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2012优化方案高考数学(理)总复习(北师大版)第6章§6.5


§6.5 合情推理与演绎推理

§ 6.5 合 情 推 理 与 演 绎 推 理

双基研习?面对高考

考点探究?挑战高考

考向瞭望?把脉高考

双基研习?面对高考

基础梳理 1.归纳推理 部分事物 具有某种属性,推断该 根据一类事物中__________ 每一个 都具有这种属性的推理,叫作归 类事物中________ 纳推理.归纳推理是由部分到______ 整体 ,由个别到 一般 的推理. ______ 归纳推理的一般步骤: 相同属性 ; (1)通过观察个别情况发现某些___________ (2)从已知的相同属性中推出一个明确表述的 一般性命题 . ___________

2.类比推理 (1)根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致) 性质,推测其中一类事物具有另一类事物 类似(或相同) 的性质的推理,叫作类比推理(简 _______________ 称类比). 类比推理的一般步骤: 相似性或一致性 ; ①找出两类事物之间的________________ 另一类事物的性质 , ②用一类事物的性质去推测__________________ 得出一个明确的命题. 可能为真 的推理,叫作 (2)前提为真时,结论____________ 合情推理. 归纳推理和类比推理是数学中常用的合情推理.

思考感悟 别是什么?

1.归纳推理与类比推理的相同点与区

提示:两种推理的相同点与区别:类比推理和归 纳推理的结论都是有待于证明的.归纳推理是由 特殊到一般的推理,类比推理是由特殊到特殊的

推理.

3.演绎推理 一般性的原理出发,推出某个特 (1)演绎推理:从____________ 殊情况下的结论,我们把这种推理称为演绎推理, 一般 到_______ 特殊 的推 简言之,演绎推理是由_______ 理. 三段论 : (2)演绎推理的一般模式——“__________” 大前提 ——已知的一般原理; ①_________ 小前提 ——所研究的特殊情况; ②________ ③结论——根据一般原理,对特殊情况作出的判 断.

思考感悟

2.演绎推理所获得的结论一定可靠吗?

提示:演绎推理是由一般性的命题推出特殊性命题 的一种推理模式,是一种必然性推理.演绎推理的

前提与结论之间有蕴含关系,因而,只要前提是真
实的,推理的形式是正确的,那么结论必定是真实

的,但是错误的前提可能导致错误的结论.

课前热身
1.观察下式:1=12 ,2+3+4=32 , 3+4+5+6 +7=52 , 4+5+6+7+8+9+10=72,…,则第n 个式子是( ) A.n+(n+1)+(n+2)+…+(2n-1)=n2 B.n+(n+1)+(n+2)+…+(2n-1)=(2n-1)2 C.n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2 D.n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-1)=(2n-1)2 答案:C

2.(2011年宝鸡质检)下面几种推理是合情推理的 是( ) ①由圆的性质类比出球的有关性质; ②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角 和是180°,归纳出所有三角形的内角和都是180°; ③张军某次考试成绩是100分,由此推出全班同学 的成绩都是100分; ④三角形内角和是180°,四边形内角和是360°, 五边形内角和是540°,由此得凸n边形内角和是(n -2)· 180°.

A.①② B.①③ C.①②④ D.②④

答案:C

3.对于命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”, 可类比猜想出正四面体的内切球内切于四面体 ( ) A.各正三角形内的点 B.各正三角形某高线上的点 C.各正三角形的中心 D.各正三角形各边的中点 解析:选C.由类比推理易知C项正确.

4.(教材习题改编)由13+23=(1+2)2, 13+23+33=(1+2+3)2,

13+23+33+43=(1+2+3+4)2,
猜想:13+23+33+…+n3=________.

答案:(1+2+3+…+n)2

5.定义集合A与B的运算,A 或x∈B且x?A∩B},则(A B)

B={x|x∈A, A=________.

解析:如图中阴影部分为 A B ,若 A 用类比的方法可得C A=B. 答案:B

B=C,

考点探究?挑战高考

考点突破 归纳推理 1.归纳推理的特点 (1)归纳是依据特殊现象推断出一般现象,因而由 归纳所得的结论超越了前提所包含的范围. (2)归纳的前提是特殊的情况,所以归纳是立足于 观察、经验或实验的基础之上的.

2.归纳推理的一般步骤:

(1)通过观察个别情况发现某些相同的性质.
(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般 性命题.

x 2 y2 例1 已知 F1、 F2 分别是双曲线 - =1 的左、 4 9 右两焦点,点 M 在双曲线上. (1)若∠F1MF2=90° ,求△F1MF2 的面积; (2)若∠F1MF2=120° ,△F1MF2 的面积是多少? 若∠F1MF2=60° ,△F1MF2 的面积又是多少? (3)观察以上计算结果,你能看出随∠F1MF2 的变 化,△F1MF2 的面积将怎样变化吗?

【 思 路 点 拨 】

因 为 S

F1 MF2

1 = 2

|MF1|· |MF2|sin∠F1MF2 , 所 以 只 须 求 出 |MF1|· |MF2|即可,这可根据余弦定理及双曲 线的定义求得.

【解】 (1)由双曲线方程知 a=2, b=3, c= 13, 设|MF1|=m,|MF2|=n,则|m-n|=4, ∴(m-n)2=16,即 m2+n2-2mn=16. 又∵∠F1MF2=90° ,∴m2+n2=(2c)2=52. 1 2 1 2 ∴mn= (m +n -16)= (52-16)=18. 2 2 1 1 S ∴ F MF = mn= ×18=9. 2 2
1 2

(2)若∠F1MF2=120° ,则在△F1MF2 中, 由 余 弦 定 理 得 , |F1F2|2 = m2 + n2 - 2mncos∠F1MF2, 即(2 13)2=(m-n)2+2mn-2mncos120° , ∴52=16+2mn+mn,∴mn=12. 1 1 S ∴ F MF = mnsin∠F1MF2 = ×12sin120°= 2 2 3 3. 同理求得,当∠F1MF2=60° 时, S F MF =9 3. (3) 由以上结果可看出:随着∠F1MF2 的增大, △F1MF2 的面积在减小.
1 2 1 2

【名师点评】

针对探究性题目,一般使用的

方法是求一些特殊的值,然后再进行归纳、猜 想,中间再加一些验证的手段 ,从而解决问

题.

互动探究 1 如果把例 1 中的双曲线变为椭圆 2 2 x y + =1, 其它条件不变, 试解答相应的三问. 9 4
解:由椭圆方程知 a=3,b=2,c= 5. 设|MF1|=m,|MF2|=n,则 m+n=6. 2 2 2 (1)当∠F1MF2=90° 时,m +n =(2c) =20, 2 2 2 ∵(m+n) =m +n +2mn=36, ∴mn=8. 1 S ∴ F MF = mn=4. 2
1 2

(2)当∠F1MF2=120° 时,(2c)2=m2+n2-2mncos120° , ∴m2+n2+mn=20, (m+n)2-mn=20,mn=16. 1 ∴ S F1 MF2 = mnsin120° =4 3. 2 当∠F1MF2=60° 时,(2c)2=m2+n2-2mncos60° , 16 2 2 2 ∴m +n -mn=20,(m+n) -3mn=20,mn= . 3 1 1 16 3 4 3 ∴ S F1 MF2 = mnsin60° = × × = . 2 2 3 2 3 (3)由以上结果可看出:随着∠F1MF2 的增大,△F1MF2 的面积在增大.

类比推理 类比推理是由特殊到特殊的推理,推理的结果不一 定准确,但是可以通过严格的逻辑证明来解决这类 问题,在类比时要注意已知问题与类比问题的共性 与区别.通常情况下,平面图形中的点、线、面可 类比为空间图形中的线、面、体.另外常见的类比 还有代数中的加减运算可类比为乘除运算,等差与 等比的类比,0与1的类比,平面几何与空间几何的 类比等.

(2009 年高考浙江卷 )设等差数列 {an}的 前 n 项和为 Sn,则 S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12 成等差数列.类比以上结论有:设等比数列 {bn} 的前 n 项积为 Tn,则 T4,________,________, T16 成等比数列. T12
例2

T16 T8 T12 【思路点拨】 由 可想到求 , 即可. T12 T4 T8

T8 【 解 析 】 ∵ b1b2b3b4 = T4 , = b5b6b7b8 = T4 4 4 4 4 16 T12 16 T16 b1· q· b2· q· b3· q· b4· q =T4· q , =T8· q , = T8 T12 T8 T12 T16 16 T12· q ,故 T4, , , 成等比数列. T4 T8 T12

【答案】

T8 T12 T4 T8

【规律小结】

(1)类比推理的一般步骤:

①找出两类事物之间的相似性或一致性; ②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得

出一个明确的命题(猜想).
(2)由类比推理得到的猜想是否正确有待证明.

演绎推理 (1)演绎推理是由一般性的命题推出特殊性命题的一 种推理模式,是一种必然性推理.演绎推理的前提 与结论之间有蕴含关系,因而,只要前提是真实的, 推理的形式是正确的,那么结论必定是真实的,但 是错误的前提可能导致错误的结论. (2)演绎推理的主要形式,就是由大前提、小前提推 出结论的三段论式推理.

a 已知函数 f(x)=- x (a>0 且 a≠1), a+ a 1 1 (1)证明:函数 y=f(x)的图像关于点( ,- )对 2 2 称; (2)求 f(-2)+ f(-1)+ f(0)+ f(1)+ f(2)+ f(3)的 值.
例3

【思路点拨】 证明本题依据的大前提是中心 对称的定义:函数 y=f(x)的图像上的任一点关 于一个点的对称点仍在 f(x)的图像上,则 f(x) a 的图像关于该点对称. 小前提是 f(x)=- x a+ a 1 1 (a>0 且 a≠1)的图像上的任一点关于点( ,- ) 2 2 对称的点仍在 f(x)的图像上.

【解】 (1)证明:函数 f(x)的定义域为 R,任取一 点(x,y), 1 1 它关于点( , - )对称的点的坐标为(1-x, -1-y). 2 2 a 由已知得 y=- x , a+ a a ax 则-1-y=-1+ x =- x , a+ a a+ a a a f(1-x)=- 1-x =- a a + a + a ax

a· ax ax =- , x=- x a+ a· a a+ a 所以-1-y=f(1-x). 1 1 所以函数 y=f(x)的图像关于点( ,- )对称. 2 2 (2)由(1)有-1-f(x)=f(1-x),即 f(x)+f(1-x)= -1. ∴f(-2)+f(3)=-1, f(-1)+f(2)=-1, f(0)+f(1)=-1, 则 f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=-3.

【名师点评】

演绎推理是由一般到特殊的推

理,数学的证明过程主要是通过演绎推理进行

的,只要采用的演绎推理的大前提、小前提和
推理形式是正确的,其结论一定是正确的,一 定要注意推理过程的正确性与完备性.

变式训练 2 阵:

将全体正整数排成一个三角形数 1 2 4 5 3 6

8 9 10 11 12 13 14 15 ? ? ? ? ? ? 根据以上排列规律,数阵中第 n(n≥3) 行的从 左至右的第3个数是________.

7

解析:前 n-1 行共有正整数 1+2+?+(n-1) 2 n -n 个,即 个,因此第 n 行第 3 个数是全体正 2 n2-n n2-n+6 整数中第 +3 个,即为 . 2 2

n2-n+6 答案: 2

方法感悟 方法技巧 1.合情推理主要包括归纳推理和类比推理.数学 研究中,在得到一个新结论前,合情推理能帮助猜 测和发现结论,在证明一个数学结论之前,合情推 理常常能为证明提供思路与方向.(如例2) 2.合情推理的过程概括为:

从具体问题出发 → 观察、分析、比较、联想 → 归纳、类比 → 提出猜想 .(如例 1)

3.演绎推理是从一般的原理出发,推出某个 特殊情况的结论的推理方法,是由一般到特殊 的推理,常用的一般模式是三段论.数学问题 的证明主要通过演绎推理来进行.(如例3) 4.合情推理仅是“合乎情理”的推理,它得到 的结论不一定正确.但合情推理常常帮助我们 猜测和发现新的规律,为我们提供证明的思路 和方法.而演绎推理得到的结论一定正确(前提 和推理形式都正确的前提下).

失误防范 1.合情推理是从已知的结论推测未知的结论,发 现与猜想的结论都要经过进一步严格证明. 2.演绎推理是由一般到特殊的证明,它常用来证 明和推理数学问题,注意推理过程的严密性,书写 格式的规范性. 3.合情推理中运用猜想时不能凭空想象,要有猜 想或拓展依据.

考向瞭望?把脉高考

考情分析
从近几年的高考试题来看,归纳推理、类比推理、 演绎推理等问题是高考的热点,归纳推理、类比推 理大部分在填空题中出现,为中、低档题,突出“ 小而巧”,主要考查类比推理、归纳推理的能力; 演绎推理大多出现在解答题中,为中、高档题目, 在知识交汇点处命题,考查学生的逻辑推理能力, 以及分析问题、解决问题的能力.

预测2012年高考仍将以归纳推理、类比推理,

特别是演绎推理为主要考查点,重点考查学生
的逻辑推理能力.

真题透析

(2010年高考福建卷)观察下列等式: ①cos 2α=2cos2α-1; ②cos 4α=8cos4α-8cos2α+1; ③cos 6α=32cos6α-48cos4α+18cos2α-1; ④cos 8α=128cos8α-256cos6α+160cos4α- 32cos2α+1; ⑤cos 10α=mcos10α-1280cos8α+1120cos6α+ ncos4α+pcos2α-1. 可以推测,m-n+p=________.



【解析】

观察等式可知,cosα 的最高次的系数

2,8,32,128,?构成了公比为 4 的等比数列,故 m =128×4=512;取 α=0,则 cos α=1,cos 10α= 1, 代入等式⑤, 得 1=m-1280+1120+n+p-1, 即 n+p=-350 (1);

1 1 π 取 α= ,则 cos α= ,cos 10α=- ,代入等 3 2 2 1 1 10 18 16 式⑤,得- =m( ) -1280×( ) +1120×( ) 2 2 2 2 14 12 +n×( ) +p×( ) -1, 即 n+4p=-200 (2), 2 2 联立(1)(2),得 n=-400,p=50.∴m-n+p= 512-(-400)+50=962.

【答案】 962 【名师点评】 (1)本题易失误的是:①归纳时找不 准确前几项的规律,胡乱猜;②不知道从何处入手, 归纳不出结论. (2)归纳推理的难点是由部分结果得到一般结论,破 解的方法是充分考虑这部分结果提供的信息,从中 发现一般规律;类比推理的难点是发现两类对象的 相似特征,由其中一类对象的特征得出另一类对象 的特征,破解的方法是利用已经掌握的数学知识, 分析两类对象之间的关系,通过两类对象的已知的 相似特征得出所需要的相似特征.

名师预测 1.如果对象A和对象B都具有相同的属性P、Q、R 等,此外已知对象A还有一个属性S,而对象B还有 一个未知的属性x,由此类比推理,可以得出下列 哪个结论可能成立( ) A.x就是P B.x就是Q C.x就是R D.x就是S 解析:选 D.因为 P、R、 Q是均具有的属性,所以可 能得出的结论只能是“x就是S”.

1+x 2.设 f(x)= ,又记 f1(x)=f(x),fk+1(x)= 1-x f(fk(x)),k=1,2,?,则 f2012(x)等于( ) 1 A.- B.x x x-1 1+x C. D. x+1 1-x

1+x 1+ 1-x 1+x 1 解析:选 B.计算 f2(x)=f( )= =- , x 1-x 1+x 1- 1-x x-1 1 1+ 1- x+1 x x-1 1 f3(x)=f(- )= = ,f4(x)= =x, x 1 x+1 x-1 1+ 1- x x+1 1+x f5(x)=f1(x)= ,归纳得 f4k(x)=x,k∈N+, 1-x 从而 f2012(x)=x.

3.如图是网络工作者经常用来解释网络运作的 蛇形模型:数字1出现在第1行;数字2,3出现在 第2行;数字6,5,4(从左至右)出现在第3行;数字 7,8,9,10出现在第4行;依此类推,则第63行从 左至右算第6个数字为________.

解析:由每行的行号数和这一行的数字的个 数相同可求出第 63 行最左边的一个数是 63×?63+1? =2016,从左至右的第 6 个数应 2 是 2016-5=2011.
答案:2011

4.五位同学围成一圈依次循环报数,规定:第一位 同学首次报出的数为2,第二位同学首次报出的数为 3,之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出 数的乘积的个位数字,则第2011个被报出的数为 ________. 解析:根据规则,五位同学第一轮报出的数依次为 2,3,6,8,8 ,第二轮报出的数依次为 4,2,8,6,8 ,第三轮 报出的数依次为8,4,2,8,6,故除第一、第二位同学第 一轮报出的数为2,3外,从第三位同学开始报出的数 依次按6,8,8,4,2,8循环,则第2011个被报出的数为2. 答案:2

本部分内容讲解结束
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