即为 e ﹣1﹣x≥0, x x 由 y=e ﹣1﹣x 的导数为 y′=e ﹣1, x x 当 x≥0 时,y′≥0,则 y=e ﹣1﹣x 递增,即有 e ﹣1﹣x≥0 成立,则有 x≥0. 故不等式的解集为(﹣∞,﹣3]∪[0,+∞) . 故选:C. 点评: 本题考查分段函数的运用:解不等式,考查二次不等式的解法,考查导数的运用: 判断单调性,考查运算能力,属于中档题. 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在答题卡的相应位置) 11. (5 分)“手持技术和数学学科整合”是十二五重点研究课题,某县为调查研究数学教师 在教学中手持技术的使用情况,采用简单随机抽样的方法,从该县 180 名授课教师中抽取 20 名教师,调查他们在上学期的教学中使用手持技术的次数,结果用茎叶图表示,则据此可估 计上学期 180 名教师中使用次数落在[15,25)的人数为 63.

考点: 专题: 分析: 解答:

简单随机抽样. 概率与统计. 根据茎叶图以及简单抽样的性质进行求解即可. 解:由茎叶图可知样本中落在区间[15,25)上的频数为 7,从而 180 名教师中使用 人,

次数落在[15,25)的人数为 180×

故答案为:63 点评: 本题主要考查茎叶图的应用,比较基础. 12. (5 分) 等差数列{an}中的 a1, a4027 是函数 f (x) =x ﹣2x ﹣x+1 的两个极值点, 则函数 y=sin (a2014x+ )是周期为 3π .
3 2

考点: 数列与函数的综合;利用导数研究函数的极值.

- 10 -

专题: 导数的综合应用;等差数列与等比数列. 分析: 求出函数的导数, 利用极值点以及等差数列的性质求出 a2014 的值, 然后通过函数的周 期求解即可. 3 2 2 解答: 解:函数 f(x)=x ﹣2x ﹣x+1,导数 f′(x)=3x ﹣4x﹣1, 3 2 ∵a1,a4027 是函数 f(x)=x ﹣2x ﹣x+1 的两个极值点, 2 ∴a1,a4027 是 3x ﹣4x﹣1=0 的两个实数根, 则 =a1+a4027=2a2014,∴a2014= , 函数 y=sin(a2014x+ )=sin( x+ =3π . ) ,

所以函数的周期为:T=

故答案为:3π . 点评: 本题考查函数的极值的求法,等差数列的应用,三角函数的周期的求法,是难度不 大的综合题目. 13. (5 分)如图所示,若输入的 x=log43,程序框图(算法流程图)的输出结果为 8

考点: 程序框图. 专题: 算法和程序框图. 分析: 分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,得出循环中 x,y 的 对应关系,不满足判断框结束循环,推出结果. 解答: 解:∵0<log43<1, 则按照循环结构知 y= =2
3

=8



故答案为:8 . 点评: 本题考查循环结构框图的应用,注意判断框的条件的应用,考查计算能力,属于基 础题. 14. (5 分)命题“存在 x>1,x +(m﹣2)x+3﹣m<0”为假命题,则 m 的取值范围是[1,+∞) . 考点: 特称命题.
2

- 11 -

专题: 简易逻辑. 分析: 根据特称命题的性质建立不等式关系即可. 2 解答: 解:∵命题“存在 x>1,x +(m﹣2)x+3﹣m<0”为假命题, 2 ∴命题“任意 x>1,x +(m﹣2)x+3﹣m≥0”为真命题, 2 等价为(x﹣1) ﹣(x﹣1)+1+(x﹣1)m≥0, ∵x>1,∴x﹣1>0, 即 m≥﹣[(x﹣1)+ ∵﹣[(x﹣1)+ ]+1 ]+1 恒成立, =1﹣2=﹣1,当且仅当 x﹣1= ,即

x=2 时取等号, ∴m≥﹣1, 故答案为:[1,+∞) 点评: 本题主要考查含有量词的命题的应用,结合不等式恒成立,利用参数分类法利用基 本不等式的性质是解决本题的关键. 15. (5 分)关于函数 f(x)= (a>0,b>0)有下列命题:

①函数 f(x)的值域为(﹣∞,0)∪(0,+∞) ; ②直线 x=k(k∈R)与函数 f(x)图象有唯一交点; ③函数 y=f(x)+1 有两个零点; ④函数定义域为 D,则任意 x∈D,f(﹣x)=f(x) ; ⑤当 a=b=1 时,以点(0,1)为圆心病情与函数相切的圆的最小面积为 3π . 其中所有叙述正确的命题的序号是④⑤. 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据于函数 f(x)= (a>0,b>0) ,逐一分析函数的定义域,值域,零点个

数,奇偶性等性质,进而得到 5 个结论的真假,可得答案. 解答: 解:函数 f(x)= ﹣ ]∪(0,+∞) ,故①错误; 当 k=±a 时,直线 x=k(k∈R)的函数 f(x)图象无交点,故②错误; 令 f(x)+1=0,则|x|=a﹣b,若 a≤b,则方程无两解,即函数 y=f(x)+1 有无两个零点, 故③错误; 函数定义域为 D,则任意 x∈D,f(﹣x)= 当 a=b=1 时,f(x)= = =f(x) ,故④正确; (a>0,b>0)的定义域为{x|x≠±a},值域为: (﹣∞,

,则点(0,1)为圆心的圆与函数图象相切时,

若切点横坐标在(﹣1,1)之间,则半径为 2, 若切点横坐标在(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞) ,设其中一个切点坐标为(x, ) , (x>1)

- 12 -

则R=

2

=

≥3,

故半径最小值为 ,则圆的最小面积为 3π ,故⑤正确; 故所有叙述正确的命题的序号是④⑤, 故答案为:④⑤ 点评: 本题以命题的真假判断为载体,考查了函数的定义域,值域,零点个数,奇偶性等 性质,是函数图象和性质的综合应用,难度中档. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。解答 写在答题卡上的指定区域内) 16. (12 分)△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 =(2a﹣b﹣c,2a﹣b﹣c) , =(sinA+sinB,﹣sinC) ,若 ⊥ 且 sinB=2sinC. (Ⅰ)判断△ABC 的形状; (Ⅱ)求 cos(2B+ )的值.

考点: 三角形的形状判断;两角和与差的余弦函数. 专题: 三角函数的求值. 分析: (Ⅰ)利用向量的数量积的坐标运算及正弦定理可得 a= c,再由余弦定理可得

cosB=

=﹣ <0,从而可判断△ABC 为钝角三角形;

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,cosB=﹣ ,则 sinB= 角和的余弦即可求得 cos(2B+ )的值.

,利用二倍角公式可求得 cos2B 的值,再利用两

解答: 解: (Ⅰ)由 ⊥ 得: ? =0,即(2a﹣b﹣c) (sinA+sinB﹣sinC)=0,…1 分 由正弦定理得: (2a﹣b﹣c) (a+b﹣c)=0,…2 分 而 a+b﹣c>0,故 2a﹣b﹣c=0…3 分 又 sinB=2sinC 得:b=2c,因此 a= c…4 分

由于 cosB=

=﹣ <0,所以

,故△ABC 为钝角三角形…6 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,cosB=﹣ ,则 sinB=

…8 分

- 13 -

故 cos2B=2×(﹣ ) ﹣1=﹣ ,sin2B=2× 因此 cos(2B+ )=(﹣ )× ﹣(﹣

2

×(﹣ )=﹣ )× =

…10 分 …12 分

点评: 本题考查三角形形状的判断,考查两角和与差的余弦函数,考查数量积的坐标运算 与余弦定理的由于,考查运算求解能力,属于中档题. 17. (12 分)函数 f(x)=x +ax +bx+c(其中 a,b,c∈R) ,若 g(x)=f(x)+f′(x)为奇 函数,且 y=f(x)在(0,f(0) )处的切线与直线 x+y﹣2=0 垂直. (Ⅰ)求 a,b,c 的值; (Ⅱ)讨论 g(x)的单调性,并求 g(x)在[﹣1,3]上的最值. 考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;函数的最值及其几何意义;利用导数研究曲线上 某点切线方程. 专题: 函数的性质及应用;导数的概念及应用;导数的综合应用;不等式的解法及应用. 分析: (Ⅰ)求出导数,求得切线的斜率,再由两直线垂直的条件可得 b=1,由奇函数的定 义可得 a=﹣3,b+c=0,即可得到 a,b,c 的值; (Ⅱ)求出 g(x)的解析式,求出导数,令导数大于 0,得增区间,令导数小于 0,得减区间, 进而得到极小值,也为最小值,求出端点的函数值,即可得到最大值. 3 2 2 解答: 解: (Ⅰ)f(x)=x +ax +bx+c 的导数为 f′(x)=3x +2ax+b, g(x)=f(x)+f′(x)为奇函数, 3 2 即有 g(x)=x +(a+3)x +(2a+b)x+b+c 为奇函数, 即有 g(﹣x)=g(x) , 则 a=﹣3,b+c=0, y=f(x)在(0,f(0) )处的切线斜率为 k=b, 由于切线与直线 x+y﹣2=0 垂直, 即有 b=1,c=﹣1, 故 a=﹣3,b=1,c=﹣1; (Ⅱ)g(x)=x ﹣5x,g′(x)=3x ﹣5=3(x﹣ 令 g′(x)>0,可得 x> 令 g′(x)<0,可得﹣ 或 x<﹣ <x< . ) , ( ,+∞) , ,
3 2 3 2

) (x+

) ,

即有 g(x)的增区间为(﹣∞,﹣ 减区间为(﹣ x= , ) .

处,g(x)取得极小值,也为最小值,且为﹣



而 g(﹣1)=4,g(3)=12, 则 g(x)的最大值为 12. 故 g(x)在[﹣1,3]上的最小值为﹣ ,最大值为 12.

- 14 -

点评: 本题考查导数的运用:求切线方程和单调区间、极值和最值,主要考查导数的几何 意义和二次不等式的解法,考查运算能力,属于基础题. 18. (12 分)某公司生产部门调研发现,该公司第二、三季度的用电量与月份线性相关,数据 统计如表: 月份 4 5 6 7 8 9 用电量(千瓦时) 6 16 27 55 46 56 但核对电费报表时发现一组数据统计有误. (Ⅰ)请画散点图,指出哪组数据有误,并说明理由; (Ⅱ)在排出有误数据后,求用电量与月份之间的回归直线方程 = x+ ,并预测统计有误那 个月份的用电量.

考点: 线性回归方程. 专题: 应用题;概率与统计. 分析: (Ⅰ)散点图如图所示,因为供水量与月份线性相关,点(7,55)离其它点所在区 域较远,故(7,55)有误; (Ⅱ)求出 =6.4, =30.2,可得 b,a,可得用电量与月份之间的回归直线方程 = x+ ,x=7 时,即可预测统计有误那个月份的用电量. 解答: 解: (Ⅰ)散点图如图所示,因为供水量与月份线性相关,点(7,55)离其它点所

在区域较远,故(7,55)有误;

(Ⅱ) =6.4, =30.2,b= 9.98×6.4=﹣33.67, ∴y=9.98x﹣33.67, x=7 时,y=9.98×7﹣33.67=36.19

≈9.98,a=30.2﹣

- 15 -

点评: 本题考查回归直线方程,考查散点图,考查学生的计算能力,比较基础. 19. (13 分)设 O1,O2,…,On,…是坐标平面上圆心在 x 轴非负半轴上的一列圆(其中 O1 为 坐标原点) ,且圆 On 和圆 On+1 相外切,并均与直线 x+ y﹣2 =0 相切,记圆 On 的半径为 Rn. (Ⅰ)求圆 O1 的方程; (Ⅱ)求数列{Rn}的通项公式,并求数列{ Rn?log Rn}的前 n 项和 Sn.

考点: 数列与解析几何的综合. 专题: 计算题;等差数列与等比数列;直线与圆. 2 2 2 分析: (Ⅰ)设圆 O1 的方程为 x +y =R1 ,由直线和圆相切的条件 d=r,运用点到直线的距离 公式可得半径,即可得到圆的方程; (Ⅱ)设直线 x+ y﹣2 =0 与 x 轴相交于 A,直线与圆 On 切于点 Bn,与圆 On+1 切于点 Bn+1, 运用直角三角形的性质和两圆外切的条件可得数列{Rn}为首项为 , 公比是 的等比数列, 运

用等比数列的通项公式,以及数列求和的方法:错位相减法,即可求得前 n 项和 Sn. 2 2 2 解答: 解: (Ⅰ)设圆 O1 的方程为 x +y =R1 , 由直线和圆相切的条件可得 R1=
2 2

=



即圆 O1 的方程为 x +y =3; (Ⅱ)设直线 x+ y﹣2 =0 与 x 轴相交于 A, 直线与圆 On 切于点 Bn,与圆 On+1 切于点 Bn+1, 则 tan∠OnABn= ,即∠OnABn=30°,

则|OnA|=2|OnBn|=2Rn,|On+1A|=2Rn+1, 由于圆 On 和圆 On+1 相外切, 则|OnOn+1|=|OnA|﹣|On+1A|=2(Rn﹣Rn+1)=Rn+Rn+1, 则有 Rn+1= Rn, 即有数列{Rn}为首项为 ,公比是 的等比数列,

则 Rn=

?( )

n﹣1

=


- 16 -

记 bn=

Rn?

=( )
n﹣1

n﹣1

?(n﹣ )

=﹣(2n﹣3)?( )


2 n﹣1

Sn=﹣[﹣1+1× +3×( ) +…+(2n﹣3)?( )
2 3

],
n

Sn=﹣[﹣1× +1×( ) +3×( ) +…+(2n﹣3)?( ) ], 两式相减可得 Sn=﹣[﹣1+2× +2×( ) +…+2×( )
2 n﹣1

﹣(2n﹣3)?( ) ]

n

=1﹣2×

+(2n﹣3)?( ) =2n?( ) .

n

n

则有 Sn=n?( )

n﹣1



点评: 本题考查等比数列的通项公式和求和公式,以及数列的求和方法:错位相减法,同 时考查直线和相切的条件以及两圆相外切的条件,考查运算能力,属于中档题. 20. (13 分)如图,△P′AB 是边长为 +1 的等边三角形, P′C=P′D= 沿边 CD 折起至 PCD 将四棱锥 P﹣ABCD,且 PC⊥BD. (Ⅰ)证明:BD⊥平面 PAC; (Ⅱ)求四棱锥 P﹣ABCD 的体积. ﹣1,现将△P′CD

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面垂直的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (Ⅰ)根据正弦定理以及直线和平面垂直的判定定理即可证明 BD⊥平面 PAC; (Ⅱ) 求出四棱锥的高和底面积的大小, 结合四棱锥的体积公式即可求四棱锥 P﹣ABCD 的体积. 解答: 证明: (Ⅰ)连接 AC 交 BD 于 O, 在△ABC 中,BC= 2 2 2 则 AC =( ) +2 ﹣2× 即 AC= , 由正弦定理得 , , ,

即 sin∠CAB= 即∠CAB=45°, 同理得∠DBA=45°,



- 17 -

即∠AOB=90°, 即 BD⊥AC, ∵PC⊥BD,且 PC∩AC=C, 故 BD⊥平面 PAC; (Ⅱ)取 CD 中点 E,连接 OE,PE, ∵PD=PC,∴CD⊥PE, 而 AC=BD,AO=BO, 则 OC=OD, ∴CD⊥OE,即 CD⊥平面 POE, 从而 OP⊥CD, 由(Ⅰ)知,OP⊥BD,BD∩CD=D, 故 OP⊥平面 ABCD, 即棱锥 P﹣ABCD 的高为 OP. 在直角三角形 POC 中,OP= 则 则四棱锥 P﹣ABCD 的体积 V= , . = ,

点评: 本题主要考查空间四棱锥的体积的计算,以及空间直线和平面垂直的判断,考查学 生的计算和推理能力.

21. (13 分)已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)左右焦点,上下顶点依次为 F1,F2,B1,B2,

若四边形 F1B1F2B2 的面积为 8,且椭圆的离心率为 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;



(Ⅱ)已知点 M,N 在椭圆 C 上,若 M,F2,N 三点共线,且 求直线 MN 的方程.

=



(λ ∈R) ,

考点: 直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程.

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专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)利用参数 a,b,c 表示出四边形 F1B1F2B2 的面积. (2)以题意,可先给出点 M,N 的坐标,然后由题意列出关于点的坐标的方程组,解出点 M, N 的坐标,则非常可求. 解答: 解: (1)因为四边形 F1B1F2B2,所以 又 ,结合 a =b +c 解得
2 2 2

= .

,即 bc=4.

故椭圆 C 的方程为 (2)由已知得 F2(2,0) . 因为 M,F2,N 三点共线,且 所以 .





设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,则 所以(2﹣x1,﹣y2)=2(x2﹣1,y2) , 所以 ,即 ,



又 M,N 在椭圆 C 上,所以

,③

将①②代入③中的上式得 将④与③中的下一个式子联立解得

,④ .



,所以



故直线 MN 的方程为

,即



点评: 本题考查了椭圆的标准方程的求法以及直线与椭圆的位置关系的问题的解决方法, 属于中档题.

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