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高中直线方程知识点总结


直线方程.
一.直线的倾斜角:一条直线向上的方向与轴正方向所成的最小正角叫做这 条直线的倾斜角,其中直线与 x 轴平行或重合时,其倾斜角为 0, 直线的倾斜角(0°≤ ? <180°) 、斜率: k ? tan ? 注:①当 ? ? 90? 或 x 2 ? x 1 时,直线 l 垂直于 x 轴,它的斜率不存在. 二.直线方程的几种形式: 名称 已知条件 斜率 k 斜截式 纵截距 b 点 P 1 (x 1 ,y 1 ) 点斜式 斜率 k 点 P 1 (x 1 ,y 1 ) 两点式 和 P 2 (x 2 ,y 2 ) y=kx+b 不包括垂直于 x 轴的直线 方程 说明

y ? y1 =k( x ? x1 )
不包括垂直于 x 轴的直线

y ? y1 x ? x1 ? y 2 ? y1 x2 ? x1

不包括坐标轴和平行于坐 标轴的直线 不包括坐标轴,平行于坐

横截距 a 截距式 纵坐标 b

x y ? ?1 a b
Ax+By+C=0

标轴和过原点的直线

一般式

A、B 不同时为 0

(三)位置关系判定方法: 当直线不平行于坐标轴时(要特别注意这个限制条件)

l1 ∶ y ? k1 x ? b1
l 2 ∶ y ? k 2 x ? b2

l1 ∶ A1 x+ B1 y+ C1 =0
l 2 ∶ A2 x+ B2 y+ C2 =0
A1 B1 C1 ? ? A2 B2 C 2

l1 与 l 2 组成的方
程组

平行

k1 =k 2 且 b1 ≠b 2

? A1 B2 ? A2 B1 ? 0 或? ? A1c 2 ? A2 c1 ? 0
A1 B1 C1 ? ? ( A2 B2 C 2 ? 0) A2 B2 C 2

无解

重合

k1 = k 2 且 b1 = b 2

有无数多解

相交

k1≠k2 k1· k2=-1

A1 B1 ? A2 B2
有唯一解

垂直 直线过定点

A1 A2 ? B1 B2 ? 0

如直线 (3m+4) x+(5-2m)y+7m-6=0,不论 m 取何值恒过定点 (-1, 2)

四. 直线的交角: ⑴直线 l 1 到 l 2 的角(方向角) ;直线 l 1 到 l 2 的角,是指直线 l 1 绕交点依逆时针方 向旋转到与 l 2 重合时所转动的角 ? ,它的范围是 (0, ? ) ,当 ? ? 90? 时 tan? ?
k 2 ?k 1 1 ? k 1k 2

.

⑵两条相交直线 l 1 与 l 2 的夹角:两条相交直线 l 1 与 l 2 的夹角,是指由 l 1 与 l 2 相交
? ?? 所成的四个角中最小的正角 ? , 又称为 l 1 和 l 2 所成的角, 它的取值范围是 ? ? 0, ? , ? 2?

当 ? ? 90? ,则有 tan? ?

k 2 ?k 1 1 ? k 1k 2

.

五. 点到直线的距离: ⑴点到直线的距离公式:设点 P( x 0 , y 0 ) ,直线 l : Ax ? By ? C ? 0, P 到 l 的距离为 d , 则有 d ?
Ax 0 ? By 0 ?C A2 ?B 2

.

1. 两点 P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的距离公式: | P1 P2 |? ( x 2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2 . 特例:点 P(x,y)到原点 O 的距离: | OP |? x 2 ? y 2 2. 过两点 P1 ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 )的直线的斜率公式: k?
y 2 ? y1 . x2 ? x1

( x1 ? x2 )

当 x1 ? x2 , y1 ? y 2 (即直线和 x 轴垂直)时,没有斜率 ⑵ 两 条 平 行 线 间 的 距 离 公 式 : 设 两 条 平 行 直 线
l 1 : Ax ? By ?C 1 ? 0,l 2 : Ax ? By ?C 2 ? 0(C 1 ?C 2 ) ,它们之间的距离为 d

,则有 d ?

C 1 ?C 2 A2 ?B 2

.

注;直线系方程 1. 与直线:Ax+By+C= 0 平行的直线系方程是:Ax+By+m=0.( m?R, C≠m). 2. 与直线:Ax+By+C= 0 垂直的直线系方程是:Bx-Ay+m=0.( m?R) 3. 过定点(x1,y1)的直线系方程是: A(x-x1)+B(y-y1)=0 (A,B 不全为 0) 注:

4. 过直线 l1、 l2 交点的直线系方程: (A1x+B1y+C1) +λ( A2x+B2y+C2) =0 (λ?R) 该直线系不含 l2. 六. 关于点对称和关于某直线对称: ⑴关于点对称的两条直线一定是平行直线,且这个点到两直线的距离相等.

⑵关于某直线对称的两条直线性质:若两条直线平行,则对称直线也平行,且两 直线到对称直线距离相等. 若两条直线不平行, 则对称直线必过两条直线的交点,且对称直线为两直线夹角 的角平分线. ⑶点关于某一条直线对称, 用中点表示两对称点, 则中点在对称直线上 (方程①) , 过两对称点的直线方程与对称直线方程垂直(方程②)①②可解得所求对称点.


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