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江西省2009届高三数学下学期模拟试题分类汇编——立体几何


江西省 2009 届高三数学下学期模拟试题分类汇编——立体几何 珠海市第四中学 邱金龙
一、选择题 1、 (2009 南昌市一模)如图,在棱长为 4 的正方体

ABCD-A ' B ' C ' D ' 中,E、F 分别是 AD,
A ' D ' ,的中点,长为 2 的线段 MN 的一个
端点 M 在线段 EF 上运动,另一个端点 N 在 底面 A ' B ' C ' D ' 上运动,则线段 MN 的中 点 P 的轨迹(曲面)与二面角 A— A ' D ' 一

B ' 所围成的几何体的体积为( ? ? 4? 2? A. B. C. D. 3 6 3 3
C



2、 (2009 上高二中第十次月考)正三棱柱 ABC ? A1B1C1 的 棱长都为 2, E, F , G 为 AB, AA 1 , AC 1 1 的中点,则 B 1 F 与面 GEF 成角的正弦值 C1 5 3 G A. B. A1 5 6 C.

B1

3 3 10

D.

3 6 10

F A

C E B

A 二、填空题

1、 (2009 江西八校 4 月联考) 已知如图, 正方体 ABCD ? A 1B 1C1 D 1 的棱长为 3 ,以顶点 A 为球心, 2 为半径作一个球,则图中球面 与正方体的表面相交所得到的两段弧长之和等于 _________ .

5? 6
2、 (2009 吉安市一模)在体积为 4 3? 的球的表面上有 A、B、C 三点, AB ? 1, BC ?

2。

? A、C 两点的球面距离为 3 ? ,则 ?ABC ? ______________。 2 3
3、 (2009 上高二中第十次月考)如图,是将 ? B = 大小等于 ? 的二面角 B ? AC ? D , 若? ?[

? ,边长为 1 的菱形 ABCD 沿对角线 AC 折成 3

, ] , M , N 分别为 AC, BD 的中点,则下面的四种说法中: (需要给图) 3 3 D ① AC ? MN ; ② DM 与平面 ABC 所成的角是 ? ; A D 3 3 ; ③线段 MN 的最大值是 , 最小值是 4 4
·N B C A

? 2?

C

· M B

④当 ? ?

?
2

时, BC 与 AD 所成的角等于

? 2

其中正确的说法有 (填上所有正确说法的序号). ①③ 三、解答题 1、 ( 2009 江西八校 4 月联考)如图: ABCD 是菱形, SAD 是以 AD 为底边等腰三角形,

SA ? SD ? 39 , AD ? 2 3 ,且 S ? AD ? B 大小为120? , ?DAB ? 60? .
(1)求 S 到 ABCD 距离; (2)求二面角 A-SD-C 的大小; (3)求 SC 与平面 SAD 所成角大小. 方法 1: (1)过 S 作 SO ? ABCD , SE ? AD ,连 OE ∴ ?SEO ? 60
?

∴ SO ? 6 sin 60 ? 3 3
?

……4 分

(2) OE ? 3 , EB ? 3 ,∴ OABD 是平行四边形 故平面 SOC ? ABCD 过 A 作 AF ? OD , AN ? SD ,连 FN ∴ ?FNA 为平面 SOD 和

SAD 二面角平面角,而 AF ? 2 3 sin 60? ? 3 1 1 12 3 12 应用等面积: ? 39 ? AN ? ? 6 ? 2 3 , AN ? ? 2 2 39 13 AF 3 13 ∵ sin ?ANF ? , ? ? 12 AN 4 13 13 故题中二面角为 (? ? arcsin ……4 分 ) 4 (3)∵ BC ∥ SAD , C 到 SAD 距离为 B 到 SAD 距离
又∵ BC ? SE , BC ? BE ,∴ BC ? 平面 SEB ,∴ AD ? 平面 SEB
? ∴平面 SAD ? 平面 SBE ,只需 B 作 SE 垂直 BO1,BO1= 3 sin 60 ?

3 3 2

设线面角为 ? , sin ? ?

3 3 3 3 ? ∴ sin ? ? 2 ,故线面角为 arcsin 10 5 3 10
方法 2: (1)同上 (2)建立直角坐标系 平面 SDC 法向量为 n1 ? (1, 0, 0) ,

BO1 2 2 2 , SC ? SO ? OC ? 27 ? 48 ? 75 , SC ? 5 3 SC
……4 分

S (0, 0, 3 3) , D(0, 2 3, 0) , A(3,
设平面 SAD 法向量 n ? ( x0 , y0 , z 0 )

3, 0)

? 3x0 ? y 0 ? 3z 0 ? 0 ?SA ? n ? 0 ,取 z 0 ? 2 , y0 ? 3 , x0 ? ? 3 ? ? 2 y ? 3 z ? 0 ? 0 0 ?SD ? n ? 0
∴ n ? (? 3, 3, 2) ∴二面角为 (? ? arcsin (3)设线面角为 ? , sin ? ? ∴ ? ? arcsin ∴ cos? ?

n ? n1 | n | ? | n1 |

?

? 3 4

13 ) 4
SC ? n | SC | ? | n | ? (0, 4 3, ? 3 3 )(? 3, 3, 2) 5 3?4 ? 3 10

3 10

2、 (2009 吉安市一模)如图,在直四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AB ? BC ,

?ABC ? 60?, BB1 ? BC ? 2, M 为 BC 中点,点 N 在 CC1 上。
(1)试确定点 N 的位置,使 AB1 ? MN ; (2)当 AB1 ? MN 时,求二面角 M ? AB1 ? N 的正切值。 解:(1)连结 AM、AC、B1 M
? AM ? BC

AB ? BC
AM ? MN

?ABC ? 60? ? ?ABC 为正△ …1 分

?
面 ABCD ? 面 BCC1 B1

? MN ? 面 AB1 M ? MN ? B1 M 3 分
AB1 ? MN

? ?BB1 M ? ?NMC ?

NC BM 1 1 ? ? ? NC ? MC BB1 2 2

即点 N 的位置在线段 CC1 的四等分点且靠近 C 处 ………………………………………6 分 (2)过 M 作 ME ? AB1 于 E ,连 NE 由(1)知 MN ? 面 AB1 M ? NE ? AB1 (三垂线定理) ∴ ?MEN 为二面角 M ? AB1 ? N 的平面角……9 分

MN ? MC 2 ? CN 2 ?

5 2

AM ? 3

B1 M ? 5

AB1 ? 2 2
AM ? B1 M 30 ? AB1 4
MN 6 ? ME 3 6 3
………………………………………12 分

在 Rt?AB1 M 中, ME ?

在 Rt ?MEN 中, tan ?MEN ?

∴二面角 M ? AB1 ? N 的大小为 arctan

3、 (2009 南昌市一模)已知斜三棱柱 ABC —A 1 在底面 1B 1C1 , ?BCA ? 90 , AC ? BC ? 2 , A ABC 上的射影恰为 AC 的中点 D,又知 BA1 ? AC1 (I) 求证: AC1 ? 平面 A 1BC ; (Ⅱ)求 CC1 到平面 A 1 AB 的距离; (Ⅲ)求二面角 A ? A 1 B ? C 的大小. 解: (Ⅰ)因为 A1D ? 平面 ABC ,

ABC ,………1 分 所以平面 AAC 1 1C ? 平面
又 BC ? AC ,所以 BC ? 平面 AAC 1 1C , 得 BC ? AC1 ,又 BA1 ? AC1 ………2 分 所以 AC1 ? 平面 A 1BC ; ……………3 分 (Ⅱ) 因为 AC1 ? AC 所以四边形 AAC 1 , 1 1C 为菱形, 故 AA 1 ? AC ? 2 , 又 D 为 AC 中点,知 ?A 1 AC ? 60 ……………4 分 取 AA1 中 点 F , 则 AA1 ? 平 面 B C F , 从 而 平 面

A1 AB ? 平面 BCF ………………6 分 过 C 作 CH ? BF 于 H ,则 CH ? 面 A 1 AB ,
高三数学(理科) (模拟一)答案第 2 页 在 Rt ?BCF 中, BC ? 2, CF ? 3 ,故 CH ?

2 21 , 7

……………………………7 分

即 CC1 到平面 A 1 AB 的距离为 CH ?

2 21 . …………………………………………8 分 7

(Ⅲ)过 H 作 HG ? A1B 于 G ,连 CG ,则 CG ? A1B, 从而 ?CGH 为二面角 A ? A 1 B ? C 的平面角, ……………………………………9 分 在 Rt ?A ? BC ? 2 ,所以 CG ? 2, 1BC 中 AC 1 在 Rt ?CGH 中, sin ?CGH ?

CH 42 ? , ………………………………………11 分 CG 7

故二面角 A ? A 1 B ? C 的大小为 arcsin

42 . ………………………………………12 分 7

解法 2: (Ⅰ)如图,取 AB 的中点 E,则 DE//BC,因为 BC ? AC , 所以 DE ? AC , 又 A1D ? 平面 ABC, …………………1 分 以 DE, DC, DA 1 为 x, y , z 轴建立空间坐标系, 则 A(0, ?1,0), C (0,1,0), B(2,1,0),

A1 (0,0, t ), C1 (0, 2, t ), AC1 ? (0,3, t ), BA1 ? (?2, ?1, t ), ……………………2 分 ? CB, CB ? (2,0,0) 由 AC 1 1 ? CB ? 0, 知 AC 又 BA1 ? AC1 从而 AC1 ? 平面 A1BC; ……………3 分 2 (Ⅱ)由 AC 1 ? BA 1 ? ?3 ? t ? 0 ,得 t ? 3. ………4 分 设平面 A 1 AB 的法向量为 n ? ( x, y, z), AA 1 ? (0,1, 3), AB ? (2,2,0),
所以 ?

? ?n ? AA1 ? Y ? 3z ? 0 ? ?n ? AB ? 2 x ? 2 y ? 0

, 设 z ? 1, 则 n ?

?

3, ? 3,1 ……………………………7 分

?

所以点 C1 到平面 A 1 AB 的距离 d ?

| AC1 ? n | 2 21 ? . ………………………………8 分 7 |n|

(Ⅲ)再设平面 A 1BC 的法向量为 m ? ( x, y, z), CA 1 ? (0, ?1, 3), CB ? (2,0,0), 所以 ?

? ?m ? CA1 ? ? y ? 3z ? 0 ? ?m ? CB ? 2 x ? 0

, z ? 1, m(0, 3,1), …………………………………9 分

故 cos ? m, n ??

m?n 7 ? ? ,根据法向量的方向, 7 | m|?| n|

………………………11 分

可知二面角 A ? A 1 B ? C 的大小为 arccos

7 ………………………………………12 分 7

4、 (2009 上高二中第十次月考)如图,五面体 A ? BCC1B1 中, AB1 ? 4 .底 面 ABC 是正三角形, AB ? 2 .四边形 BCC1B1 是矩形,二面角

A ? BC ? C1 为直二面角.
(1) D 在 AC 上运动,当 D 在何处时,有 AB1 // 平面 BDC1 ,并 且说明理由; (2)当 AB1 // 平面 BDC1 时,求二面角 C ? BC1 ? D 的余弦值. 解:(1)当 D 为 AC 中点时,有 AB1 // 平面 BDC1 证明:连结 B1C 交

B1

C1

BC1 于 O ,连结 DO ∵四边形 BCC1B1 是矩形 ∴ O 为 B1C 中点又 D 为 AC 中点 , 从而 DO // AB1 ∵ AB1 ? 平面 BDC1 , DO ? 平面
BDC1 ∴ AB1 // 平面 BDC1 . . . . .4 分 ( 2 ) 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 B ? xyz 如 图 所 示 , 则

B D A

C

B(0, 0, 0)

,

A( 3,1,0)

,

C (0, 2,0)

,

D(

3 3 , , 0) 2 2

,

C1 (0,2,2 3)





BD ? (

3 3 , , 0) , BC1 ? (0, 2, 2 3) . 2 2
z

设 n1 ? ( x, y, z) 为平面 BDC1 的法向量,则有

? 3 3 ? x? y ?0 ? ? x ? 3z ,即 ? 令 z ?1 , 可得平面 BDC1 2 ? 2 ? ? y ? ? 3z ?2 y ? 2 3z ? 0 ? 的一个法向量为 n1 ? (3, ? 3,1) ,. .9 分 而平面 BCC1 的
一个法向量为 n2 ? (1,0,0) ∴ cos ? n1 , n2 ??

B1

C1

O

n1 ? n2 3 3 13 ∴ 二 面 角 ? ? 13 | n1 || n2 | 13

B
x

D A

Cy

3 13 C ? BC1 ? D 的余弦值为 12 分 13

5、 (2009 上饶市一模)如图:在各棱长均为 2 的三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AC1 ? 2 3 ,侧

? 底面 ABC , 面A 1 ACC1
(1)求棱 A1B1 与平面 AB1C 所成的角的大小; (2)已知 D 点满足 BD = BA + BC ,在直线 AA1 上是否 存在点 P,使 DP∥平面 AB1C ?若存在,确定 P 点的 位置,若不存在,请说明理由. 解法一: (1)

AC1 ? 2 3,??A1 AC ? 60 . 侧面 A1 ACC1 ?
于点 O, 则 AO 可得:AO ? 1, AO ? OB ? 3, AO=1, 1 ⊥平面 ABC , 1 -------2 分

底面 ABC , 作A O ? A C 1

BO ? AC.
以 O 为坐标原点,建立如图空间直角坐标系. 则 A ? 0, ?1, 0 ? , B

?

3, 0, 0 , A1 0, 0, 3 ,

? ?

?

C ? 0,1, 0 ? , B1

?

3,1, 3 . ? A1B1 ?

?

?

3,1, 0 , AB1 ?

?

?

3, 2, 3 , AC ? ? 0, 2, 0 ? .
-------4 分

?

设平面 AB1C 的法向量为 n ? ? x, y,1? ,由 ?

? ?n ? AB1 ? 0 ? ?n ? AC ? 0

,解得 n ? ? ?1, 0,1? ,

由 cos A1 B1 , n ? ?

6 4

得:棱 A1B1 与平面 AB1C 所成的角的大小为 arcsin

6 . ------6 分 4

(2)设存在点 P 符合,且点 P 坐标设为 P ? 0, y, z ? ,

------7 分

BD ? BA ? BC ? ?2 3, 0, 0 , ? D ? 3, 0, 0 . ? DP ?

?

?

?

?

?

3, y, z . 平面 AB1C 的法向量 n ? ? ?1, 0,1? ,又 DP∥平面 AB1C ,? DP ? n ? 0, 得
由 AP = ? AA1 得: ?

?

z ? 3,

?y ? 1 ? ? ? 3?? 3

? y ? 0,? P 0, 0, 3 . ------10 分

?

?

又 DP ? 平面 AB1C , 故存在点 P, 使 DP∥平面 AB1C , 其坐标为 0, 0, 3 , 恰好为 A 1 点.---12 分 Z Z A1 C1

?

?

A1 C1 z B1 B1 z z D . z C O Y .D A z C A O B z x 解法一 z M B 解法二 z z C ? B1M 2 ? CM 2 ? 6, ?ABM 中 , 得 解 法 二 ( 略 解 ) ( 1 ) 如 图 可 得 ; B1z z AM ? 7,? AB1 ? 10 z z AC ? 2,? AC ? B1C.? S?AB1C ? 6. 设 B 到平面 z AB1C 的距离是 d ,则有 z S?ABC B1M 6 z d= = -------3 分 2 S?AB1C z z z d 6 ? .设棱 AB 与平面 AB1C 所成的角的大小是 ? ,则 sin ? ? , -----5 分 z AB 4 z B z 6 . ---------6 分 又 AB // A 1C 所成的角的大小是 arcsin 1B 1 ,∴ A 1B 1 与平面 AB z B 4 z z (2) BD = BA + BC ,∴四边形 ABCD 是平行四边形 .∴ CD = BA = B1 A1 , -----8 分 z ∴ CDA 是平行四边形 . ∴ , A D // B C B z -------10 分 1 1 1 1 z 又 A1D ? 面 AB1C , B1C ? 面 AB1C z z ∴ A1D ∥平面 AB1C , 故存在点 P 即点 A 1 ,使 DP z ∥平面 AB1C . ----12 分 z z z z z

6、 (2009 江西师大附中等五所重点名校 4 月联考)如图,在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AB ? 侧 面 BB1C1C ,已知 BC ? 1, BB1 ? 2, ?BCC1 ? (Ⅰ)求证: C1 B ? 平面ABC ; (Ⅱ)试在棱 CC1 (不包含端点 C, C1 ) 上确定一点 E 的位置 , 使得

? 3
A A1

EA ? EB1 ;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,若 AB ? 2 ,求二面角 A ? EB1 ? A1 的 平面角的正切值. 证(Ⅰ)因为 AB ? 侧面 BB1C1C ,故 AB ? BC1 在 BC1C 中, BC ? 1, CC1 ? BB1 ? 2, ?BCC1 ?
C B B1 E C1

?
3

由余弦定理有

BC1 ? BC 2 ? CC12 ? 2 ? BC ? CC1 ? cos ?BCC1 ???? 1 ? 4 ? 2 ? 2 ? cos

?
3

? 3

BC 2 ? BC12 ? CC12 ?????????C1B ? BC BC AB ? B 且 AB, BC ? 平面 ABC 而 ? C1 B ? 平面ABC ……………… 4 分 (Ⅱ)由 EA ? EB1 , AB ? EB1 , AB AE ? A, AB, AE ? 平面ABE 从而 B1E ? 平面ABE 且 BE ? 平面ABE 故 BE ? B1E
故有 不妨设
CE ? x ,则 C1 E ? 2 ? x ,则 BE 2 ? 1 ? x 2 ? x

又 ?B1C1C ? ?

2 3

则 B1E 2 ? x2 ? 5x ? 7 从而 x ? 1或x ? 2 (舍去)

z

在 Rt BEB1 中有 x 2 ? 5 x ? 7 ? x 2 ? x ? 1 ? 4

A

A1

故 E 为 CC1 的中点时, EA ? EB1 ……………… 8 分

B 1 B(0,0,0), E(1 ? x), B1 (?1, 3,0), A(0,0, 2) 由 EA ? EB1 得 EA ? EB1 ? 0 2 1 3 1 3 ( x ? 1, ? x, 2)( x ? 2, 3 ? x,0) ? 0 C 2 2 2 2 E 即 x ? ? 1 1 3 3 ( x ? 1)( x ? 2) ? x? 3? x? ? 0 ? 2 2 2 ? 2 ? ? 2 x ?1 或 x ? 2 化简整理得 x ? 3x ? 2 ? 0 当 x ? 2 时 E 与 C1 重合不满足题意 当 x ? 1 时 E 为 CC1 的中点 故 E 为 CC1 的中点使 EA ? EB1 ……………… 8 分 (Ⅲ)取 EB1 的中点 D , A1 E 的中点 F , BB1 的中点 N , AB1 的中点 M 连 DF 则 DF // A1B1 ,连 DN 则 DN // BE ,连 MN 则 MN // A1 B1 连 MF 则 MF // BE ,且 MNDF 为矩形, MD // AE 又 A1B1 ? EB1 , BE ? EB1 故 ?MDF 为所求二面角的平面角……………… 10 分
在 Rt DFM 中, DF ?

法二:以 B 为原点 BC, BC1 , BA 为 x, y, z 轴,设 CE ? x ,则

B1

C1

y

1 2 A1 B1 ? ( ?BCE为正三角形) 2 2

A M

A1

1 1 1 MF ? BE ? CE ? 2 2 2

B

F N D B1

C

E

C1

1 2 ? tan ?MDF ? 2 ? ……………… 12 分 2 2 2 法二: 由已知 EA ? EB1 , B1 A1 ? EB1 , 所以二面角 A ? EB1 ? A1 的平面角 ? 的大小为向量 B1 A1 与
EA 的夹角……………… 10 分

3 1 , ? , 2) 2 2 EA ? B1 A1 2 2 ? ? tan ? ? 故 cos ? ? ……………… 12 分 2 3 EA ? B1 A1
因为 B1 A1 ? BA ? (0,0, 2)

EA ? (?

7、 (2009 鹰潭市一模)已知 PA⊥平面 ABCD,PA=AB=AD=2,AC 与 BD 交于 E 点, BD=2,BC=CD. (1)取 PD 中点 F,求证:PB∥平面 AFC; (2)求二面角 A-PB-E 的余弦值.

解法 1:(1)连结 EF, ∵AB=AD,BC=CD,AC=AC, ∴△ADC≌△ABC, ∴E 为 BD 中点, ∵F 为 PD 中点, ∴PB∥EF, ∴PB∥平面 ACF.5 分 (2)连结 PE, ∵PA=AB=AD=BD=2, ∴在等边三角形 ABD 中,中线 AE⊥BD, 又 PA⊥底面 ABCD,∴PA⊥BD, ∴BD⊥面 PAE, ∴平面 PAE⊥面 PBD. 过 A 作 AH⊥PE 于 H,则 AH⊥平面 PBD, 取 PB 中点 G,联结 AG、GH,则等腰三角形 PAB 中,AG⊥PB, ∵AH⊥PB,∴PB⊥平面 AGH,∴PB⊥GH, ∴∠AGH 是二面角 A-PB-E 的平面角.8 分 等腰直角三角形 PAB 中,AG= 2,等边三角形 ABD 中,AE= 3, 2 3 2 ∴Rt△PAE 中,AH= ,∴GH= , 7 7 2 7 1 GH 7 ∴cos∠AGH= = = = . AG 2 7 7 ∴二面角 A-PB-E 的余弦值为 7 .12 分 7

解法 2: 以 AC、AP 分别为 y、z 轴,A 为原点,建立如图所示空间直角坐标系, ∵PA=AB=AD=BD=2,BC=CD, ∴△ABC≌△ADC, ∴△ABD 是等边三角形,且 E 是 BD 中点,AC⊥BD.

则 A(0,0,0)、B(1, 3,0)、D(-1, 3,0)、E(0, 3,0)、P(0,0,2)、 1 3 F(- , ,1). 2 2 1 3 (1) PB =(1, 3,-2), FE =( , ,-1), 2 2 1 ∴ PB = FE , 2 ∴PB∥EF,∴PB∥平面 ACF.5 分 (2)设平面 PAB、PBE 的法向量分别为 n1=(x1,y1,0)、n2=(x2,y2,-1),则 n1、n2 的夹 角的补角就是二面角 A-PB-E 的平面角. ∵ AB =(1, 3,0), PB =(1, 3,-2), PE =(0, 3,-2),

? ?n2·PB =0 由 n1·AB =0 及? ? ?n2·PE =0

得 n1=(- 3,1,0),n2=(0,-

2 ,-1), 3

7 n 1· n2 cos〈n1,n2〉= =- , |n1|· |n2| 7 ∴二面角 A-PB-E 的余弦值为 7 .12 分 7

8、 (2009 重点中学联考盟校一模) 三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, 侧面 A 1 ACC1 是矩形,AA 1 ?2,

? 平面 ABC , ?ABC ? 600 ,P 是 B1C1 的中点, 平面 A 1 ACC1

AB ? 2
(1)求证: AB ? A 1A (2)求二面角 B1 ? AP ? A1 的正切值。 (1)证明:

面A1 ACC1 ? 面ABC

? ? AB ? 面ABC ? AB ? 面A1 ACC1 ? ?? ? ? AB ? A1 A 面A1 ACC1 面ABC ? AC ? A1 A ? 面A1 ACC1 ? ? AB ? AC ?
(2)

P 为 B1C1 中点, ?B1 A1P 为正三角形, B1 过 B1M ? A1P 作垂足 在 Rt ?B1 AC 1 中 ?A 1B 1C1 , M 作 为 M ,则 M 为 A 1P 的中点,由( 1 ) A 1 A ? 平面 A 1 ? 平面A 1 AP ,过 1B 1C1 , ? AA

MN ? AP 垂足为 N ,连,则 ?B1 NM 为二面角 B1 ? AP ? A1 的平面角

A1 B1 ? AB ? 2 ? B1M ? ? tan ?B1 NM ? B1M 3 2 ? MN 2

6 1 A P ? AA1 1 2 ?2 3 ,在Rt ?AA1P中,MN ? ? 1 ? ? ? 2 2 AP 2 3 6

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