当前位置:首页 >> 数学 >>

函数的单调性与最值教案


函数的单调性
适用学科 适用区域 知识点 教学目标
高中数学 河南省

适用年级 课时时长(分钟)

高中一年级 60

函数的单调性;函数单调性的应用。 使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念,初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明 函数单调性的方法.

教学重点 教学难点

函数单调性的概念、判断及证明. 归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性.

1

教学过程
一、课堂导入
北京的天气到 8 月中旬,平均气温、平均降雨量和平均降雨天数等均开始下降,比较适宜举办大型国际体育赛事. 下图是北京市某年 8 月 8 日一天 24 小时内气温随时间变化的曲线图.

问题:观察图形,能得到什么信息?

2

二、复习预习
1 分别作出函数 y=x+2,y=-x+2,y=x2,y= 的图象,并且观察自变量变化时,函数值有什么变化规律?

x

3

三、知识讲解
考点 1
函数单调性的定义: 如果函数 f(x)在某个区间上随自变量 x 的增大,y 也越来越大,我们说函数 f(x)在该区间上为增函数;如果函数 f(x) 在某个区间上随自变量 x 的增大,y 越来越小,我们说函数 f(x)在该区间上为减函数.

4

考点 2
函数的单调性与函数的最值 一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足: ①对于任意的 x∈I,都有 f(x)≥M; ②存在 x0∈I,使得 f(x0)=M. 那么,称 M 是函数 y=f(x)的最小值 ...

5

四、例题精析
例1 2 【题干】证明函数 f(x)=x+ 在( 2,+∞)上是增函数.

x

6

【答案】证明:任取 x1,x2∈(

2,+∞),且 x1<x2,设元

? ? 2? 2? ? ? ? ? x + x + f(x1)-f(x2)=? 1 -? 2 求差 ? x1? ? x2? ? ? ?2 2? ? ? =(x1-x2)+? - ? ?x1 x2? ? 2 ? 2(x2-x1) x1x2-2 ? ? =(x1-x2)+ =(x1-x2)?1- = ( x - x ) ,变形 1 2 x1x2? x1x2 x1x2 ? ? ∵ 2<x1<x2, ∴x1-x2<0,x1x2>2,∴f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2),断号 2 ∴函数 f(x)=x+ 在(

x

2,+∞)上是增函数. 2,+∞),且 x1<x2,设元 2? ?

【解析】证明:任取 x1,x2∈( ? ? ? 2? ? ?

f(x1)-f(x2)=?x1+ ?-?x2+ ?求差 x1? ? x2? ?
?2 2? ? ? =(x1-x2)+? - ? ?x1 x2? =(x1-x2)+ ? 2 ? 2(x2-x1) x1x2-2 ? ? =(x1-x2)?1- = ( x - x ) ,变形 1 2 ? x x x1x2 x x 1 2 1 2 ? ?
7



2<x1<x2,

∴x1-x2<0,x1x2>2,∴f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2),断号 2 ∴函数 f(x)=x+ 在(

x

2,+∞)上是增函数.

8

例2 【题干】求函数 y= 2 在区间[2,6]上的最大值和最小值.

x-1

9

【答案】∴当 x=2 时,函数 y= 当 x=6 时,函数 y= 2

2

x-1

在区间[2,6]上取得最大值 f(2)=2;

2 在区间[2,6]上取得最小值 f(6)= . x-1 5

【解析】设 2≤x1<x2≤6,则有

f(x1)-f(x2)=

2 2[(x2-1)-(x1-1)] 2(x2-x1) - = = . x1-1 x2-1 (x1-1)(x2-1) (x1-1)(x2-1) 2

∵2≤x1<x2≤6, ∴x2-x1>0,(x1-1)(x2-1)>0. ∴f(x1)>f(x2),即函数 y= ∴当 x=2 时,函数 y= 当 x=6 时,函数 y= 2

x-1

在区间[2,6]上是减函数.

2 2

x-1

在区间[2,6]上取得最大值 f(2)=2;

2 在区间[2,6]上取得最小值 f(6)= . x-1 5

10

例3 【题干】画出函数 y=-x2+2|x|+3 的图象,指出函数的单调区间和最大值.

11

【答案】函数的图象在区间(-∞,-1)和[0,1] 上是上升的,在[-1,0]和(1,+∞)上是下降的,最高点是(±1,4), 故函数在(-∞,-1),[0,1]上是增函数;函数在[-1,0],(1,+∞)上是减函数,最大值是 4. 【解析】函数图象如图 6 所示.

图6 由图象得,函数的图象在区间(-∞,-1)和[0,1] 上是上升的,在[-1,0]和(1,+∞)上是下降的,最高点是(±1,4), 故函数在(-∞,-1),[0,1]上是增函数;函数在[-1,0],(1,+∞)上是减函数,最大值是 4.

12

五、课堂运用
【基础】 1、把长为 12 厘米的细铁丝截成两段,各自围成一个正三角形,那么这两个正三角形面积之和的最小值是( A. 3 2 3cm2 B.4 cm2 C.3 2cm2 D.2 3cm2 )

13

【答案】D 【解析】设一个三角形的边长为 x cm,则另一个三角形的边长为(4-x) cm,两个三角形的面积和为 S,则 S= 3 4 (4-x)2= 3 2 (x-2)2+2 3≥2 3.当 x=2 时,S 取最小值 2 3cm2.故选 D. 3 4

x2+

14

2、 某超市为了获取最大利润做了一番试验, 若将进货单价为 8 元的商品按 10 元一件的价格出售时, 每天可销售 60 件, 现在采用提高销售价格减少进货量的办法增加利润,已知这种商品每涨 1 元,其销售量就要减少 10 件,问该商品售价 定为多少时才能赚取最大利润,并求出最大利润.

15

【答案】售价定为 12 元时可获最大利润 160 元. 【解析】设商品售价定为 x 元时,利润为 y 元,则 y=(x-8)[60-(x -10)·10] =-10[(x-12)2-16]=-10(x-12)2+160(10<x<16), 当且仅当 x=12 时,y 有最大值 160 元, 即售价定为 12 元时可获最大利润 160 元.

16

【巩固】 1、证明函数 f(x)=x2-4x-1 在[2,+∞)上是增函数.

17

【答案】证明:设 x1,x2 是区间[2,+∞)上的任意两个实数,且 x2>x1≥2,则

f(x 1) -f(x2)[来源:学科网]
= (x12 ? 4x1 ?1) ? (x22 ? 4x2 ?1) = x12 ? x22 ? 4x1 +4x2 =(x1-x2)(x1+x2)-4(x1-x2)[=(x1-x2)(x1+x2-4). ∵x2>x1≥2,∴x 1-x2<0,x1+x2>4, 即 x1+x2-4>0,∴f(x1)-f(x2)<0, 即 f(x1)<f(x2).[来源:学,科,网 Z,X,X,K] ∴函数 f(x)=x2-4x-1 在[2,+∞)上是增函数. 【解析】证明:设 x1,x2 是区间[2,+∞)上的任意两个实数,且 x2>x1≥2,则

f(x 1) -f(x2)[来源:学科网]
= (x12 ? 4x1 ?1) ? (x22 ? 4x2 ?1) = x12 ? x22 ? 4x1 +4x2 =(x1-x2)(x1+x2)-4(x1-x2)[=(x1-x2)(x1+x2-4). ∵x2>x1≥2,∴x 1-x2<0,x1+x2>4, 即 x1+x2-4>0,∴f(x1)-f(x2)<0, 即 f(x1)<f(x2).[来源:学,科,网 Z,X,X,K] ∴函数 f(x)=x2-4x-1 在[2,+∞)上是增函数.

18

2、已知函数 f ( x ) ?

x ?1 ,x∈[1,3],求函数的最大值和最小值. x ?1

19

x ?1 在区间[1,3]的两个端点处分别取得最小值与最大值,即在 x=1 时取得最小值,最小值是 0; x ?1 1 在 x=3 时取得最大值,最大值是 2 x ?1 x ?1? 2 2 ? =1 ? 【解析】 f ( x) ? . x ?1 x ?1 x ?1 2 2 设 x1,x2 是区间[1,3]上的任意两个实数 ,且 x1<x2,则 f(x1)-f(x2)= 1 ? [来源:Z,xx,k.Com] ? 1+ x1 ? 1 x2 ? 1 2( x1 ? 1) ? 2( x2 ? 1) 2 2 = ? ? x2 ? 1 x1 ? 1 ( x1 ? 1)( x2 ? 1) 2( x1 ? x2 ) = . ( x1 ? 1)( x2 ? 1)

【答案】函数 f ( x ) ?

由 1≤x1<x2≤3,得 x1-x 2<0,(x1+1)(x2+1)>0, 于是 f(x1)-f(x2)<0, 即 f(x1)<f(x2). 所以,函数 f ( x ) ? 因此,函数 f ( x ) ?
x ?1 是区间[1,3]上的增函数. x ?1

x ?1 在区间[1,3]的两个端点处分别取得最小值与最大值,即在 x=1 时取得最小值,最小值是 0;在 x x ?1 1 =3 时取得最大值,最大值是 . 2

20

【拔高】 1、已知函数 f(x)=ax2-2ax+2+b(a≠0)在[2 ,3]上有最大值 5 和最小值 2 ,求 a,b 的值.

21

?a ? 1, ?a ? ?1, 【答案】 ? 或? ?b ? 0 ?b ? 3.
【解析】f(x)=ax2-2ax+2+b=a(x-1)2+2+b-a 的对称轴方程是 x=1. (1)当 a>0 时,f(x)在[2,3]上是增函数.[来源:Zxxk.Com] ? f (2) ? 2, ?2 ? b ? 2, ∴? 即? ? f (3) ? 5 ?3a ? 2 ? b ? 5, ?a ? 1, 解得 ? ?b ? 0. (2)当 a<0 时,f(x)在[2,3]上是减函数, ? f (2) ? 5, ?2 ? b ? 5, ∴? 即? f (3) ? 2, ?3a ? 2 ? b ? 2, ? ?a ? ?1, 解得 ? ?b ? 3. ?a ? 1, ?a ? ?1, 综上所述, ? 或? b ? 0 ? ?b ? 3.

22

2、求函数 y=

1

x2+x+1

的最大值.

23

【答案】函数 y=

4 的最大值是 x2+x+1 3

1

【解析】函数的定义域是 R, 1 1 可以证明当 x<- 时,函数 y= 2 是增函数; 2 x +x+1 1 1 当 x≥- 时,函数 y= 2 是减函数. 2 x +x+1 1 1 4 则当 x=- 时,函数 y= 2 取最大值 , 2 x +x+1 3 即函数 y= 4 的最大值是 x2+x+1 3 1

24

课程小结
1、函数单调性的证明 2、求函数最值的方法: ①图象法,②单调法,③判别式法;

25


赞助商链接
相关文章:
高一数学《函数的单调性与最值》第二课时教案
高一数学《函数的单调性与最值》第二课时教案 - 1 函数的单调性与最值 学习目标: 1. 使学生理解函数的最值是在整个定义域上来研究的,它是函数单调性的应用...
《函数的基本性质──单调性与最值》教学设计
函数的基本性质──单调性与最值教学设计一、内容和内容解析 函数思想是贯穿高中数学的一根主线, 函数的基本性质又是函数一章的重点内容。 一方 面,它是对...
函数的单调性与最大(小)值教案doc
函数的单调性与最大(小)值教案doc - 1.3.1 单调性与最大(小)值(2) 金沙县第一中学数学组 课题名称 课型 新授课 教学时间 教学目标 《单调性与最大(小...
人教版高中数学《函数的单调性与最值》全国一等奖教学...
人教版高中数学《函数的单调性与最值》全国一等奖教学设计 - 1.3.1 函数的单调性与最大(小)值(第一课时) 教学设计 一、 教学内容解析: (1)教学内容的内涵...
导数与函数的单调性、极值、最值 教学设计
导数与函数的单调性、极值、最值 教学设计 - 课题:导数与函数的单调性、极值、最值 科目: 数学 提供者:段秀香 教学对象:高三 单位:静海第六中学 课时第 1 ...
函数的单调性与极值教案
函数的单调性与极值教案 - 函数的单调性与极值教案 目的要求 1.理解并掌握函数最大值与最小值的意义及其求法. 2.弄清函数极值与最值的区别与联系. 3.养成“...
单调性与最大(小)值教学设计_图文
附件: 教学设计方案模板 教学设计方案 课题名称:单调性与最大(小)值 姓名: ...教学内容分析 在研究函数的性质时,单调性和最值是一个重要内容.实际上,在初中...
高中数学教案(3.1 函数单调性与最值 第1课时)
高中数学教案(3.1 函数单调性与最值 第1课时)_高一数学_数学_高中教育_教育专区。高中数学教案,函数的最值与单调性 1.3 函数的基本性质 1.3.1 单调性与最...
函数的单调性与最值教案
函数的单调性与最值教案_数学_高中教育_教育专区。函数的单调性与最值一、函数单调性的定义 增函数 减函数 定义 设函数 f(x)的定义域为 I, 如果对于定义域 ...
单调性与最值教案(打印)
单调性与最值教案(打印)_数学_高中教育_教育专区。1.3.1 函数的单调性与最大(小)值一、教学重点:函数的单调性、最大(小)值及其几何意义, 二、教学难点:...
更多相关文章: