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2014年福建文科数学二轮突破第18题《概率1》


2014 年福建文科数学二轮突破第 18 题《概率 1》
号数: 日期: 【例题解析】 【例 1】某工厂生产 A, B 两种元件,其质量按测试指标划分为:大于或等于 7.5 为正品, 小于 7.5 为次品.现从一批产品中随机抽取这两种元件各 5 件进行检测,检测结果记录如下: 由于表格被污损,数据 x, y 看不清,统计员只记得 x ? y , 且 A, B 两种元件的检测数据的平均值相等,方差也相等. (Ⅰ)求表格中 x 与 y 的值; (Ⅱ)若从被检测的 5 件 B 种元件中任取 2 件,求 2 件都为正品的概率. 班级: 姓名:

【例 2】某市为增强市民的环保意识,面向全市征召义务宣传志愿者.现从符合条件的志愿者中

随机抽取 100 名按年龄分组: 第 1 组 20,25? , 第 2 组 25,30? , 第 3 组 30,35? , 第 4 组 35,40? , 第 5 组 [40, 45] ,得到的频率分布直方图如图所示. (Ⅰ)若从第 3,4,5 组中用分层抽样的方法抽取 6 名志愿 者参广场的宣传活动,应从第 3,4,5 组各抽取多少名志愿者? (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,决定在这 6 名志愿者中随机抽取 2 名 志愿者介绍宣传经验,求第 4 组至少有一名志愿者被抽中的概率.

?

?

?

?

1

【每日一练】 1、在某次测量中得到的 A 样本数据如下: 82, 84, 84, 86, 86, 86, 88, 88, 88, 88.若 B 样 本数据恰好是 A 样本数据都加 2 后所 得数据,则 A, B 两样本的下列数字特征对应相同的 是( ) A、众数 B、平均数 C、中位数 D、标准差 对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计,得到样本的茎叶图 (如图),则该样本的中位数、众数、极差分别是( ) A. 46, 45, 56 B. 46, 45, 53 C. 47, 45, 56 D. 45, 47, 53 3、在 [?2,3] 上随机取一个数 x,则 ( x ? 1)(x ? 3) ? 0 的概率为( )

4 5[ 4、已知集合 M ? ?x | ?2 ? x ? 8? , N ? ? x | x 2 ? 3x ? 2 ? 0? ,在集合 M 中任取一个元素 x ,
A. B. C. D. 则 “x?M

2 5

1 4

3 5

N ”的概率是(



A、

1 10

B、

1 6 1 5

C、

3 10

D、

1 2
(C )

5、袋中共有 6 个除了颜色外完全相同的球,其中有 1 个红球, 2 个白球和 3 个黑球,从袋中任 取两球,两球颜色为一白一黑的概率等于( ) ( A)

(B)

2 5

3 5

( D)

4 5

?0 ? x ? 2 6、设不等式组 ? 表示 的平面区域为 D,在区域 D 内随机取一个点。则此点到坐标原点 ?0 ? y ? 2
的距离大于 2 的概率是( ) A.

? 4

B.

? ?2 2

C.

? 6

D.

4 ?? [来 4

1 4 7、一组样本数据的茎叶图如右: 2 0 1 3 3 4 ,则这组数据的平均数等于 3 6

.

8、一支田径队有男运动员 28 人,女运动员 21 人,现按性别用分层抽样的方法,从中抽取 14 位运动员进行健康检查,则男运动员应抽取 ________人. 9、对某电子元件进行寿命追踪调查,所得情况如右频率分布直方图. ( 1)图中纵坐标 y0 处刻度不清,根据图表所提供的数据还原 y0 ; ( 2)根据图表的数据按分层抽样,抽取 20 个元件,寿命为 100 ~ 300 之间的应抽取几个; ( 3)从( 2)中抽出的寿命落在 100 ~ 300 之间的元件中任取 2 个元件,求事件“恰好有一个寿 命为 100 ~ 200 ,一个寿命为 200 ~ 300 ”的概率. 频 率 /组 距
0.004

0.002 y0 0.001

O

100

200 300 400 500 600 寿 命( h)

2

2014 年福建文科数学二轮突破第 18 题《概率 1》解析
【例 1】解:(Ⅰ)因为 xA = (7+7+7 ? 5+9+9 ? 5) , =8 , xB = (6+x ? 8 ? 5 ? 8 ? 5 ? y) 由 xA = xB ,得 x ? y ? 17 . 因为 s2 1+1+0.25+1+2.25) =1.1 , s2 A= ( B=
2 2 2 由 s2 ,得 (x ? 8) +(y ? 8) =1 . ② A =sB

1 5

1 5



1 5

1 2 2 ? ? 4+(x ? 8) +0.25+0.25+(y ? 8) ? ?, 5

? x ? 8, ? x ? 9, 或? 因为 x ? y ,所以 x ? 8 , y ? 9 . y ? 9 , y ? 8. ? ? (Ⅱ) 记被检测的 5 件 B 种元件分别为 B1 , B2 , B3 , B4 , B5 ,其中 B2 , B3 , B4 , B5 为正品,从中任取 2
由①②解得 ?

? B1, B2 ? , ? B1, B3 ? , ? B1, B4 ? , ? B1, B5 ? , ? B2 , B3 ? , ? B2 , B4 ? , ? B2 , B5 ? ,? B3 , B4 ? , ? B3 , B5 ? , ? B4 , B5 ? ,记“2 件都为正品 ”为事件 C ,则事件 C 包含以下 6 个基本事件: ? B2 , B3 ? , ? B2 , B4 ? , ? B2 , B5 ? , ? B3 , B4 ? , ? B3 , B5 ? , ? B4 , B5 ?
件 ,共有 10 个基本事件,列举如下 : 所以 P(C ) ?

6 3 3 ? ,即 2 件都为正品的概率为 . 10 5 5

【例 2】 解:(1) 第 3 组的人数为 0.3×100=30, 第 4 组的人数为 0.2×100=20, 第 5 组的人数 为 0.1×100=10. ????3 分 因为第 3,4,5 组共有 60 名志愿者,所以利用分层抽样的方法在 60 名志愿者中抽取 6 名志愿者, 30 20 10 每组抽取的人数分别为:第 3 组: ×6=3; 第 4 组: ×6=2; 第 5 组: ×6=1. 60 60 60 所以应从第 3,4,5 组中分别抽取 3 人,2 人,1 人. ?6 分 (2)记第 3 组的 3 名志愿者为 A1 ,A2 ,A3 ,第 4 组的 2 名志愿者为 B1 ,B2 ,第 5 组的 1 名志愿者为 C1 . 则从 6 名志愿者中抽取 2 名志愿者有: (A1 ,A2 ),(A1 ,A3 ),(A1 ,B1 ),(A1 ,B2 ),(A1 ,C1 ),(A2 ,A3 ),(A2 ,B1 ),( A2 ,B2 ),(A2 ,C1 ),(A3 ,B1 ),(A3 ,B2 ), (A3 ,C1 ),(B1 ,B2 ),(B1 ,C1 ),(B2 ,C1 ),共有 15 种. ????8 分 其中第 4 组的 2 名志愿者 B1 ,B2 至少有一名志愿者被抽中的有:(A1 ,B1 ), (A1 ,B2 ), (A2 ,B1 ), (A2 ,B2 ), (A3 ,B1 ), (A3 , B2 ), (B1 ,B2 ), (B1 ,C1 ), (B2 ,C1 ),共有 9 种,?10 分 9 3 = . ?13 分 所以第 4 组至少有一名志愿者被抽中的概率为 15 5 【每日一练】 1、【解析】设 A 样本数据为变量 X, B 样本数据为变量 Y,则依题意, Y=X+ 2。根据方差公 式可得 DY=D ( X+2)=DX。∴A 样本数据和 B 样本数据的方差相同, 从而标准差也相同。 选 D。 2、【解析】由概念知中位数是中间两数的平均数,即 众数是 45,极差为 68- 12=56。故选 A。

45+47 =46 , 2

4 . 5 4、 【解析】这是个几何概型,事件的概率与所对应的长度有关。 N ? [1, 2] , M ? [?2,8] , ? M N ? [1, 2]。事件“ x ? M ”所对应的长度是 10;事件“ x ? M N ”所对应的长度是 1; 1 因此,事件“ x ? M N ”的概率是 。 10
3、【解析】试题分析:由 ( x ? 1)(x ? 3) ? 0 得: ?1 ? x ? 3 ,由几何概型得: p ?
3

5、【解析】 1 个红球, 2 个白球和 3 个黑球记为红 1,白 1,白 2,黑 1,黑 2,黑 3。 画树状图如下:

从袋中任取两球,共有 15 种等可能结果,满足两球颜色为一白一黑有 6 种, ∴概率等于

6 2 ? 。故选 B 。 15 5

?0 ? x ? 2 6、【解析】不等式组 ? 表示的平面区域 D 是一个边长 ?0 ? y ? 2
为 2 的正方形,如画图可知,区域内到坐标原点的距离大于 2 的 点为红色区域,它的面积为正方形的面积减四分之一圆的面积: 22 ? ? ? ? 22 =4 ? ? 。 ∴此点到坐标原点的距离大于 2 的概率是 7、【解析】23

4 ?? 。故选 D。 4

1 4

4 7 9、解( 1)根据题意: 0.001?100 ? 2 y0 ?100 ? 0.002 ?100 ? 0.004 ?100 ? 1
解得 y0 ? 0.0015 …3 分 ( 2)设在寿命为 100 ~ 300 之间的应抽取 x 个,根据分层抽样有:

8、 【解析】男运动员占所有运动员的比率是: ,按性别分层抽样男运动员应抽取14 ?

4 ?8人 7

x ? ? 0.001 ? 0.0015 ? ?100 ……5 分 解得: x ? 5 20 所以应在寿命为 100 ~ 300 之间的应抽取 5 个 ……7 分 ( 3)记“恰好有一个寿命为 100 ~ 200 ,一个寿命为 200 ~ 300 ”为事件 A ,由( 2)知寿命落 在 100 ~ 200 之间的元件有 2 个分别记 a1 , a2 ,落在 200 ~ 300 之间的元件有 3 个分别记为:

b1, b2 , b3 ,从中任取 2 个球,有如下基本事件: ? a1, a2 ? , ? a1, b1 ? , ? a1, b2 ? , ? a1, b3 ?

? a2 , b1 ? , ? a2 , b2 ? , ? a2 , b3 ? , ?b1, b2 ? , ?b1, b3 ? , ?b2 , b3 ? ,共有10 个基本事件 …9 分
6 3 ? …11 分 10 5

事件 A “恰好有一个寿命为 100 ~ 200 ,一个寿命为 200 ~ 300 ”有:

? a1, b1 ? , ? a1, b2 ? , ? a1, b3 ? , ? a2 , b1 ? , ? a2 , b2 ? , ? a2 , b3 ? 共有 6 个基本事件 …10 分
3 .12 分 5

? P( A) ?

答:事件“恰好有一个寿命为 100 ~ 200 ,另一个寿命为 200 ~ 300 ”的概率为

4


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