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福建省晋江市第二中学2015高中数学 初高中衔接教材 第四讲 不等式的解法

第四讲 不 等 式
初中阶段已经学习了一元一次不等式和一元一次不等式组的解法.高中阶段将进一步学习一元二次不 等式和分式不等式等知识.本讲先介绍一些高中新课标中关于不等式的必备知识. 一、一元二次不等式及其解法 1.形如 ax2 ? bx ? c ? 0(或 ? 0) (其中a ? 0) 的不等式称为关于 x 的一元二次不等式. 【例 1】解不等式 x ? x ? 6 ? 0 .
2

分析:不等式左边可以因式分解,根据“符号法则 --- 正正(负负)得正、正负得负”的原则,将其 转化为一元一次不等式组. 解:原不等式可以化为: ( x ? 3)( x ? 2) ? 0 ,

于是: ?

?x ? 3 ? 0 ?x ? 3 ? 0 ? x ? ?3 ? x ? ?3 或? ?? 或? ? x ? ?3或x ? 2 ?x ? 2 ? 0 ?x ? 2 ? 0 ?x ? 2 ?x ? 2

所以,原不等式的解是 x ? ?3或x ? 2 . 说明:当把一元二次不等式化为 ax2 ? bx ? c ? 0(或 ? 0) 的形式后,只要左边可以分解为两个一次因 式,即可运用本题的解法. 【例 2】解下列不等式: (1) ( x ? 2)( x ? 3) ? 6 (2) ( x ? 1)( x ? 2) ? ( x ? 2)(2 x ? 1)

分析:要先将不等式化为 ax2 ? bx ? c ? 0(或 ? 0) 的形式,通常使二次项系数为正数. 解:(1) 原不等式可化为: x ? x ? 12 ? 0 ,即 ( x ? 3)( x ? 4) ? 0
2

于是: ?

?x ? 3 ? 0 ?x ? 3 ? 0 或? ? ?3 ? x ? 4 ?x ? 4 ? 0 ?x ? 4 ? 0
2

所以原不等式的解是 ?3 ? x ? 4 . (2) 原不等式可化为: ? x ? 4 x ? 0 ,即 x2 ? 4 x ? 0 ? x( x ? 4) ? 0 于是: ?

?x ? 0 ?x ? 0 或? ? x ? 0或x ? 4 ?x ? 4 ? 0 ?x ? 4 ? 0

所以原不等式的解是 x ? 0或x ? 4 . 2.一元二次不等式 ax ? bx ? c ? 0(或 ? 0) 与二次函数 y ? ax ? bx ? c (a ? 0) 及一元二次方程
2 2

ax 2 ? bx ? c ? 0 的关系(简称:三个二次).
以二次函数 y ? x ? x ? 6 为例:
2

1

(1) 作出图象; (2) 根据图象容易看到,图象与 x 轴的交点是 (?3, 0), (2, 0) ,即 当 两实根

x ? ?3或2 时, y ? 0 .就是说对应的一元二次方程 x 2 ? x ? 6 ? 0 的
是 x ? ?3或2 . (3) 当 x ? ?3或x ? 2 时, y ? 0 ,对应图像位于 x 轴的上方.就





x 2 ? x ? 6 ? 0 的解是 x ? ?3或x ? 2 .
2 当 ?3 ? x ? 2 时, y ? 0 ,对应图像位于 x 轴的下方.就是说 x ? x ? 6 ? 0 的解是 ?3 ? x ? 2 .

一般地,一元二次不等式可以结合相应的二次函数、一元二次方程求解,步骤如下: (1) 将二次项系数先化为正数; (2) 观测相应的二次函数图象. ①如果图象与 x 轴有两个交点 ( x1 ,0),( x2 ,0) ,此时对应的一元二次方程有两个不相等的实数根

x1 , x2 (也可由根的判别式 ? ? 0 来判断) .
那么(图 1): ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) ? x ? x1或x ? x2

ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) ? x1 ? x ? x2

② 如 果 图 象 与 x 轴 只 有 一 个 交 点 (?

b , 0 ), 此 时 对 应 的 一 元 二 次 方 程 有 两 个 相 等 的 实 数 根 2a

xx ? x2 ? ?

b (也可由根的判别式 ? ? 0 来判断) . 2a ax 2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) ? x ? ? b 2a

那么(图 2):

ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) ? 无解
③如果图象与 x 轴没有交点,此时对应的一元二次方程没有实数根 (也可由根的判别式 ? ? 0 来判 断) . 那么(图 3):

ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) ? x 取一切实数 ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) ? 无解
2

如果单纯的解一个一元二次不等式的话,可以按照一下步骤处理: (1) 化二次项系数为正; (2) 若 二 次 三 项 式 能 分 解 成 两 个 一 次 因 式 的 积 , 则 求 出 两 根 x1 , x2 . 那 么 “ ? 0 ” 型 的 解 为

x ? x1或x ? x2 (俗称两根之外);“ ? 0 ”型的解为 x1 ? x ? x2 (俗称两根之间);
(3) 否则,对二次三项式进行配方,变成 ax ? bx ? c ? a ( x ?
2

b 2 4ac ? b 2 ) ? ,结合完全平方式为 2a 4a

非负数的性质求解. 【例 3】解下列不等式: (1) x ? 2 x ? 8 ? 0
2

(2) x ? 4 x ? 4 ? 0
2

(3) x ? x ? 2 ? 0
2

解:(1) 不等式可化为 ( x ? 2)( x ? 4) ? 0 (2) 不等式可化为 ( x ? 2)2 ? 0 (3) 不等式可化为 ( x ? ) ?
2

∴ 不等式的解是 ?2 ? x ? 4

∴ 不等式的解是 x ? 2

1 2

7 ? 0. 4
2

【例 4】已知对于任意实数 x , kx ? 2 x ? k 恒为正数,求实数 k 的取值范围. 解:显然 k ? 0 不合题意,于是:

?k ? 0 ?k ? 0 ?k ? 0 ? ? ? k ?1 ? ? ? 2 2 2 k ? ? 1 或 k ? 1 ( ? 2) ? 4 k ? 0 k ? 1 ? 0 ? ? ?
2 2 【例 5】已知关于 x 的不等式 kx ? (k ? 1) x ? 3 ? 0 的解为 ?1 ? k ? 3 ,求 k 的值.

分析:对应的一元二次方程的根是 ?1 和 3 ,且对应的二次函数的图象开口向上.根据一元二次方程根 与系数的关系可以求解.

? ?k ? 0 ? k2 ?1 ? 解:由题意得: ??1 ? 3 ? ? k ?1 k ? 3 ? (?1) ? 3 ? ? ? k ?
2 2 说 明 : 本 例 也 可 以 根 据 方 程 有 两 根 ?1 和 3 , 用 代 入 法 得 : k (?1) ? (k ? 1)(?1) ? 3 ? 0 ,

k ? 32 ? 3(k 2 ? 1) ? 3 ? 0 ,且注意 k ? 0 ,从而 k ? 1 .
二、简单分式不等式的解法 【例 6】解下列不等式: (1)

2x ? 3 ?0 x ?1

(2)

x?3 ?0 x ? x ?1
2

分析:(1) 类似于一元二次不等式的解法,运用“符号法则”将之化为两个一元一次不等式组处理;
3

或者因为两个数(式)相除异号,那么这两个数(式)相乘也异号,可将分式不等式直接转化为整式不等式求 解. (2) 注意到经过配方法,分母实际上是一个正数. 解:(1) 解法(一) 原不等式可化为:

3 3 ? ? ?2 x ? 3 ? 0 ?2 x ? 3 ? 0 ? x ? 3 ?x ? 或? ?? 2 或? 2 ? ?1 ? x ? ? 2 ?x ? 1 ? 0 ?x ? 1 ? 0 ? ? x ? ?1 ? ? x ? ?1
解法(二) 原不等式可化为: (2 x ? 3)( x ? 1) ? 0 ? ?1 ? x ?

3 . 2

1 2 3 ?0 2 4 原不等式可化为: x ? 3 ? 0 ? x ? ?3 1 ?3 【例 7】解不等式 x?2
(2) ∵ x ? x ? 1 ? ( x ? ) ?
2

解:原不等式可化为:

?(3x ? 5)( x ? 2) ? 0 1 ?3x ? 5 3x ? 5 5 ?3? 0 ? ?0? ?0?? ? x ? ?2或x ? ? 说明:(1) x?2 x?2 x?2 3 ?x ? 2 ? 0
转化为整式不等式时,一定要先将右端变为 0. (2) 本例也可以直接去分母,但应注意讨论分母的符号:

? x ? ?2 ? x ? ?2 ?x ? 2 ? 0 ?x ? 2 ? 0 1 5 ? ? ?3? ? 或? ?? 5 或? 5 ? x ? ? 或x ? ?2 三、含有字 x?2 3 x?? ?3( x ? 2) ? 1 ?3( x ? 2) ? 1 ? x ? ? 3 ? 3 ? ?
母系数的一元二次不等式 一元一次不等式最终可以化为 ax ? b (a ? 0) 的形式.

b ; a b (2) 当 a ? 0 时,不等式的解为: x ? ; a (3) 当 a ? 0 时,不等式化为: 0 ? x ? b ; ① 若 b ? 0 ,则不等式的解是全体实数;② 若 b ? 0 ,则不等式无解.
(1) 当 a ? 0 时,不等式的解为: x ? 【例 8】求关于 x 的不等式 m x ? 2 ? 2mx ? m 的解.
2

解:原不等式可化为: m(m ? 2) x ? m ? 2 (1) 当 m ? 2 ? 0即m ? 2 时, mx ? 1 ,不等式的解为 x ? (2) 当 m ? 2 ? 0即m ? 2 时, mx ? 1 .

1 ; m

4

① 0 ? m ? 2 时,不等式的解为 x ? ② m ? 0 时,不等式的解为 x ?

1 ; m

1 ; m

③ m ? 0 时,不等式的解为全体实数. (3) 当 m ? 2 ? 0即m ? 2 时,不等式无解. 综上所述:当 m ? 0 或 m ? 2 时,不等式的解为 x ?

1 1 ;当 0 ? m ? 2 时,不等式的解为 x ? ;当 m m
2

m ? 0 时,不等式的解为全体实数;当 m ? 2 时,不等式无解.
练:解不等式(1) x ? 2ax ? a ? 1 ? 0
2 2

(2) ax ? x ? ax ? 1 ? 0

2 【例 9】已知关于 x 的不等式 k ? kx ? x ? 2 的解为 x ? ?

1 ,求实数 k 的值. 2 b 的解,从而令 a

分析:将不等式整理成 ax ? b 的形式,可以考虑只有当 a ? 0 时,才有形如 x ?

b 1 ?? . a 2
解:原不等式可化为: (?k ? 1) x ? ?k 2 ? 2 .

??k ? 1 ? 0 ?k ? ?1 3 ? 2 ? 所以依题意: ? ?k ? 2 3?k ?? . 1?? 2 ?? ? ?k ? 1或 ? 2 ? 2 ? ?k ? 1


1.解下列不等式: (1) 2 x ? x ? 0
2


A
2



(2) x ? 3x ? 18 ? 0 (4) x( x ? 9) ? 3( x ? 3)

(3) ? x ? x ? 3x ? 1
2

2.解下列不等式: (1)

x ?1 ?0 x ?1

(2)

3x ? 1 ?2 2x ? 1

5

2 ? ?1 (3) x
3.解下列不等式: (1) x ? 2 x ? 2 x ? 2
2 2

2 x2 ? x ? 1 (4) ?0 2x ? 1
1 2 1 1 x ? x? ?0 2 3 5

(2)

2 4.已知不等式 x ? ax ? b ? 0 的解是 2 ? x ? 3 ,求 a , b 的值.

5.解关于 x 的不等式 (m ? 2) x ? 1 ? m . 6.已知关于 x 的不等式 kx ? 2k ? k ? 2 x 的解是 x ? 1 ,求 k 的值. 7.已知不等式 2x2 ? px ? q ? 0 的解是 ?2 ? x ? 1 ,求不等式 px2 ? qx ? 2 ? 0 的解. B
2



1.已知关于 x 的不等式 mx ? x ? m ? 0 的解是一切实数,求 m 的取值范围. 2.若不等式

x?2 x?3 ? 1 ? 2 的解是 x ? 3 ,求 k 的值. k k
2 2

3.解关于 x 的不等式 56 x ? ax ? a . 4. a 取何值时,代数式 (a ? 1)2 ? 2(a ? 2) ? 2 的值不小于 0? 5.已知不等式 ax ? bx ? c ? 0 的解是 ? ? x ? ? ,其中 ? ? ? ? 0 ,求不等式 cx ? bx ? a ? 0 的解.
2 2

第四讲 不等式答案 A 组

1 ? x ? 0 (2) ? 3 ? x ? 6 (3) x ? ?1 (4)x ? ?3 2 1 1 2. (1) x ? ?1或x ? 1 (2) x ? 或x ? 3 (3) x ? ?2或x ? 0 (4) x ? ? 2 2
1. (1) ? 3.(1) 无解 (2) 全体实数 4. a ? 5, b ? 6 . 5.(1)当 m ? 2 时, x ? 6. k ? ?1 7. x ? 1 B 组

1? m 1? m ;(2)当 m ? 2 时, x ? ;(3) 当 m ? 2 时, x 取全体实数. m?2 m?2

1 1. m ? ? 2
6

2. k ? 5 3.(1) a ? 0 时, ? 4. a ? ?5或a ? 1 . 5. x ?

a a a a ? x ? ;(2) a ? 0 时,无解;(3) a ? 0 时, ? x ? ? . 7 8 8 7

1

?

或x ?

1

?



7


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