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必修4平面向量zst


必修 4 平面向量
一.基本概念 1.向量: 2.平行向量: 3.相等向量: a ? b ? 4.两个非零向量 a 、 b 的夹角:作 5.坐标表示: i 、 j 分别是 则 叫做 a 的坐标。 . .

?

?

;相反向量: a ? ?b ? =a ;

?

?

?

?

=b ; ,若 a ?

?

叫做 a 与 b 的夹角。

?

?

?

?

?

?

6.向量 a 在 b 方向上的投影:设 ? 为 a 、 b 的夹角,则 一. 基本运算: 运算 加法 向量形式 三角形法则(作图): 坐标形式: a ? ?x1 , y1 ? ; b ? ?x2 , y2 ?

?

?

?

?

? ? a +b =

AB ? BC ?
平行四边形法则(作图):

AB ? AD ?
减法 作图:

? ? a -b =

AB ? AC ?
数乘

?a 是一个
方向:

?

, ?a ?

?

?a ?

?

数量积

? ? a ·b =

? ? a ·b =

三、基本定理、公式: 1. 平面向量基本定理:若 e1 与 e2

?

?

,则对平面内的任意一个向量 a ,

?



对实数 ?1 、 ?2 ;使得 a ? ____________________ 2. 向量的模: a =

?

?





? ? a 与 b 夹角: cos ? ? _________ = _____________
3. 向量平行: a ∥ b ? _________________ 向量垂直: a ⊥ b ? _________________ 4. 中点坐标公式:_________________ 四、复习题 1、在下列命题中,正确命题的个数为 .
?

? ?

? ?

? __________________ ; ? _________________

a =0;③( a · b ) c = a ( b · c ) ①a · 0 = 0 ;②0·
④ a ? b ? a ? b ,则 b ? 0 ;⑤ a · b - b · a = 0 ; ⑥ a ? b ? c ? 1 ,且 a ∥ b , b ∥ c ,则 a 与 c 是模相等且同向或反向的两个向量
? ? ?
? ? ? ? ? ?
?

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?

?

?

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?

b =0,则 a 与 b 中至少有一个为 0 ; ⑦ a·
2、化简下列各式:(1) ( AB ? CD) - ( AC ? BD) = (2) MN ? MP - QN ? QM = ; ; .

? ?

?

?

(3)OA ? OC ? BO ? CO ? BA =

(4) ( AB ? MB) + ( BO ? BC ) + OM =__________ 3.已知平面内三点 A(-1,0),B(x,6),P(3,4),且 AP = ? PB ,x 和 ? 的值分别 为( ) B.5,2 C.-7,
? ??
? ??

A.-7,2

2 5

D.5, . . )

2 5

4、向量 a , b 满足 a ? 6 , b ? 10 ,则 a ? b 的取值范围是 5、已知 a ? 6 , b ? 8 , a ? b ? 10,则 a ? b ?

6、已知 a ? e1 + e2 , b ? 2 e1 - e2 ,则向量 a +2 b 与 2 a - b (

A、一定共线 C、仅当 e1 与 e2 共线时共线

B、一定不共线 D、仅当 e1 = e2 时共线

7、已知 OA = e1 , OB = e2 ,且 OA ? OB ? 1 .∠AOB= 120 ? ,又 OC ? 5 , 且 OC 平分∠AOB,用 e1 , e2 表示 OC = 8、已知 ? ABC顶点A(―1, ? 为__________ 9.已知 O(0,0)和 A(6,3)两点,若点 P 在直线 OA 上,且 PA ? 2OP ,又 P 是线段 OB 的中点,则点 B 的坐标是 10、已知 .

1 1 ),B(2,3)及重心坐标G(1, ),则顶点C的坐标 2 2

a ? 2, b ? 3 ,且 a ? b ? 4 ,则向量 b 在向量 a 上的投影为
?

. .

11、已知| a |=3,| b |=4,且| a - b |= 37 ,则 a 与 b 的夹角为 12.已知| a |=| b |, a A.1 B.-1
?

?

?

?

?

?

?

?

? b ,且( a + b ) ? (k a - b ),则 k 的值是( )
C.0 D.-2

?

?

?

?

?

13.已知 a ? (1, 2), b ? (1,1) ,且 a 与 a ? ? b 的夹角为锐角,则实数 ? 的取值范围 为_____________________ 14、?ABC 的三个内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c , 已知 sin B ? 1 , 向量 p ? (a,b) ,

2 ) .若 p // q ,则 ?C 角的大小为( q ? ( 1,




? 6



? 3



? 2



2? 3

15、已知点O(0,0),A(1,2),B(4,5), P 为一动点,及 OP ? OA ? t AB , (1)t 为何值时,P 在 x 轴上?P 在 y 轴上?P 在第二象限? (2)四边形OABP能否成为平行四边形?若能,求出相应的t值;若不能,请说明理由。
? ??
?

16.在四边形 ABCD 中,AD‖BC,AC ? BD,已知 AB =6 i + j , BC =x
CD =-2 i -3
? ??

?

? ??

?

i +y j ,

?

?

?

j ,( i , j 分别是 x,y 轴方向上的单位向量),求 x,y(x,y? R)的值.
ABCD 中,点 M 是 AB 的中点,点 N 在 BD 上,且 BN=
D

?

?

17、如图,

1 BD,求证:M、 3
C N

N、C 三点共线.

A

M

B

18.已知点 A(4,1),B( ? 2,7),P 是直线 AB 是一点,且 | AP |? 2 | PB | ,求 P 的坐标。

19. 已知: a 、 b 、 c 是同一平面内的三个向量,其中 a =(1,2) (1)若| c |=2 (2)若| b |=
?

?

?

?

?

?

5 ,且 c ‖ a

?

?

,求 c 的坐标

?

? ? ? 5 ? ? ? ,且 a +2 b 与 2 a - b 垂直,求 a 与 b 的夹角 ? . 2

20.已知向量 a ? (cos

3x 3x x x ? ?? ,sin ) , b ? (cos , ? sin ) ,且 x ? ?0, ? 2 2 2 2 ? 2?

(1)求 a · b 及 a ? b ;
3 (2)若 f ( x) ? a ? b ? 2? a ? b 的最小值为 ? ,求 ? 的值 2

参考答案
一、基本概念: 1、向量:既有大小又有方向的量叫向量. 2.平行向量:若非零向量 a, b 方向相同或相反,则 a // b ;规定零向量与任一向量平行 3、向量相等: a ? b ? 模相等,方向相同;相反向量: a ? ?b ? 模相等,方向相反 4、两个非零向量 a 、 b 的夹角:做 OA = a ; OB = b ; ?AOB 叫做 a 与 b 的夹角。 5、坐标表示: i 、 j 分别是与 x 轴、 y 轴同向的单位向量,若 a ? xi ? y j ,则 ? x, y ? 叫做

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

a 的坐标。
6.向量 a 在 b 方向上的投影:设 ? 为 a 、 b 的夹角,则 a cos ? 为 a 在 b 方向上的投影 二、基本运算: 运算 加法 向量形式 三角形法则(作图): A C B 坐标形式: a ? ?x1 , y1 ? ; b ? ?x2 , y2 ?

?

?

?

?

?

? ? a + b = ?x1 ? x2 , y1 ? y2 ?

AB ? BC ? AC
平行四边形法则(作图): D A B C

AB ? AD ? AC
减法 作图: A C B

? ? a - b = ?x1 ? x2 , y1 ? y2 ?

AB ? AC ? CB
数乘

? ? ?a 是一个向量, ?a ? | ? || a |
方向: ? ? 0 时,与 a 同向; ? ? 0 时,与

?a ? ??x1 , ?y1 ?

?

a 反向; ? ? 0 时, ? a ? 0
数量积

? ? a · b = | a || b | cos?

? ? a · b = x1 x2 ? y1 y2

三、基本定理、公式:

1、平面向量基本定理:若 e1 与 e2 不共线,则对平面内的任意一个向量 a ,有且只有一对 实数 ?1 、 ?2 ;使得 a ?

?

?

?

?

?1 e1 ? ?2 e2 。

2 2 2、向量的模: a = a ? a = x ? y ;

?

非零向量 a 与 b 的夹角: cos ? ?

?

?

a ?b | a || b |

?

x1 x 2 ? y1 y 2 x1 ? y1
2 2

x2 ? y 2

2

2

3、向量平行: a ∥ b ? a ? ? b ? x1 y 2 ? x2 y1 ; 向量垂直: a ⊥ b ? a ? b ? 0 ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0

?

?

?

?

x ? x2 ? x? 1 ? ? 2 4、中点坐标公式: ? ; ? y ? y1 ? y 2 ? 2 ?
四、复习题 1、2; 3、B; 7、 5e1 ? 5e2 ; 11、120°; 2、(1) 0 ; (2) PM ; (3) 0 ; 4、[4,16]; 8、(2,-1); 12、A; 5、10; 9、(4,2); (4) AC ; 6、C; 10、2; 14、A

13、 ? ? ? 且? ? 0 ;

5 3

15、(1)设P(x,y),则(x,y)=(3t+1,3t+2)

2 1 t ? ? 时,P 在 x 轴上; t ? ? 时,P 在 y 轴上; 3 3
当 P 在第二象限时, ?

?3t ? 1 ? 0 2 1 ?? ?t ?? 3 3 ?3t ? 2 ? 0

(2)若四边形 OABP 为平行四边形,则 OP ? AB ? (3,3) ,又 OP ? OA ? t AB , 即(3,3)=(3t+1,3t+2),? ? 16、

?3t ? 2 ,矛盾;所以四边形 OABP 不能为平行四边形 ?3t ? 1

?? ?

AB ? (6,1), BC ? ( x, y ), CD ? (?2, ?3)

? AC ? (6 ? x,1 ? y ), AD ? ( x ? 4, y ? 2), BD ? ( x ? 2, y ? 3) AC ? BD ? (6 ? x)( x ? 2) ? (1 ? y )( y ? 3) ? 0 AD // BC ? ( x ? 4) y ? x( y ? 2) ? 0 ?x ? 2 ? x ? ?6 ?? ,或 ? y ? ? 1 ? ?y ? 3

17、

设 AB ? a, AD ? b 1 MC ? MB ? BC ? a ? b 2 1 1 1 1 1 1 1 MN ? MB ? BN ? a ? BD ? a ? (b ? a) ? a ? b ? MC 2 3 2 3 6 3 3 ? MC // MN 又有公共点M , ? M 、N、C三点共线
18、P(0,5)或 P(-8,13)
2 2 19. (1)设 c =(x,y),则| c |=2 5 = x ? y ,

?

?

又 c ‖ a ,则 2x=y

?

?

? x ? 2 ? x ? ?2 ?? 或? ? y ? 4 ? y ? ?4 ?c ? (2, 4)或c ? (-2,-4)
(2) a +2 b 与 2 a - b 垂直
?
?

?

?

? (a ? 2b)(2a ? b) ? 2 a ? 3a b ? 2 b ? 0
∵| b |=
?

2

2

5 ? ,a 2
? 5 2

? 5 ,? a b ? ?

5 2
?

5 2 20. (1)? a b ? cos 2 x , a ? b = 2 cos x 5?
(2) ? =
1 2

? cos ? ?

? ?1

∴ a 与 b 的夹角 ? 为 135°

?


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