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重庆市六区2013届高三学业调研抽测数学(理)试卷

重庆市六区 2013 届高三学业调研抽测 数 学(理)试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共 150 分,考试时间 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.答卷时,考生务必将答案涂写在答题卡规定的位置上,答在试卷上的无效。 3.考试结束后,将答题卡交回,试题卷由学校自己保存。 4.祝各位考生考试顺利。 参考公式:



,则



第Ⅰ卷(选择题, 共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 请将正确答案的代号填涂在答题卡上. 1.已知命题 A.必要条件 C.充要条件 2.设集合 A.(1,4) C.(1,3) 3. 已知等差数列 A. 4.设 是夹角为 ( ) 的公差 B. 的单位向量,且 , 前 B.[3,4) D.(1,2) 项和 C. , (3,4) , 则数列 D. .若 ,则实数 的值为 的通项公式为 ( ) B.充分条件 D.既不充分又不必要条件 ,则 ( ) ,则 是 的( )

A.

B.

C.

D. )

5.某几何体的正视图和侧视图均为右图所示,则该几何体的俯视图不可能为( ...

·1·

6.设 A.

的内角 B.

所对的边分别为 C. D.

.若

,则下列正确的是(



7.一个算法的程序框图如图所示,若该程序输出的结果为 框内应填入的条件是( A. 8.若函数 个极值点,则 的值不可能为( ) ... C. D. B. ) C. D. 的图象在区间 上恰有4

,则判断

A.

B.

9.3名男生与3名女生站成一排照相,则任意两名男生 女 生的概率为( )

间至多有一名

A.

B.

C.

D.

10.如图,

为椭圆 为直线

的右焦 与椭圆的交点,则直线 的斜率

点,

为椭

圆的上、下顶点, ( )

·2·

A.

B.

C.

D.

第Ⅱ卷(非选择题 ,共 100 分)
二、填空题:本大题共6小题,考生作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填写在答题卡相应 题号后的横线上. 11. 展开式中 的系数为 ,则实数 .

12.若复数

为实数,则实数

=

. 线性相关,且得统计数据如下表: 4 2 3 49 39 5 54

13. 设某商品的广告费用 与销售额 广告费用 (万元) 销售额 (万元)

若对应的回归方程为 ,则实数 的值为 . 考生注意:14、15、16 三题为选做题,请从中任选两题作答,若三题全做,则按前两题给分. 14.如图所示,

是圆的两条相交弦,其交点为 , ,则线段 = .





的延长线于

.若

15. 若直线 与极点为坐标原点, 极轴为 轴的正半轴的极坐标方程 的曲线有公共点,则实数 的取值范围是 . 16.不等式 的解集为 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 13 分,(Ⅰ)小问 7 分,(Ⅱ)小问 6 分) 已知函数 (Ⅰ)求函数 (Ⅱ)当 . 的最小正周期和图象的对称轴方程; 时,若 ,求函数 的值.

18.(本小题共 13 分,(Ⅰ)小问 5 分,(Ⅱ)小问 8 分) 某校高三在一次考试结束后,为了解甲、乙两班学生选择题的得分情况,经统计得甲、乙两班 的频率分布如下表: 总分 30 35 40 45 50
·3·

甲班(频率) 乙班(频率) 视频率为概率,解答如下两个问题: (Ⅰ)若在这两个班中各随机抽取一名学生,求他们选择题的成绩都高于 40 分的概率; (Ⅱ)记 分别为甲、乙班学生选择题的成绩,求 的数学期望和方差,并根据期望与方差的

意义对这两个班学生的选择题成绩情况作简要分析.

19.(本小题共 13 分,(Ⅰ)小问 6 分,(Ⅱ)小问 7 分) 如图,在直三棱柱 的中点. (Ⅰ)求证: (Ⅱ)求二面角 平面 ; 的余弦值; 中, ,且 , 分别为线段

20.(本小题满分 12 分,(Ⅰ)小问 5 分,(Ⅱ)小问 7 分) 已知函数 (Ⅰ)求函数 在 的单调区间; 处的切线平行于 轴.

(Ⅱ)当



时,

恒成立,求

的取值范围.

21.(本小题满分 12 分,(Ⅰ)小问 5 分,(Ⅱ)小问 7 分) 如图,设 为线段 为抛物线 的焦点, 是抛物线上一动点,

的垂直平分线上一点,且点

到抛物线的准线 的距离





(Ⅰ)求抛物线的方程; (Ⅱ)设点 的坐标为 ,是否存在垂直于 轴的直线 被以

·4·

为直径的圆截得的弦长为定值?若存在,求直线 的方程;若不存在,请说明理由. 22.(本小题共 12 分,(Ⅰ)小问 5 分,(Ⅱ)小问 7 分) 设 为数列 的前 项和,且对于 的通项公式; ,都有 .

(Ⅰ)求数列

(Ⅱ)令 ,试判断 与

,记 的大小关系,并证明你的结论.

高 2013 级学生学业调研抽测试卷 (第二次) 数学(理科)参考答案

·5·

18 . 本 ( 小题共 13 分, (Ⅰ)小问 5 分, (Ⅱ)小问 8 分) 解: (Ⅰ)记 A 为事件“两个班中各抽取一名学生的选择题的成绩都高于 40 分” B 为事件“抽 , 取甲班的一名学生选择题的成绩高于 40 分” C 为事件 , “抽取乙班的一名学生选择题的成绩高于 40 分” .

2 1 3 3 1 4 ? ? , P(C ) ? ? ? ???????????(2分) 10 10 10 10 10 10 3 4 ? ? 0.12 ????????????????(5 分) 故 P ( A) ? P ( B ) P (C ) ? 10 10
则 P( B) ? (Ⅱ)依题意得,

1 3 3 2 1 ? 35 ? ? 40 ? ? 45 ? ? 50 ? ? 39.5 ,?????(6 分) 10 10 10 10 10 2 2 2 3 1 E (?乙 ) ? 30 ? ? 35 ? ? 40 ? ? 45 ? ? 50 ? ? 39.5 .?????(7 分) 10 10 10 10 10 1 3 3 ∴ D (?甲 ) ? (39.5 ? 30) 2 ? ? (39.5 ? 35) 2 ? ? (39.5 ? 40) 2 ? 10 10 10 2 1 ?(39.5 ? 45) 2 ? ?(39.5 ? 50) 2 ? ? 32.25 ,????????(9 分) 10 10 2 2 3 D(?乙 ) ? (39.5 ? 30) 2 ? ? (39.5 ? 35) 2 ? ? (39.5 ? 40) 2 ? 10 10 10 E (?甲 ) ? 30 ?
·6·

2 1 ?(39.5 ? 50) 2 ? ? 39.25 .???????(11 分) 10 10 (1)由 E (?甲 ) ? E (?乙 ) ? 39.5 可知,两个班的平均成绩相同;?????(12 分) ?(39.5 ? 45) 2 ?
(2)由于 D (?甲 ) ? D (?乙 ) 可知,甲班学生的成绩比乙班学生的成绩更稳定. (13 分)

20 . 本 ( 小题满分 12 分, (Ⅰ)小问 5 分, (Ⅱ)小问 7 分)

a 2x2 ? a ? .???????(1 分) x x 2 又∵ f ( x) 在 x ? 1 处的切线平行于 x 轴,故 a ? 2 .即 f ( x) ? x ? 2 ln x .???(2分) 当 0 ? x ? 1 时,∵ f ?( x) ? 2 x 2 ? 2 ? 0 ,∴ f ?( x) 在区间 (0,1) 上单调递减;???(3 分) 当 1 ? x ? ?? 时,∵ f ?( x) ? 2 x 2 ? 2 ? 0 ,∴ f ?( x) 在区间 (1, ??) 上单调递增. 分) (5
解: (Ⅰ)∵ f ( x) ? x ? a ln x ,∴ f ?( x) ? 2 x ?
2

(Ⅱ)∵函数 f ( x) ? x ? 2 ln x 在 (0,1) 上为减函数,
2

∴在 x ? (0,1] 上 f 最小 ( x) ? 1 .????????????????????(7 分) 令 g (m) ? 2bm ?

1 2 ,∵ b ? ?1 , m ? (0,1] ,∴ g ?(m) ? 2b ? 3 ? 0 ,???(8 分) 2 m m 1 ∴ g (m) ? 2bm ? 2 在 (0,1] 上为增函数,???????????????(9 分) m ∴当 m ? (0,1] 时, g (m) ? g (1) ? 2b ? 1 ,???????????????(10 分)
·7·

又当 x, m ? (0,1] 时, f ( x) ? 2bm ? ∴?

1 (b ? ?1) 恒成立, m2

?b ? ?1 ,解之得 ?1 ? b ? 1 .??????????????????(12 分) ?2b ? 1 ? 1
p ?????(1分) 2

21. (本小题满分 12 分, (Ⅰ)小问 5 分, (Ⅱ)小问 7 分) 解: (Ⅰ)∵抛物线的方程为 y 2 ? 2 px ,∴直线 l 的方程为 x ? ?
2

又∵点 Q 在线段 OF 的垂直平分线上,且 F 为抛物线 y ? 2 px 的焦点,

p .????????????????????????(2 分) 4 3 3 3 又∵点 Q 到抛物线的准线 l 的距离为 ,∴ p ? ,即 p ? 2 .??????(4 分) 2 4 2 2 ∴抛物线的方程为 y ? 4 x .???????????(5 分) (Ⅱ)设 PM 的中点为 C ,直线 l ? 的方程为 x ? a ,以 PM 为直径 的 圆 ? 于 D, E 两点,记 DE 的中点为 H . 交直线 l x ? 3 y1 令 P ( x1 , y1 ) ,则 C ( 1 , ), 2 2 1 1 ∴ | DC |? | PM |? ( x1 ? 3) 2 ? y12 .????(7 分) 2 2 ∵ CH ? DE , x ?3 1 ∴ | CH |?| 1 ? a |? | ( x1 ? 2a ) ? 3 | .?(9 分) 2 2 1 1 ∴ | DH |2 ?| DC |2 ? | CH |2 ? [( x1 ? 3) 2 ? y12 ] ? [( x1 ? 2a) ? 3]2 4 4 ? (a ? 2) x1 ? a 2 ? 3a .????????????????(10 分)
∴点 Q 的横坐标为 从上式可知,当 a ? 2 时, | DH | ? ?4 ? 6 ? 2 为定值.????????(11 分)
2

∴ | DE |? 2 | DH |? 2 2 为定值,此时直线 l ? 的方程为 x ? 2 .?????(12 分) 22.(本小题共 12 分, (Ⅰ)小问 5 分, (Ⅱ)小问 7 分)

n 2 an ? (n ? N * ) 2 2 12 a ∴当 n ? 1 时,有 a1 ? ? 1 ,即 a1 ? 1 ; 2 2 22 a2 ? ,即 a2 ? 2 ; 当 n ? 2 时,有 a1 ? a2 ? 2 2 32 a3 ? ,即 a2 ? 3 .由此猜想: an ? n .?(2 分) 当 n ? 3 时,有 a1 ? a2 ? a3 ? 2 2
解: (Ⅰ)∵ S n ? 用数学归纳法证明如下: ①当 n ? 1 时,由上面可知,猜想成立.????????????????(3 分) ②假设 n ? k 时, ak ? k 成立;

·8·

则当 n ? k ? 1 时,由已知有 S k ?

2k ? 1 ak ?1 ak ? ? ,即 ak ?1 ? 2k ? 1 ? ak ? 2k ? 1 ? k ? k ? 1 . 2 2 2 ∴ n ? k ? 1 时,猜想成立. ∴对于 ?n ? N ? ,都有 an ? n 成立.故数列 {an } 的通项公式为 an ? n .?? (5 分) 3 (Ⅱ)答: Pn ? Tn .????????????????????????(6 分) 4 1 1 1 1 证明:∵ an ? n ,∴ bn ? ? , cn ? an ?1 ? n ?1 . 2an ? 1 2n ? 1 2 2 1 1 1 ∴ Pn ? b1b2 ? b2b3 ? ? ? bnbn ?1 ? ? ??? 1? 3 3 ? 5 (2n ? 1)(2n ? 1) 1 1 1 1 1 1 1 1 ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] ? (1 ? ) ,??(7 分) 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 2 2n ? 1 1 1 1 1 1 1 Tn ? c1c2 ? c2 c3 ? ? ? cn cn ?1 ? 0 ? 1 ? 1 ? 2 ? ? ? n ?1 ? n 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 ? ? 3 ? ? ? 2 n ?1 ? (1 ? n ) . ????????????????(8 分) 2 2 2 3 4 n n 0 1 2 2 n n ∵ 4 ? (1 ? 3) ? Cn ? Cn 3 ? Cn 3 ? ? ? Cn ?1 3n ?1 ? Cn 3n ? 3n ? 1 ? 2n ? 1 ,?(10 分) 1 1 1 1 1 1 ∴ ? n ,即 4 Pn ? 3Tn ? 2(1 ? ) ? 2(1 ? n ) ? 2( n ? ) ? 0 ?(11 分) 2n ? 1 4 2n ? 1 4 4 2n ? 1 3 故 Pn ? Tn .????????????????????????????(12 分) 4 ak ?1 ?

k 2 ak (k ? 1) 2 ak ?1 ,后式减前式得: ? , S k ?1 ? ? 2 2 2 2

·9·