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平面向量与解析几何的综合运用


平面向量与解析几何的综合运用
数学组 施冬芳

由于向量既能体现“形”的直观位置特征,又具有“数”的良好运算性质, 是数形结合与转换的桥梁和纽带。而解析几何也具有数形结合与转换的特征,所 以在向量与解析几何知识的交汇处设计试题, 已逐渐成为高考命题的一个新的亮 点。近几年全国各地的高考试题中,向量与解析结合的综合问题时有出现。但从 最近教学情况来看, 学生对这一类问题的掌握不到位,在试卷上经常出现进退两 难的境地,因此,就这一问题做一归纳总结和反思。 平面向量与解析几何的结合通常涉及到夹角、平行、垂直、共线、轨迹等问 题的处理,解决此类问题基本思路是将几何问题坐标化、符号化、数量化,从而 将推理转化为运算; 或者考虑向量运算的几何意义,利用其几何意义解决有关问 题。主要包括以下三种题型: 1、运用向量共线的充要条件处理解几中有关平行、共线等问题 运用向量共线的充要条件来处理解几中有关平行、共线等问题思路清晰,易于操 作,比用斜率或定比分点公式研究这类问题要简捷的多。 例 1. (全国卷Ⅰ))已知椭圆的中心为坐标原点 O,焦点在 x 轴上,斜率为 1 且过椭圆右焦 点 F 的直线交椭圆于 A、B 两点, OA ? OB 与 a ? (3, ?1) 共线。
(Ⅰ)求椭圆的离心率; (Ⅱ)设 M 为椭圆上任意一点,且 OM ? ?OA ? ?OB (?, ? ? R) ,证明 ?2 ? ? 2 为定值。 解:设椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0), F (c,0) a2 b2

x2 y2 则直线 AB 的方程为 y ? x ? c ,代入 2 ? 2 ? 1 ,化简得 a b 2 2 2 2 2 2 2 2 (a ? b ) x ? 2a cx ? a c ? a b ? 0 .
a 2c a 2 c 2 ? a 2b 2 令 A( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y 2 ) ,则 x1 ? x2 ? 2 , x1 x2 ? . 2 2 a ?b a 2 ? b2

由 OA ? OB ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ), a ? (3, ?1), OA ? OB 与 a 共线,得

3( y1 ? y2 ) ? ( x1 ? x2 ) ? 0, 又 y1 ? x1 ? c, y 2 ? x2 ? c , 3 ? 3( x1 ? x 2 ? 2c) ? ( x1 ? x 2 ) ? 0, ? x1 ? x 2 ? c. 2


2a 2 c 3c ? ,所以 a 2 ? 3b 2 . 2 2 2 a ?b

?c ? a2 ? b2 ?

6a , 3

故离心率 e ?

c 6 ? . a 3
2 2

x2 y2 2 2 2 (II)证明: (1)知 a ? 3b ,所以椭圆 2 ? 2 ? 1 可化为 x ? 3 y ? 3b . a b 设 OM ? ( x, y) ,由已知得 ( x, y) ? ? ( x1 , y1 ) ? ? ( x2 , y2 ),

? x ? ?x1 ? ?x 2 , ? M ( x, y ) 在椭圆上,? (?x1 ? ?x2 ) 2 ? 3(?y1 ? ?y2 ) 2 ? 3b 2 . ?? y ? ? x ? ? x . 1 2 ?

2 2 2 即 ?2 ( x1 ? 3 y12 ) ? ? 2 ( x2 ? 3 y2 ) ? 2?? ( x1 x2 ? 3 y1 y2 ) ? 3b 2 . ①

由(1)知 x1 ? x 2 ?

3c 2 3 2 2 1 2 , a ? c ,b ? c . 2 2 2 2 2 2 2 a c ?a b 3 x1 x 2 ? ? c2 2 2 8 a ?b x1 x 2 ? 3 y1 y 2 ? x1 x 2 ? 3( x1 ? c)(x 2 ? c)

? 4 x1 x 2 ? 3( x1 ? x 2 )c ? 3c 2 3 2 9 2 c ? c ? 3c 2 2 2 ? 0. ?
2 2 2 2 2 2 2 又 x2 1 ?3 y1 ? 3b , x2 ? 3 y 2 ? 3b ,代入①得 ? ? ? ? 1. 故 ?2 ? ? 2 为定值,定值为 1.

例 2(天津卷)椭圆的中心是原点 O,它的短轴长为 2 2 ,相应于焦点 F(c, 0) (c>0)的准线 l 与 x 轴相交于点 A, OF ? 2 FA. 过点 A 的直线与椭圆相交于 P、 Q 两点。 (Ⅰ)求椭圆的方程及离心率; (Ⅱ)若 OP ? OQ ? 0, ,求直线 PQ 的方程; (Ⅲ)设 AP ? ? AQ(? ? 1) ,过点 P 且平行于准线 l 的直线与椭圆相交于另一点 M,证明: FM ? ?? FQ. [简解] (Ⅰ) 椭圆方程为 ( Ⅲ ) [ 证 明 ]
x2 y2 6 ? ? 1 ,离心率 e ? . 6 2 3

(Ⅱ)略.

设 P ( x1,y1 ) ,Q (x2,y2), 又 A ( 3 , 0 ),

AP ? ( x1 ? 3, y1 ), AQ ? ( x2 ? 3, y2 ) 由已知得方程组:
2 2 x12 y12 x2 y2 ? ? 1; ? ? 1. x1 ? 3 ? ? ( x2 ? 3), y1 ? ?y 2 ; 6 2 6 2

注意λ >1,消去 x1、y1 和 y2 得 5? ? 1 x2 ? . 因 F(2 , 0), M(x1,-y1) , 2? 1? ? ? ?1 ,? y1 ) ? ?? ( , y 2 ). 故 FM ? ( x1 ? 2,? y1 ) ? (? ( x 2 ? 3) ? 1,? y1 ) ? ( 2 2? ? ?1 , y 2 ). 而 FQ ? ( x 2 ? 2, y 2 ) ? ( 2? 所以

FM ? ?? FQ .

2.运用向量的数量积处理解几中有关长度、角度、垂直等问题;运用向量的 数量积,可以把有关的长度、角度、垂直等几何关系迅速转化为数量关系,从而 “计算”出所要求的结果。

例 3. (重庆卷)设 p>0 是一常数,过点 Q(2p,0)的直线与抛物线 y2=2px 交于相异两点 A、B,以线段 AB 为直径作圆 H(H 为圆心) ,试证明抛物 线顶点在圆 H 的圆周上;并求圆 H 的面积最小时直线 AB 的方程。 [分析] 要证点 O 在圆 H 上,只要证 OA⊥OB,可转化 为向量运算 OA · (见图 1) OB =0,用向量运算的方法证明. [解答] 由题意,直线 AB 不能是水平线,故可设直线方 程为:ky=x-2p 又设 A(xA,yA),B(xB,yB), 则其坐标满足 ky=x-2p y =2px 由此得
2

消去 x,得 y2-2pky-4p2=0

y A ? y B ? 2 pk

( y A yB )2 xA+xB=4p+k (yA+yB) =(4+2k )p , xAxB= =4P2 2 (2 p)
2

y A y B ? ?4 p 2

因此 OA · OB =xAxB+yAyB=0,即 OA⊥OB 故 O 必在圆 H 的圆周上。 又由题意圆心 H(xH , yH)是 AB 的中点,故

xH ?
yH ?

xA ? xB ? (2 ? k 2 )p 2
y A ? yB ? kp 2

2 2 ? yH 由前已证,OH 应是圆 H 的半径,且 OH = x H = p k 4 ? 5k 2 ? 4

从而当 k=0 时,圆 H 的半径最小,亦使圆 H 的面积最小。 此时,直线 AB 的方程为:x=2p. 3、运用平面向量综合知识,探求动点轨迹方程,还可再进一步探求曲线的 性质。 例 4. (全国新课程卷) 平面直角坐标系中, O 为坐标原点, 已知两点 A(3, 1), B(-1, 3), 若点 C 满足 OC ? ?OA ? ?OB ,其中 ? , ? ∈R 且 ? + ? =1,则点 C 的轨迹方程为( ). [分析] 本题主要考查向量的运算(几何形式或坐标形式)及直线的方程, 把向量联系起来,使问题立意更新,情景更好,内容更丰富。 [解法 1] 设 C(x, y),则 ∴ x=3 ? - ? , y= ? +3 ? . x=4 ? -1, ∴ (x, y)=(3 ? , ? )+(- ? , 3 ? )=(3 ? - ? , ? +3 ? ), 又 α +β =1

y=-2 ? +3. 消去参数 ? ,得点 C 的轨迹方程为 x+2y-5=0. [解法 2] 利用向量的几何运算, 考虑定比分点公式的向量形式, 结合条件知: A,B,C 三点共线,故点 C 的轨迹方程即为直线 AB 的方程 x+2y-5=0,故本 题应选 D. 从上述几例可以看出, 只要对于解析几何中图形的位置关系和数量关系进行 认真分析,充分挖掘问题的向量背景,注意运用曲线参数方程的点化作用,就完 全有可能获得一个漂亮的向量解法。 随着新教材的逐步推广、使用,今后高考对新增内容的考查会逐渐加大,综 合性会更强。 作为新课程新增内容之一的向量具有数形兼备的特点,成为了作为 联系众多知识的桥梁。因此,向量与三角、解析几何、立体几何的交汇是当今高 考命题的必然趋势,所以必须非常重视对向量的复习与演练,直至达到深刻理解、 运用熟练的境地。

对“导数的应用”的教学反思
数学组 施冬芳

新教材引进导数之后, 无疑为中学数学注入了新的活力, 它在函数的单调性、 极值、 最值等方面有着广泛的应用, 还可以证明不等式, 求曲线的切线方程等等。 导数的应用一直是高考试题的重点和热点之一。 本文对几类常见问题进行剖析和 探究。
? 问题⑴:若 x0 为函数 f(x)的极值点,则 f ( x0 ) = 0 吗?

答:不一定,缺少一个条件(可导函数)。 反例:函数

y? x

? 在 x ? 0 处有极小值,而 f ( x0 ) 不存在。

? 正确的命题是:若 x0 为可导函数 f(x)的极值点,则 f ( x0 ) = 0 ? 问题⑵:若 f ( x0 ) = 0,
答:不一定。
3 反例:函数 y ? x 有 f ?(0) = 0,而 f(x) 在 x ? 0 处没有极值。

则函数 f(x)在 x0 处一定有极值吗?

? 正确的命题是:若 f ( x0 ) = 0,且函数 f(x)在 x0 处两侧的导数值符号相反,则函
数 f(x)在 x0 处有极值. 问题⑶:在区间 (a, b) 上的可导函数 f(x), f ?( x) >0 是函数 f(x)在该区间上为增 函数的充要条件吗? 答:不一定。反例:函数 y ? x
3

在 (??, ? ?) 上为增函数,而 f ?(0) = 0。

正确的命题是:(函数单调性的充分条件) 在区间 (a, b) 上, f ?( x) >0 是 f(x) 在该区间上为增函数的充分而不必要条件. (函数单调性的必要条件)函数 f(x)在某区间上可导,且单调递增,则在该区 间内 f ?( x) ? 0。 另外,中学课本上函数单调性的概念与高等数学(数学分析)上函数单调性的概 念不一致。数学分析上函数单调性的概念有严格单调与不严格单调之分。 问题⑷:单调区间 (a, b) 应写成开区间还是写成闭区间? 答: 若端点属于定义域,则写成开区间或闭区间都可以。若端点不属于定义域, 则只能写成开区间。 问题⑸:“曲线在点 P 处的切线”与“曲线过点 P 的切线”有区别吗?

1 8 f ( x) ? x 3 3 上一点 P(2, 3 ). 求点 P 处的切线方程。大多数 例 1 已知曲线

学生能迅速找到解题思路,并得到正确结果: 12x ? 3 y ? 16 ? 0 .
f ( x) ?

变式 已知曲线 解

8 1 3 x 3 上一点 P(2, 3 )。求过点 P 的切线方程。

设 切 点 为

Q ( x0 , f ( x0 )) , 则 切 线 ? 又点 P 在切线上,
2

的 方 程 为

y ? f ?x0 ? ? f ??x0 ?( x ? x0 )
8 1 3 2 ?2 ? x0 ? ? x0 ? x0 3 3 所以

整理,得 ?x0 ? 2? ?x0 ? 1? ? 0

所以 x0 ? ?1, x0 ? 2

于是 切线 ? 的方程为 12x ? 3 y ? 16 ? 0 , 3x ? 3 y ? 2 ? 0 .

小结:“曲线在点 P 处的切线”只有一条,且 P 为切点;“曲线过点 P 处的切 线”有两条,P 不一定是切点。在高三数学复习中,用好课本,尤其是课本例题更 为重要, 能总结出一些有规律性的东西,可使学生在复习时既有熟悉感又有新奇 感,从而提高认识的深度。 问题 6:忽视函数的定义域,容易致错,也给解题带来很大困难。 例2
2 求函数 f ?x? ? 2 x ? ln x 的单调递增区间。

错解:

f ?? x ? ?

?2 x ? 1??2 x ? 1?
x

f ??x? ? 0

?

x?2 x ? 1??2x ? 1? ? 0
? 1 ? ?1 ? ? ? ,0 ? ? ,?? ? ?。 所以 单调递增区间是 ? 2 ? 和 ? 2

? 1 ? ?1 ? x ? ? ? ,0 ? ? ? ,?? ? ? 2 ? ?2 ? 所以

?2 x ? 1?
正解: 因定义域为 x ? 0 , 于是 f ??x? ? 0 所以
x

是正数

? 2x ? 1 ? 0

?1 ? ? 2 ,?? ? ?。 所以 单调递增区间是 ?

评注:这种类型的题目在高三总复习中常常见到,也是学生常犯的错误之一。 函数的单调性是函数性质的核心,是高考必考内容,强调求函数的单调区间时, 不忘求定义域,还要先求定义域,从而达到化繁为简,事半功倍的效果。 问题⑼:用导数解含参数的函数在某区间上的单调性问题 例3
3 2 若函数 f ?x? ? x ? ax ? 1 在 ?0,2? 内单调递减,则实数 a 的取值范围为

错解:

f ??x ? ? 3x 2 ? 2ax

3 2 因为 f ?x? ? x ? ax ? 1 在 ?0,2? 内单调递减,所以

f ??x? ? 0

在 ?0,2? 上恒成立,即

a?

3 x 2 恒成立。因此 a ? 3 。

2 3 2 正 解 : f ??x ? ? 3x ? 2ax 因 为 f ?x? ? x ? ax ? 1 在 ?0,2? 内 单 调 递 减 , 所 以

f ??x? ? 0

在 ?0,2? 上恒成立 ,即

a?

3 x 2 恒成立。因此 a ? 3

评注:这种类型的题目是高考试题的重点和热点,也是学生常见的错误之一。出 错的原因在于没有搞清楚函数单调性的充分条件与必要条件之间的关系; 没有正 确理解函数单调性的充分条件”的含义。 经探讨得到以下结论: 一般地,设函数 y ? f ?x ? 在某个区间内可导,则

f ??x? ? 0 ,且方程 f ??x? ? 0 的解是离散的
件;

是 f(x)在该区间上为增函数的充要条 是 f(x)在该区间上为减函数的

f ??x? ? 0 ,且方程 f ??x? ? 0 的解是离散的

充要条件. 对上述 “方程 f ??x? ? 0 的解是离散的”, 笔者认为:部分教师讲 f ?? x ? 不 恒等于零; 有的教辅资料著函数 f ?x ? 在个别点的导数等于零,这些讲法都欠妥, 换言之,方程 f ??x? ? 0 的解是离散的才恰到好处。 另外,一般的,在高考试题 中考查含参数的函数在某区间上的单调性问题, 不会存在使方程 f ??x? ? 0 在某个 区间内有连续解的情况。


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