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人教版必修一 集合与函数概念知识点



第一章 集合与函数概念
一、集合有关概念 1、集合的含义:某些指定的对象集在一起就成为一个集合, 其中每一个对象叫元素。 2、集合的中元素的三个特性: 1.元素的确定性; 2.元素的互异性; 3.元素的无序性 说明:(1)对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的,任 何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。 (2)任何一个给定的集合中,任何两个元素都是不同的对象, 相同的对象归入一个集合时,仅算一个元素。 (3)集合中的元素是平等的, 没有先后顺序, 因此判定两个集 合是否一样,仅需比较它们的元素是否一样,不需考查排列顺序 是否一样。 (4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。 3、集合的表示:{ … } 如{我校的篮球队员},{太平洋,大西 洋,印度洋,北冰洋} 1. 用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} 2.集合的表示方法:列举法与描述法。 非负整数集(即自然数集)记作:N 正整数集 N*或 N+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 关于“属于”的概念 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示,如:a 是集合 A 的 元素,就说 a 属于集合 A 记作 a∈A ,相反,a 不属于集合 A 记 作 a? A 列举法:把集合中的元素一一列举出来,然后用一个大括号 括上。 描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号 内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集

合的方法。 ①语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形} ②数学式子描述法:例:不等式 x-3>2 的解集是{x∈R| x-3>2} 或{x| x-3>2} 4、集合的分类: (1) .有限集 含有有限个元素的集合 (2) .无限集 含有无限个元素的集合 (3) .空集 不含任何元素的集合 例: {x | x 2 ? ?5} 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 注意: 有两种可能(1)A 是 B 的一部分, ; (2)A 与 B 是同 一集合。 反之: 集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A,记作 A B或BA 2. “相等”关系(5≥5,且 5≤5,则 5=5) 实例:设 A= {x | x 2 ? 1 ? 0} B={-1,1} “元素相同” 结论:对于两个集合 A 与 B,如果集合 A 的任何一个元素都 是集合 B 的元素, 同时,集合 B 的任何一个元素都是集合 A 的元素, 我们就说集合 A 等于集合 B,即:A=B 任何一个集合是它本身的子集。A ? A ②真子集:如果 A ? B,且 B ? A 那就说集合 A 是集合 B 的真子 集,记作 A ? B(或 B ? A) ③如果 A ? B, B ? C ,那么 A ? C ④如果 A ? B 同时 B ? A 那么 A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子 集。 三、集合的运算 1.交集的定义:一般地,由所有属于 A 且属于 B 的元素所

组成的集合,叫做 A,B 的交集. 记作 A∩B(读作”A 交 B”),即 A∩B={x|x∈A,且 x∈B}. 2、并集的定义:一般地,由所有属于集合 A 或属于集合 B 的 元素所组成的集合,叫做 A,B 的并集。记作:A∪B(读作”A 并 B”), 即 A∪B={x|x∈A,或 x∈B}. 3、交集与并集的性质:A∩A = A, A∩φ= φ, A∩B = B∩A,A∪ A = A, A∪φ= A ,A∪B = B∪A. 4、全集与补集 (1)补集:设 S 是一个集合,A 是 S 的一个子集(即 ) ,由 S 中所有不属于 A 的元素组成的集合, 叫做 S 中子集 A 的补集 (或 余集) (2) 全集: 如果集合 S 含有我们所要研究的各个集合的全部 元素,这个集合就可以看作一个全集。通常用 U 来表示。 四、函数的有关概念 1.函数的概念:设 A、B 是非空的数集,如果按照某个确定的 对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个数 x,在集合 B 中都有唯一 确定的数 f(x)和它对应,那么就称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一 个函数.记作: y=f(x),x∈A.其中,x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做函数的定义域;与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值,函数值的集 合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域. 注意:如果只给出解析式 y=f(x),而没有指明它的定义域,则函 数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合;函数的定义 域、值域要写成集合或区间的形式. 定义域补充 能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域, 求函数的 定义域时列不等式组的主要依据是: (1)分式的分母不等于零; (2) 偶次方根的被开方数不小于零; (3)对数式的真数必须大于零; (4) 指数、对数式的底必须大于零且不等于 1. (5)如果函数是由一些基

本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有 意义的 x 的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零 (6)实际问 题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. (又注意:求出不等式组的解集即为函数的定义域。) 构成函数的三要素:定义域、对应关系和值域 注意: (1)构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域.由于 值域是由定义域和对应关系决定的,所以,如果两个函数的定义域和 对应关系完全一致,即称这两个函数相等(或为同一函数) (2)两个 函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致, 而与表示自变 量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法:①表达式相同;②定 义域一致 (两点必须同时具备) (见课本 21 页相关例 2) 值域补充 (1)、函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采取什么方法求 函数的值域都应先考虑其定义域. (2).应熟悉掌握一次函数、二 次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域,它是求解复杂函 数值域的基础。 3. 函数图象知识归纳 (1)定义:在平面直角坐标系中,以函数 y=f(x) , (x∈A)中的 x 为 横坐标, 函数值 y 为纵坐标的点 P(x, y)的集合 C, 叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象. 集合 C 上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系 y=f(x),反过来, 以满足 y=f(x)的每一组有序实数对 x、y 为坐标的点(x,y),均在 C 上 . 即记为 C={ P(x,y) | y= f(x) , x∈A },图象 C 一般的是一条光滑的 连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行与 Y 轴的直线最多只有一 个交点的若干条曲线或离散点组成。 (2) 画法 A、描点法:根据函数解析式和定义域,求出 x,y 的一些对应值 并列表,以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点 P(x, y), 最后用平滑 的曲线将这些点连接起来. B、图象变换法(请参考必修 4 三角函数) 常用变换方法有三种,即平移变换、伸缩变换和对称变换 (3)作用: 1、直观的看出函数的性质;2、利用数形结合的方法分析解题的 思路。提高解题的速度。发现解题中的错误。

4.了解区间的概念 (1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间; (2)无穷区 间; (3)区间的数轴表示. 5.什么叫做映射 一般地,设 A、B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应 法则 f,使对于集合 A 中的任意一个元素 x,在集合 B 中都有唯一确 定的元素 y 与之对应, 那么就称对应 f:A→ B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射。记作“f:A→ B” 给定一个集合 A 到 B 的映射,如果 a∈A,b∈B.且元素 a 和元素 b 对应,那么,我们把元素 b 叫做元素 a 的象,元素 a 叫做元素 b 的 原象 说明:函数是一种特殊的映射,映射是一种特殊的对应,①集合 A、B 及对应法则 f 是确定的;②对应法则有“方向性” ,即强调从集合 A 到集合 B 的对应,它与从 B 到 A 的对应关系一般是不同的;③对 于映射 f:A→B 来说,则应满足: (Ⅰ)集合 A 中的每一个元素,在集 合 B 中都有象,并且象是唯一的; (Ⅱ)集合 A 中不同的元素,在集 合 B 中对应的象可以是同一个; (Ⅲ)不要求集合 B 中的每一个元素 在集合 A 中都有原象。 常用的函数表示法及各自的优点: 1 函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的 点等等,注意判断一个图形是否是函数图象的依据;2 解析法:必须 注明函数的定义域;3 图象法:描点法作图要注意:确定函数的定义 域;化简函数的解析式;观察函数的特征;4 列表法:选取的自变量 要有代表性,应能反映定义域的特征. 解析法:便于算出函数值。列表法:便于查出函数值。图象法: 便于量出函数值. 补充一:分段函数 (参见课本 P24-25) 在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。 在不同的范 围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。 分段函数的解析式 不能写成几个不同的方程, 而就写函数值几种不同的表达式并用一个

左大括号括起来,并分别注明各部分的自变量的取值情况. (1)分段 函数是一个函数,不要把它误认为是几个函数; (2)分段函数的定义 域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集. 补充二:复合函数 如果 y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x),(x∈A) 称为 f、g 的复合函数。 例如: y=2sinx y=2cos(2x+1)

7.函数单调性 (1) .增函数 设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 a,b,当 a<b 时,都有 f(a)<f(b),那么就说 f(x) 在区间 D 上是增函数。区间 D 称为 y=f(x)的单调增区间(睇清楚课 本单调区间的概念) 如果对于区间 D 上的任意两个自变量的值 a,b,当 a<b 时,都 有 f(a)>f(b), 那么就说 f(x)在这个区间上是减函数.区间 D 称为 y=f(x) 的单调减区间. 注意:1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函 数的局部性质; 2 必须是对于区间 D 内的任意两个自变量 a,b;当 a<b 时,总 有 f(a)<f(b) 。 (2) 图象的特点 如果函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数, 那么说函数 y=f(x) 在这一区间上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左 到右是上升的,减 函数的图象从左到右是下降的. (3).函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法:任取 a,b∈D,且 a<b;2 作差 f(a)-f(b);3 变形 (通常是因式分解和配方) ;4 定号(即判断差 f(a)-f(b)的正负) ;5 下结论(指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性) . (B)图象法(从图象上看升降)_ (C)复合函数的单调性 复合函数 f[g(x)]的单调性与构成它的函数 u=g(x),y=f(u)的单调

性密切相关 注意:1、函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单 调性相同的区间和在一起写成其并集. 2、 还记得我们在选修里学习简 单易行的导数法判定单调性吗? 8.函数的奇偶性 (1)偶函数 一般地, 对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x, 都有 f(-x)=f(x), 那么 f(x)就叫做偶函数. (2) .奇函数 一般地,对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)=— f(x),那么 f(x)就叫做奇函数. 注意:1、 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的 奇偶性是函数的整体性质;函数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数 又是偶函数。 2、 由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件 是,对于定义域内的任意一个 x,则-x 也一定是定义域内的一个自 变量(即定义域关于原点对称) . 3、具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于 y 轴对称;奇函数的图象关于原点对称. 总结:利用定义判断函数奇偶性的格式步骤:1 首先确定函数的 定义域,并判断其定义域是否关于原点对称;2 确定 f(-x)与 f(x)的 关系;3 作出相应结论:若 f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,则 f(x) 是偶函数;若 f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则 f(x)是奇函数. 注意:函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条 件.首先看函数的定义域是否关于原点对称,若不对称则函数是非奇 非偶函数.若对称, (1)再根据定义判定; (2)有时判定 f(-x)=±f(x)比较困 难, 可考虑根据是否有 f(-x)±f(x)=0 或 f(x)/f(-x)=±1 来判定; (3)利用定 理,或借助函数的图象判定 . 9、函数的解析表达式 (1).函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间 的函数关系时,一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函数的 定义域. (2).求函数的解析式的主要方法有:待定系数法、换元法、消 参法等,如果已知函数解析式的构造时,可用待定系数法;已知复合

函数 f[g(x)]的表达式时,可用换元法,这时要注意元的取值范围;当 已知表达式较简单时,也可用凑配法;若已知抽象函数表达式,则常 用解方程组消参的方法求出 f(x) 10.函数最大(小)值(定义见课本) (1) 、利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值. (2) 、利用图象求函数的最大(小)值 (3) 、利用函数单调性的判断函数的最大(小)值:如果函数 y=f(x)在区间[a, b]上单调递增, 在区间[b, c]上单调递减则函数 y=f(x) 在 x=b 处有最大值 f(b);如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上单调递减, 在区间[b,c]上单调递增则函数 y=f(x)在 x=b 处有最小值 f(b);


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