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三角函数中的和差化积与积化和差

和差化积:
sin α +sinβ =2sin[(α +β )/2]·cos[(α -β )/2] sin α -sin β =2cos[(α +β )/2]·sin[(α -β )/2] cos α +cos β =2cos[(α +β )/2]·cos[(α -β )/2] cos α -cos β =-2sin[(α +β )/2]·sin[(α -β )/2] 【注意右式前的负号】 以上四组公式可以由积化和差公式推导得到 正切的和差化积 tanα ±tanβ =sin(α ±β )/(cosα ·cosβ )(附证明) cotα ±cotβ =sin(β ±α )/(sinα ·sinβ ) tanα +cotβ =cos(α -β )/(cosα ·sinβ ) tanα -cotβ =-cos(α +β )/(cosα ·sinβ ) 证明:左边=tanα ±tanβ =sinα /cosα ±sinβ /cosβ =(sinα ·cosβ ±cosα ·sinβ )/(cos α ·cosβ ) =sin(α ±β )/(cosα ·cosβ )=右边 ∴等式成立

积化和差:
sinα sinβ =-[cos(α +β )-cos(α -β )]/2【注意右式前的负号】 cosα cosβ =[cos(α +β )+cos(α -β )]/2 sinα cosβ =[sin(α +β )+sin(α -β )]/2 cosα sinβ =[sin(α +β )-sin(α -β )]/2 作用 积化和差公式可以将两个三角函数值的积化为另两个三角函数值的和乘以常数的形式, 所以使用积化和差公式可以达到降次的效果。


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