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《定义法求轨迹的基本方法》公开课课件_图文

定义法求轨迹 ? 教学目标:理解轨迹的概念 及圆锥曲线的定义,掌握定义 法求轨迹的基本方法,能够 运用转化的思想方法解题。 ? 重点难点:如何运用几何性 质把动点轨迹转化到圆锥曲 线定义,进而求出轨迹方程。 课前练习: 1.已知⊿ABC的一边BC的长6,周长为16,求顶 点A的轨迹方程。(P75、15) 2.点M与点F(4,0)的距离比它到直线x+5=0的 距离小1,求点M的轨迹方程。(p102.14) 3.等腰三角形的顶点A(4,2),底边一个端点 是B(3,5),求另一个端点的轨迹方程,并说明 它的轨迹是什么。(P71、14) 1.解:以直线BC为x轴,以线段BC的垂直平分线 为y轴,建立直角坐标系,得点 x2 y2 ? ?1 A的轨迹方程为 25 16 (除去椭圆与直线BC的两个交点(±5,0))。 2.解:由题意可知,点M到点F(4,0)的距离等 于它到直线x=-4的距离,所以点M的轨迹方程 为y2=16x。 10 3.解:由题意可知,|CA| = |BA| = , 10 所以点C的轨迹是以A(4,2)为圆心, 为半 径的圆,但除去两点(3,5),(5,-1), 其方程为(x-4)2 + (y-2)2 = 10。 【例1】设圆C:(x–2)2 +y2 = 4, 过 原点O作圆的任意弦,求所作弦中 点的轨迹方程。 ? 解:方法一:(相关点法) ? 设Q(x1,y1)为圆C上任意一点,点P(x,y)为弦OQ的中点, ? 则 ∴ ? x1 ? 2 x y1 ? 2 y ? 又点Q在圆C:(x–2)2 +y2 = 4,∴(x1–2)2 +y12 = 4, ? ∴(2x–2)2 +(2y)2 = 4,即(x– 1 )2 +y2 = 1 (x≠0). ? 方法二:设OC中点为M,连结CP,则 1 CP⊥OQ,∴|MP| = |OC| = 1 2 ∴点P的轨迹是以M为圆心,OC为直径的圆,得弦 中点的轨迹方程是(x– 1 )2 +y2 = 1 (x≠0)。 ? 方法三:∵∠OPC = 900 ∴ 动点P的轨迹是以OC为直径的圆, 其轨迹方程是(x– 1 )2 +y2 = 1 (x≠0)。 ? 【例 2】 已知圆O的方程为x2 + y2 = 100 , 点A的坐标为( -6,0) , M为圆O上的任 意一点,AM 的垂直平分线交OM于点 P, 则P的轨迹方程为( ) ? A. x y B. ? ?1 25 16 2 2 2 2 x y ? ?1 25 16 2 2 2 2 C. ( x ? 3) 25 y D. ( x ? 3) y ? ?1 ? ?1 16 25 16 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 解:连结AP, ∵点M在圆O上,∴ |OM| = 10 , ∵ P为AM垂直平分线上一点, ∴ |AP| = |MP| , ∴ |OP| + |AP| = |OP| +|PM| = |OM| = 10 >|OA| ∴ P点轨迹是以A,O为焦点, 长轴长为10的椭圆, 椭圆中心(-3,0),a=5, c=3,b=4, 2 2 ( x ? 3) y ? ?1 ? ∴ 椭圆方程是 , 所以选C 。 25 16 ? 变式 1 : 已知 F1,F2 为椭圆的两个焦点, Q是椭圆上任意一点,从任一焦点作 ∠ F1QF2 的外角平分线的垂线,垂足为 P, 则P的轨迹是( ) ? A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 ? 解:如图,连OP,设F2P A 交F1Q的延长线于A, Q P ? 因为PQ为 ?F1QF2 的 平分线,PQ ? AF2 ? 所以|AQ|=|QF2|, O F2 x ? 则P为线段AF2的中点, F1 则OP为?F2 F1 A 的中位 1 线,1所以|OP|= |AF1| 2 ? = 2 [|F1Q|+|QA|] 信息1:|AQ|=|QF2|, 1 ? = 2 [|F1Q|+|QF2 |]=a , 所以P点轨迹是以O为 信息2:|F1Q|+|QA| =|F1Q|+|QF2 | 圆心,为半径的圆. y =2a ? 【例3】 已知定圆M:x2 + (y+4)2 = 100,定点 F(0,4),动圆 P 过定点F并与圆M内切,求P点的 轨迹方程。 ? 解:设动圆半径为R,连结PF, ? ? ? ? ? ? ? ∵动圆与圆M内切, ∴ |PM| =|MQ| -|PQ|, 又动圆过F点,∴ |PF| = |PQ| = R, ∴ |PM| = |MQ| -|PF| = 10 -|PF| , ∴ |PF| + |PM| = 10 >|MF| ∴ P点轨迹是以F,M为焦点, 长轴长为10的椭圆, 2 2 y x ? ?1 ? ∴ 椭圆方程是 25 9 。 ? 变式2:已知定直线l : x=-2 与 定圆A:(x-4)2 + y2 = 4,动圆H 与直线相切,与定圆 A 相外切, 求动圆圆心H的轨迹方程。 解:由题意可知,点M到点F(4,0) 的距离等于它到直线x=-4的距离, 所以点M的轨迹方程为y2=16x。 ? 巩固练习: ? 1. 已知定点F(4,0)和定直线l: x = -4 ,动点P在l 上,直线l1 过P且与直线l 垂直,直线l2垂直平分线段PF, 又 直 线 l1 与 l2 交 于 M, 则 点 M 的 轨 迹 方 程 是 ______________. y2=16x ? 2.已知椭圆的焦点是F1 ,F2 , P是椭圆上的一个动点. 如 果延长F1P到Q, 使得 | PQ | = | PF2 | , 那么动点Q的轨迹 是(A ) A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线的一支 D. 抛物线 ? 3 .已知平行四边形 ABCD,A(0,-2),B(0,2), 边 AD的长度为 2,对角线 AC和 BD 交于 E点,求点 E的 轨迹方程。 1 略解:连结OE, 则|OE|= 2 |AD|= 1 所以点E的轨迹方

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