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13.11.20 数列求和 公开课教案(修改)


公开课教案
教 时 师 间 华晓芳 2013.11.20 班 级 地 点 1109 教学楼 327 课 程 课 型 课 时
数学 复习 2

课题名称

第六章 数列 第六节 数列的求和

背景分析

本班总人数只有 9 人,不能照搬传统的授课模式;本届单招班又是新教材,新 考纲实施的第一个班级 ,一轮总复习的内容和难度上与以往的单招应有所 区分. 1.熟练掌握等差数列与等比数列的求和公式; 2. 能运用倒序相加、 错位相减、 拆项相消等重要的数学方法进行求和运算; 3.通过把某些既非等差数列,又非等比数列的数列化归成等差数列或等比 数列求和问题,培养学生观察、分析问题的能力,以及转化的数学思想. 把某些既非等差数列, 又非等比数列的数列化归成等差数列或等比数列 求和. 寻找适当的变换方法,达到化归的目的.

教学目标 设 定

教学重点

教学难点

学习任务 描 述

1.熟练掌握等差数列与等比数列的求和公式; 2. 能运用倒序相加、 错位相减、 拆项相消等重要的数学方法进行求和运算; 3.通过把某些既非等差数列,又非等比数列的数列化归成等差数列或等比 数列求和问题,培养学生观察、分析问题的能力,以及转化的数学思想.

教学情景 创 设

既有的求和公式与相对复杂的求和问题之间的联系

教学资源 开 发

PPT 教学课件

教 教学环节 (一)复 习引入





序 师生双边活动

教 学 内 容 等差数列和等比数列既是最基本的数列又是最重要 的数列. 我们已经推出了求其前 n 项和的公式, 公式分别 是什么? 回忆一下推导这两个公式的方法,你有什么收获? 推导等差数列前 n 项和公式所用的方法是:先把 Sn 中各项“正着”写出来,再把 Sn 中各项次序反过来写出, 两式相加. 由于对应项和都为 (a1+an) , 所以2Sn=n (a1+an) , 进而求出 Sn. 这种推导方法是将要解决的问题通过 “逆序 相加”的方法转化为我们熟悉的常数列求和问题. (渗透 转化的思想) 推导等比数列前 n 项和所用的方法是:将 Sn 的各项 依次写出, 再把这个式子的两边同时乘以 q, 然后两式 “错 项相减” ,相减后等号右边只剩下两项,进而求得 Sn.解 决此问题需要大家有敏锐的观察能力.把 Sn=a1+a1q+? +a1q +a1q 的两边分别乘以公比 q, 就得到各项后面相邻 的一项, 因而用 “错位相减” 的方法就可以消去相同的项. 以上两种求和的思路在解决某些特殊数列求和问题 时经常用到. 这节课我们就来研究既非等差数列又非等比 数列的一些特殊数列的求和问题. (课题)
n-2 n-1

(二)新 课

数列求和的方法不少,其中公式法最为我们熟悉,这 里不再一一举例,我们来看其他几种。 倒序相加法 把数列正着写和倒着写再相加(即等差数列求和公 式的推导过程的推广). 1. 求和 : sin 1? ? sin 2? ? sin 3? ? ? ? sin 89?
2 2 2 2

解 : 设S ? sin 21? ? sin 2 2? ? sin 2 3? ? ? ? sin 2 89???1?

倒序得 : S ? sin 2 89? ? sin 2 88? ? sin 2 87? ? ? ? sin 21?
? cos2 1? ? cos2 2? ? cos2 3? ? ? ? cos2 89??????2?

?1? ? ?2? 得 2S ? (sin 21? ? cos2 1?) ? (sin 2 2? ? cos2 2?) ? ?
? (sin 2 89? ? cos2 89?) =89

S?

89 2

练习 : 错位相减法 课本推导等比数列前 n 项和公式的方法。利用

S n ? qSn
(Ⅰ) ?

可求两类数列的和,其通项分别是:

?分子是等差数列 ?系数是等差数列 (Ⅱ) ? ?分母是等比数列 ?字母是等比数列 1 3 2n ? 1 , ,? , ,? 的前 n 项和 求数列 2 4 2n 1 3 5 7 2n ? 1 解 Sn ? ? ? ? ?? ? n 2 4 8 16 2 1 1 3 5 2n ? 3 2n ? 1 Sn ? ? ? ??? ? n?1 n 2 4 8 16 2 2 1 1 2 2 2 2 2n ? 1 两式相减 S n ? ? ? ? ? ? ? n ? n?1 2 2 4 8 16 2 2

1 1 1 2n ? 1 2n ? 3 S n ? 2 ? ? ? ? ? n?2 ? n ? 3 ? n 2 4 2 2 2
练习 :书 P94 裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差求和,正负相消剩下首 尾若干项. 数列{an}的前 n 项和为 Sn, 若 an= A.1 5 B. 6
1 n?n+1? 1 , 则 S5 等于( n?n+1?

变一(2)

)

C.

1 6

1 D. 30

解析: an=

1-n 1 1 =nn+ = - n ?n+1? n+ 1

S5 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5

1 1 1 1 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) 2 2 3 5 6
1 1 , b= 等可 n?n+1? n 2n-1+ 2n+1

数列通项形如 an=

用此法.使用裂项法,要注意正负项相消时,消去了哪些 项,保留了哪些项;你是否注意到由于数列{an}中每一项 an 均裂成一正一负两项,所以互为相反数的项合并为零 后, 所剩正数项与负数项的项数必是一样多的, 切不可漏 写未被消去的项, 未被消去的项有前后对称的特点. 实质 上,正负项相消是此法的根源和目的. 常见拆项: 1 1 1 an ? ? ? n(n ? 1) n n ? 1
1 1 1 1 ? ( ? ) (2n ? 1)( 2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1 1 an ? ? n ?1 ? n n ?1 ? n an ?

an ? n ? n! ? (n ? 1)!?n!
练习: 书 P100 4 5.分组转化法 分组转化求和就是从通项入手,若无通项,则先求 通项,然后通过对通项变形,把每一项分成两项,转化

为等差或等比或可求数列前 n 项和的数列来求之. 6. 数列求和的方法 (1)一般的数列求和,应从通项入手,若无通项,先求通 项,然后通过对通项变形,转化为与特殊数列有关或具 备某种方法适用特点的形式,从而选择合适的方法求和. (2)数列求和的常见类型及方法 ①an=kn+b, 利用等差数列前 n 项和公式直接求解; n-1 ②an=a·q , 利用等比数列前 n 项和公式直接求解,但要注意对 q 分 q=1 与 q≠1 两种情况进行讨论; ③an=bn·cn,{bn}是等差数列,{cn}是等比数列, 采用错位相减法求{an}前 n 项和; ④an=f(n)-f(n-1), 采用裂项相消法求{an}前 n 项和; ⑤an-k+ak=cbn, 可考虑倒序相加法求和. 求和
0 1 2 n 1.Cn ? 3Cn ? 5Cn ? ? ? (2n ? 1)Cn

三、归纳

四、作业

1 2 3 n 2. ? 2 ? 3 ? ? ? n (a ? 0) a a a a
3. 22 42 ( 2n) 2 ? ?? ? 1? 3 3 ? 5 (2n ? 1)( 2n ? 1)

4.白皮书 P270


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