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2012届高考数学(理)一轮复习精品学案:指数函数(1)


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2012 届高考数学(理)一轮复习精品学案:指数函数
【高考目标导航】
一、考纲点击 1.了解指数函数模型的实际背景; 2.理解有理数指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算; 3.理解指数函数的概念,理解指数函数的单调性,掌握指数函数图象通过的特殊点; 4.知道指数函数是一类重要的函数模型。 二、热点、难点提示 1.指数函数的概念、图象与性质是近几年高考的热点; 2.通过具体问题考查指数函数的图象与性质,或利用指数函数的图象与性质解决一些 实际问题是重点,也是难点,同时考查分类讨论思想和数形结合思想; 3.题型以选择题和填空题为主,与其他知识点交汇则以解答题的形式出现。

【考纲知识梳理】
1.根式 (1)根式的概念

根式的概念 如果 x ? a ,那么 x 叫做 a 的 n
n

符号表示

备注

n ? 1且n ? N ?

次方根 当 n 为奇数时,正数的 n 次方根 是一个正数,负数的 n 次方根是 一个负数 当 n 为偶数时,正数的 n 次方根 有两个,它们互为相反数
n

a

零的 n 次方根是零

? n a (a ? 0)

负数没有偶次方根

(2) .两个重要公式

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?a ? a ?? (a ? 0) ?a ? a ? ??a (a ? 0) ? ? ①
n n

n为奇数 n为偶数


n n ②( a ) ? a(注意a必须使 a有意义) 。 n

2.有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ① 正整数指数幂: a ? a?? ? (n ? N ) ; ?a ??a ? ??
n n个 ?

② 零指数幂: a0 ? 1(a ? 0) ; ③ 负整数指数幂: a
?p

?

1 (a ? 0, p ? N ? ); ap
n

④ 正分数指数幂: a n ? ⑤ 负分数指数幂: a
? m n

m

a m (a ? 0, m、n ? N ? , 且n ? 1) ;
1 a
m n

?

?

1
n

a

m

(a ? 0, m、n ? N ? , 且n ? 1)

⑥ 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义. 0 注:分数指数幂与根式可以互化,通常利用分数指数幂进行根式的运算。 (2)有理数指数幂的性质 ① ras=ar+s(a>0,r、s∈Q); a ② r)s=ars(a>0,r、s∈Q); (a ③ r=arbs(a>0,b>0,r∈Q);. (ab) 3.指数函数的图象与性质 y=ax 图象 a>1 0<a<1

定义域 值域 性质

R (0,+ ? ) (1)过定点(0,1)

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(2)当 x>0 时,y>1; x<0 时,0<y<1 (3)在(- ? ,+ ? )上是增函数 (2) 当 x>0 时,0<y<1; x<0 时, y>1 (3)在(- ? ,+ ? )上是减 函数

注:如图所示,是指数函数(1)y=ax,(2)y=bx,(3),y=cx(4),y=dx 的图象,如何确 定底数 a,b,c,d 与 1 之间的大小关系?

提示:在图中作直线 x=1,与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值,即 c1>d1>1>a1>b1,∴ c>d>1>a>b。即无论在轴的左侧还是右侧,底数按逆时针方向变大。

【要点名师透析】
一、指数幂的化简与求值 1.相关链接 指数幂的化简与求值的原则及结果要求 (1)化简原则 ① 化根式为分数指数幂; ② 化负指数幂为正指数幂; ③ 化小数为分数; ④ 注意运算的先后顺序. 注:有理数指数幂的运算性质中,其底数都大于 0,否则不能用性质运算。 (2)结果要求 ① 若题目以根式形式给出,则结果用根式表示; ② 若题目以分数指数幂的形式给出,则结果用分数指数幂表示; ③ 结果不能同时含有根号和分数指数幂,也不能既有分母又有负指数幂。 2.例题解析
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a ? 8a b
2 2 3 3 3 〖例 1〗 (1)化简: 4b ? 2 ab ? a
2

4 3

1 3

? (a

?

2 3

?

23 b a ? 3 a2 )? 5 a a ?3 a
1 1



? ? 3 ? 4 [(3 ) 3 (5 ) 0.5 ? (0.008) 3 ? (0.02) 2 ? (0.32) 2 ] ? 0.06250.25 8 9 (2)计算:

2

分析: (1)因为题目中的式子既有根式又有分数指数幂,先化为分数指数幂以便用法则 运算。 (2)题目中给出的是分数指数幂,先看其是否符合运算法则的条件,如符合用法则进 行下去,如不符合应再创设条件去求。

a [(a ) ? (2b ) ]
解: (1)原式= (a ) ? a ? (2b ) ? (2b )
5 1 3 1 3 1 3

1 3

1 3 3

1 3 3

1 3 2

1 3

1 3

1 3 2

?

a ? 2b (a ? a ) ? 1 1 1 a (a 2 ? a 3 ) 5
2

1 3

1 3

2 3

1 2

? a (a ? 2b ) ?

a a ? 2b
1 3 1 3

?

a6 a
1 6

1

? a3 ? a ? a 3 ? a2

2 1

8 3 49 1000 3 4 2 625 4 ) ? ( )2 ? ( ) ? 50 ? ]?( ) 9 8 10 10000 (2)原式= 27 [(

2

1

4 7 1 4 2 1 17 2 ? [ ? ? 25? ? ] ? ? (? ? 2) ? 2 ? 9 3 2 9 9 5 2 10
x 2 ? x ?2 ? 2
〖例 2〗已知 x ? x
2 解:∵x ? x 1 ? 1 2 1 2 ? 1 2

? 3 ,求 x ? x

3 2

?

3 2

? 3 的值

? 3,

2 2 2 ∴( x ? x ) ? 9 ,

1

?

1

∴x ? 2 ? x ∴x ? x
?1

?1

? 9,

? 7,

∴( x ? x ) ? 49 , ∴x ? x
2 ?2

?1 2

? 47 ,
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2 又∵x ? x 3 ? 3 2

? ( x 2 ? x 2 ) ? ( x ? 1 ? x ?1 ) ? 3 ? (7 ? 1) ? 18 ,
? 47 ? 2 ?3 18 ? 3

1

?

1

x 2 ? x ?2 ? 2
∴x ? x
3 2 3 ? 2

?3

二、指数函数的图象及应用 1.相关链接 (1)图象的变换

(2)从图象看性质 函数的图象直观地反映了函数的基本性质 ① 图象在 x 轴上的身影可得出函数的定义域; ② 图象在 y 轴上的身影可得出函数的值域; ③ 从左向右看,由图象的变化得出增减区间,进而得出最值; ④ 由图象是否关于原点(或 y 轴)对称得出函数是否为奇(偶)函数; ⑤ 由两个图象交战的横坐标可得方程的解。 2.例题解析 〖例〗已知函数 y=( (1) 作出图象; (2) 由图象指出其单调区间; (3) 由图象指出当 x 取什么值时函数有最值。
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1 |x+1| ) 。 3

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分析:化去绝对值符号 ?将函数写成分段函数的形式 ?作图象 ? 写出单调区间 ? 写 出 x 的取值。

解答: (1)由已知可得

?1? y ?? ? ?3?

| x ?1|

?? 1 ? x ?1 ?? ? ?? 3 ? ? ? x ?1 ?3

( x ? ?1) ( x ? ?1)

,

其图象由两部分组成:

一部分是:

1 1 向左平移1个单位 y ? ( ) x ( x ? 0) ??????( ) x ?1 ( x ? ?1); ? 3 3
向左平移1个单位 y ? 3x ( x ? 0) ?????? y ? 3x?1 ( x ? ?1). ?

另一部分是: 图象如图:

(2)由图象知函数在 (??, ?1] 上是增函数,在 (?1, ??) 上是减函数。 (3)由图象知当 x ? ?1 时,函数有最大值 1,无最小值。 三、指数函数的性质 1、相关链接 (1)与指数函数有关的复合函数的定义域、值域的求法 ① 函数 y=af(x)的定义域与 y=f(x)的定义域相同; ② 先确定 f(x)的值域,再根据指数函数的值域、单调性,可确定 y=af(x)的值域; (2)与指数函数有关的复合函数的单调性的求解步骤 ① 求复合函数的定义域; ② 弄清函数是由哪些基本函数复合而成的; ③ 分层逐一求解函数的单调性; ④ 求出复合函数的单调区间(注意“同增异减”) 。
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2、例题解析 〖例 1〗已知函数 f(x)=ax+

x?2 (a>1), x ?1

求证:(1)函数 f(x)在(-1,+∞)上为增函数; (2)方程 f(x)=0 没有负数根. 思路解析: 】(1)是证明函数 f(x)在(-1,+∞)上为增函数,由于在条件中已知函数的解析式, 所以可以考虑直接用增函数的定义证明;(2)方程 f(x)=0 没有负数根,它是一个否命题,直 接证明有一定的难度,可用反证法证明.

解答: (1)设

,则

(2)假设 x0 是方程 f(0)=0 的负数根,且 x0 ≠-1,则











时,



而由 当 x0 <-1 时, x0 +1<0,∴

知 ,

。∴ 式不成立; ①

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。∴ 式不成立。 ①

综上所述,方程 f(x)=0 没有负数根
〖例 2〗如果函数 f(x)=ax(ax-3a2-1)(a>0 且 a≠1)在区间 ?0,??? 上是增函数,求实数的取 值范围 分析:先化简 f(x)的表达式,利用复合函数的单调性的方法求解,或利用求导的方法来 解。 解答:由题意得 f(x)= (ax)2-(3a2+1)ax, 令 t= ax。f(t)=t2-(3a2+1)t(t>0). 当 a>1 时,t= ax 在 ?0,??? 上为增函数,则此时 t ? 1,

而对于 f(t)而言,对称轴 t=

3a 2 ? 1 >2, 2

故 f(x)在 ?0,??? 上不可能为增函数; 当 0<a<1 时,t=ax 在 ?0,??? 上为减函数, 此时 0<t<1,要使 f(x)在 ?0,??? 上为增函数, 则 f(t)在 ? 0,1? 上必为减函数,故

3a 2 ? 1 ? 1. 2

∴? a

3 3 3 或 a? ? ,∴ ? a ? 1。 3 3 3

四、指数函数的综合应用 〖例 1〗已知 f(x)=

a (ax-a-x)(a>0,a≠1). a ?1
2

(1)判断 f(x)的奇偶性; (2)讨论 f(x)的单调性; (3)当 x∈ [-1,1]时,f(x)≥b 恒成立,求 b 的取值范围. 思路分析:本题(1)(2)问判断 f(x)的奇偶性、讨论它的单调性,由于已知函数的解析式, 因此用定义判断或利用导数判断;(3)恒成立问题,实质上是探求 f(x)的最小值.
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解答: (1)函数的定义域为 R,关于原点对称, ∵ ( 2 ) 方 法 一 : ,∴ f(x)为奇函数; 设 , 则

当 a>1 时,

a >0, a ?1
2

>0,

>0,

∴ 1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2),此时函数 f(x)为增函数; f(x

当 0<a<1 时,

a <0, a ?1
2

<0,1+

>0,

∴ 1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2),此时函数 f(x)为增函数; f(x 综上可知:函数 f(x)=

a (ax-a-x) (a>0,a≠1)在定义域上为增函数; a ?1
2

a a a ln a(a x ? a ? x ) x -x x -x 方法二:∵ f(x)= 2 (a -a ),∴ f′(x)= 2 (a lna+a lna)= a ?1 a ?1 a2 ?1
当 a>1 时,f’(x)>0,此时 f(x)为增函数; 当 0<a<1 时,f’(x)>0,此时 f(x)为增函数, 综合可知:f(x)为增函数。 (3)由(2)知 f(x)在 R 上是增函数, ∴ f(x)在区间[-1,1]上为增函数, ∴ f(-1)≤f(x)≤f(1), ∴ min=f(-1)= f(x)

a (a-1-a) a ?1
2

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a 1 ? a2 = 2 · =-1, a ?1 a
要使 f(x)≥b 在[-1,1]上恒成立,则只需 b≤-1,故 b 的取值范围是(-∞,-1]. 方法指导:1.判断函数的奇偶性,先看函数的定义域是否关于原点对称,再看 f(-x)与 f(x)之间的关系; 2.在利用指数函数的性质解决相关的综合问题时,要特别注意底数 a 的取值范围,并在 必要时进行分类讨论; 3.解决恒成立问题,一般需通过分离变量,通过转化为求函数的最值来实现. 4.解决与指数函数有关的综合问题时,除用研究函数图象与性质的相关知识及相关问题 的处理方法外,同时,要适时地用指数函数的图象与性质. 5.关于非具体函数(或具体函数)的不等式,往往先根据函数的单调性,将函数值间的 不等式转化为自变量间的不等式.

【感悟高考真题】
1. (2011· 山东高考理科· T3)若点(a,9)在函数 y ? 3 的图象上,则 tan
x

2? 的值为: 6

(A)0

(B)

3 3

(C)1

(D) 3

【思路点拨】根据点在函数上求出 a,再代入求值 【精讲精析】答案: 3 .点(a,9)在函数 y ? 3 的图象上,所以 3 ? 9, a ? 2 ,所以
x

a

tan

2? ? 3 6

1 y ? ( )x ?1 2 2. (2011· 四川高考文科· T4)函数 的图象关于直线 y=x 对称的图象大致是
( ).

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1 x ? 0, f ( x) ? ( ) x ? 1 2 【思路点拨】 (法一)先作出 的图象, 再作关于直线 y ? x 对称
的图象.

1 x ? 0, f ( x) ? ( ) x ? 1 2 (法二)先求出 时,反函数的解析式,再作反函数的图象.

1 f ( x) ? ( )x , x ? 0 2 【精讲精析】选 A.( 法一)先由 的图象向上平移一个单位,
1 x ? 0, f ( x) ? ( ) x ? 1 y ? x 对称的图象. 2 作出 的图象,再作直线
(法二)当 x ? 0 时,反函数的解析式为

f ?1 ( x ) ? log 1 ( x ? 1)( x ? 1),
2

y ? log 1 x( x ? 0)

2

的图象向右平移 1 个单位,即得所需图象.故选 A.
a b

1 1 ? ?2 3. (2010 辽宁文数) (10)设 2 ? 5 ? m ,且 a b ,则 m ?
(A) 10 (B)10 (C)20 (D)100

1 1 ? ? logm 2 ? logm 5 ? logm 10 ? 2,?m2 ? 10, a b 解析:选 A. 又? m ? 0,? m ? 10.
4.(2010 广东理数)3.若函数 f(x)=3x+3-x 与 g(x)=3x-3-x 的定义域均为 R,则 A.f(x)与 g(x)均为偶函数 C.f(x)与 g(x)均为奇函数 解析:3.D. f (? x) ? 3
?x

B. f(x)为偶函数,g(x)为奇函数 D. f(x)为奇函数,g(x)为偶函数

? 3x ? f ( x), g (? x) ? 3? x ? 3x ? ? g ( x) .

【考点模拟演练】
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一、选择题
3

1.化简[ A.5 答案:B

(?5) 2

] 的结果为( C.- 5

3 4

) D.-5

B. 5

2.已知函数

,则 f(-3)的值为(

)

(A)2 答案: 选 C.

(B)8

(C)

(D)

【解析】 f(-3)=f(-3+2)=f(-1)=f(1)=f(3)=(

)3=

. )

3. (2011· 聊城模拟)若函数 y=2|1-x|+m 的图象与 x 轴有公共点, m 的取值范围是( 则 (A)m≤-1 (C)m≥1 答案: 选 A. (B)-1≤m<0 (D)0<m≤1

【解析】∵ |1-x|≥0,∴ |1-x|≥1.∵ |1-x|+m≥1+m, 2 y=2 ∴ 要使函数 y=2|1-x|+m 的图象与 x 轴有公共点, 则 1+m≤0 即 m≤-1. 4.下列命题中,正确命题的个数为(
n n
2 0


4 3

x 4 ? y 3 ? x 3 ? y ④3 ? 5 ? 6 (?5) 2 ① a =a ② a∈ 若 R,则(a -a+1) =1 ③

A.0 答案: B

B.1

C.2

D.3

5.(2011· 沈阳模拟)集合 A={(x,y)|y=a},集合 B={(x,y)|y=bx+1,b>0,b≠1},若集合 A∩B 只有一个子集,则实数 a 的取值范围是( (A)(-∞,1) (B)(-∞,1] (C)(1,+∞) (D)R 答案:选 B.
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)

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【解析】∵ x+1>1,如果 A∩B 只有一个子集,则 A∩B= ? ,∴ y=b a≤1.
? 1 3

6.使代数式(|x|-1) A.|x|≥1 C.|x|>1 答案: D

有意义的 x 的取值范围为(



B.-1<x<1 D.x≠±1

7.如果函数 y=ax(a>0,a≠1)的图象与函数 y=bx(b>0,b≠1)的图象关于 y 轴对称, 则有 A.a>b 答案: C 8.集合 M={x| A.M=N C.M ? N 答案: B 9.下列说法中,正确的是 ① 任取 x∈ 都有 3x>2x R ④ |x|的最小值为 1 y=2 A.① ④ ② C.② ④ ③ 答案: B 10.已知函数 f(x)=4+ax-1 的图象恒过定点 P,则点 P 的坐标是( (A)(1,5) (B)(1,4) (C)(0,4) (D)(4,0) ) ② a>1 时,任取 x∈ 都有 ax>a 当 R
- -x

( B.a<b C.ab=1 D.a 与 b 无确定关系



3x ? 1 ( - ( ) ≥0},N={x|3 3x 1| 2x+1 ≥1},则集合 M、N 的关系是( 2x ?1
B.M ? N D.M N








③ y=( 3 ) x 是增函数

⑤ 在同一坐标系中,y=2x 与 y=2 x 的图象对称于 y 轴 B.④ ⑤ D.① ⑤

答案:选 A.当 x=1 时 a0=1,则 f(1)=5,即点 P 的坐标是(1,5). 11.若 lga+lgb=0(其中 a≠1,b≠1),则函数 f(x)=ax 与 g(x)=bx 的图象( (A)关于直线 y=x 对称 (C)关于 y 轴对称 【解析】选 C. ∵ lga+lgb=0, (B)关于 x 轴对称 (D)关于原点对称 )

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∴ ab=1,g(x)=bx=(

1 x -x ) =a . a

∴ 函数 f(x)=ax 与 g(x)=bx 的图象关于 y 轴对称. 12. (2011· 济南模拟)定义运算 a ? b= ?

?a ?b

( a ? b) ,则函数 f(x)=1 ? 2x 的图象是( ( a ? b)

)

?2 x 【解析】选 A.依题意有:f(x)= ? ?1
∴ 其图象为选项 A. 二、填空题

( x ? 0) ( x ? 0)

.

13.设定义在 R 上的函数 f(x)同时满足以下条件: ① f(x)+f(-x)=0;② f(x)=f(x+2);③ 0≤x≤1 时,f(x)=2x-1,则 当 f(

1 3 5 )+f(1)+f( )+f(2)+f( )=______. 2 2 2
【解析】依题意知:函数 f(x)为奇函数且周期为 2,

1 3 5 )+f(1)+f( )+f(2)+f( ) 2 2 2 1 1 1 =f( )+f(1)+f(- )+f(0)+f( ) 2 2 2 1 1 1 =f( )+f(1)-f( )+f(0)+f( ) 2 2 2 1 =f( )+f(1)+f(0) 2
∴ f( = 22 ?1 ? 2 ?1 ? 2 ?1 ?
1 0 1

2

答案:

2

方法提示:由抽象函数关系求函数值问题 由抽象函数关系求函数值的一般思路是: 充分利用已知条件特别是所给抽象函数的函数 关系,先探究函数的周期性、奇偶性、单调性、对称性,利用得到的函数关系、运算律,通 过化简求值,再将所求函数值转化为已知函数值,从而得出结论.

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14.(2011· 青岛模拟)若定义运算 a*b= ? ______. 【解析】

?a ?b

( a ? b) ,则函数 f(x)=3x*3-x 的值域是 ( a ? b)

?3 依题意知:f(x)=3x*3-x= ? ? x
x

?

( x ? 0) ( x ? 0)

?3 ?

,

当 x<0 时,0<3x<1, 当 x≥0 时,0<3-x≤1, 综上可知:函数的值域为(0,1]. 答案:(0,1] 15.在同一坐标系下,函数 y=ax,y=bx,y=cx,y=d x 的图象如下图,则 a、b、c、d、1 之间从小到大的顺序是__________.

答案: b,a,1,d,c 16.(2011· 济宁模拟)很难想象如果城市污水不经过处理我们的生活会变成什么样.污水 经过污水处理厂的“污水处理池”过滤一次,能过滤出有害物质的

3 .若过滤 n 次后,流出的 4

水中有害物质在原来的 1%以下,则 n 的最小值为______(参考数据 lg2≈0.301 0). 答案:4 【解析】设原有的有害物质为 a,则过滤 n 次后有害物质还有 (

1 n 1 1 ) a,令( )n<1%,则 n> ,即 n≥4,所以 n 的最小值为 4. 4 4 lg 2

三、解答题

1 17.(2011· 哈尔滨模拟)已知函数 f(x)=2x- | x| . 2
(1)若 f(x)=2,求 x 的值;
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(2)若 2tf(2t)+mf(t)≥0 对于 t∈ [1,2]恒成立,求实数 m 的取值范围. 解答:(1)当 x<0 时,f(x)=0,不合题意; 当 x≥0 时,f(x)=2x由条件可知,2x-

1 . 2x

1 =2, 2x

即 22x-2·x-1=0,解得 2x=1± 2 . 2 ∵ x>0,∴ 2 x=log2(1+ 2 ).

1 1 (2)当 t∈ [1,2]时,2t(22t- 2 t )+m(2t- t )≥0 2 2
即 m(22t-1)≥-(24t-1). ∵ 2t-1>0,∴ 2 m≥-(22t+1). ∵ [1,2],∴ t∈ -(1+22t)∈ [-17,-5], 故 m 的取值范围是[-5,+∞).

18.已知函数 f(x)=a- (1)求 f(0);

2 (a∈ R),求证: 2 ?1
x

(2)对任何 a∈ R,f(x)为增函数; (3)若 f(x)为奇函数,求满足 f(ax)<f(2)的 x 的范围。 解答:(1) f(0)= a ?

2 ? a ?1 . 2 ?1
0

(2) f(x)在 R 上单调递增,证明如下: ∵ f(x)的定义域为 R,∴ 任取 x1,x2∈ 且设 x1<x2,则 R f(x2)-f(x1)= ∵ 1<x2 x ∴2 2 ? 2 1 >0
x x

2(2 x2 ? 2 x1 ) (1 ? 2 x1 )(1 ? 2 x2 )

又 (1 ? 2 1 ) ? 0,(1 ? 2 2 ) ? 0
x x

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2(2 x2 ? 2 x1 ) >0 (1 ? 2 x1 )(1 ? 2 x2 )

故对任何 a∈ R,f(x)为增函数. (3)

解得

.

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