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抛物线的简单几何性质


方程 图

y2 = 2px

y2 = -2px (p>0) y l
x

x2 = 2py (p>0) y
F x

x2 = -2py (p>0) y
x l

(p>0) y
l O F

l x


焦点 准线 范围 对称性

F

O

O

O

F

p F ( ,0 ) 2
p x?? 2

p F ( ? ,0) 2 p x? 2

p F (0, ) 2 p y?? 2

p F (0,? ) 2 p y? 2

在y轴右侧 关于x轴对称

在y轴左侧 关于x轴对称

在X轴上方

在X轴下方

关于y轴对称 关于y轴对称

顶点

(0,0)

(0,0)

(0,0)

(0,0)

例题解析 例1、求满足下列条件的抛物线方程: (1)顶点在坐标原点,准线方程为x=3 (2) 顶点在坐标原点,关于y轴对称,且 经过M(2, -2 2 ) 求抛物线标准方程可分两步: (1)根据已知条件设抛物线标准方程; (2)由已知条件求参数p.

例2、汽车前灯的反光曲面与轴截面的交线 为抛物线,灯口直径为197mm,反光 曲面的顶点到灯口的距离是69mm。由 抛物线的性质可知,当灯泡安装在抛 物线的焦点处时,经反光曲面反射后 的光线是平行光线。为了获得平行光 线,应怎样安装灯泡?(精确到1mm)

练习:一辆载有货物的机动车,车宽 1.6m,要通过跨度为8m,拱高为4m的抛物 线形的隧道为保证安全,车顶离隧道顶至 少应有0.5m,求机动车车身最高可几米? 解:
y

O

4
8

x

例3、在直角坐标平面上给定一曲线y2=2x 2 (1)设点A的坐标为( 3 ,0),求曲线上

距离A最近的点P的坐标及相应的距离PA (2)设点B的坐标为(a,0),求曲线上的点 到点B距离的最小值d,并写出d=f(a) 的函数表达式

例4、设过抛物线y2=2px的焦点F的一条直线 和抛物线分别交于A、B 两点,且两个 交点的纵坐标为y1、y2, 求证: y1y2=-p2。

例4、设过抛物线y2=2px的焦点F的一条直线 和抛物线分别交于A、B 两点,且两个 交点的纵坐标为y1、y2, 求证: y1y2=-p2。 思考: 1、题中没有给出的条件,但事实上我以 p>0的条件来求解的,过程有没有问题 2. x1x2是否为定值.

3.能否借助本题结论研究AB的变化.

课堂小结: (1)通过本节学习, 要求大家掌握抛物线的 几何性质,并在具体应用时注意区分抛物 线标准方程的四种形式及求解抛物线标准 方程的方法,注意灵活运用定义; (2)了解抛物线知识在生产生活实际中的 应用.

布置作业: 1、课本P47 感受4、8、9 2、正三角形的一个顶点位于坐标轴原点, 另外两个顶点在抛物线y2=2px(p>0)上, 求这个三角形的边长。

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