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重庆八中高2011级高三(下)第七次月考文科数学试题


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重庆八中 高 2011 级高三下第七次月考

数学(文)试题
第 I 卷(选择题 共 50 分)
小题, 在每小题给出的四个备选项中, 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个备选项中,只有 选择题( 一项是符合题目要求的) 一项是符合题目要求的) 1.设 {an } 是等差数列,且 a1 + a5 = 6 ,则 a3 等于(
A.1 B .2


D.4

C .3

2.已知 cos α = 3 ,则 cos 2α 的值为( 5
A. ? 24 25 B. ? 7 25


C. 7 25 D. 24 25

r r r r r r 3.向量 a = (1, 0) , b = (0,1) ,若 ma + b 与 a ? 2b 平行,则 m 等于( A. ?2
3


D. 1 2

B .2

C. ? 1 2

4.定义 x ? y = x ? y , 则 h ? ( h ? h ) 等于( A. h
3


C. ? h D. h

B. 0

“ 5. a > 1 ”是“ 1 < 1 ”成立的( a
A.充分必要条件 C.必要不充分条件 6.在 (1 + A.4


B.充分不必要条件 D.既非充分也非必要条件 ) C .8
2

x )4 的展开式中, x 的系数为(
B .6

D.10

7.将一枚骰子抛掷两次,若先后出现的点数分别为 b, c ,则方程 x + bx + c = 0 有实根的

概率为(
A. 17 36


B. 1 2 C. 5 9 D. 19 36

8. 在一个 45° 的二面角的一个面内有一条直线与二面角的棱成 45° ,则此直线与二面角的 另一个面所成的角为( ) A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 9.如果圆 ( x ? a ) + ( y ? a ) = 8 上总存在两个点到原点的距离为 2 ,则实数 a 的取值范围
2 2

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是(


B. ( ?3, 3) C. [ ?1,1]

A. ( ?3, ?1) U (1, 3)
D. ( ?3, ?1] U [1, 3)

10.已知实数 s , t 满足不等式 s 2 ? 2 s ≥ t 2 ? 2t ,若 1 < s < 4 ,则 t 的取值范围是( s
A. [? 1 ,1] 4

)

B. ? 1 ,1? 4 ? ?

(

C. [? 1 ,1] 2

D. ? 1 ,1? 2 ? ?

(

第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分)
小题, 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 填空题( )
11.集合 A = x | x 2 ? 9 < 0 ,集合 B = x | x + 1 < 0 ,则 A I B =_ x?2

{

}

{

}

_.

12.从 8 名女生,4 名男生中选出 3 名学生组成课外小组,如果按性别比例分层抽样,则不

同的抽取方法种数为

. (用数字作答) .

13.记 f ( x) = log 2 ( x ? 1) 的反函数为 y = f ?1 ( x) ,则方程 f ?1 ( x) = 9 的解 x =

14.下列图形中,若黑色三角形的个数依次构成一个数列的前 4 项,则这个数列的一个通项

公式为 an =

( n ∈ N *) .

15.已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点,焦点在 x 轴上,左右焦点分别为 F1 , F2 ,

且它们在第一象限的交点为 P, ?PF1 F2 是以 PF1 为底边的等腰三角形.若 PF1 = 10 ,双曲线 的离心率的取值范围为 (1, 2) .则该椭圆的离心率的取值范围是 .

小题, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 解答题( 16. 本题满分 13 分) ( 甲、乙、丙三人射击同一目标,各射击一次,是否击中是相互独立的.将甲、乙、丙 3 各自击中目标依次记为事件 A, B, C ,它们的对立事件分别记为 A , B , C .若 P ( A) = 5 , P ( ABC ) = 1 , P A B C = 1 ,且 P ( B ) > P ( C ) . 5 15 ( Ⅰ ) 求至少有一人击中目标的概率; ( Ⅱ ) 求 P ( B ) 、 P ( C ) 的值.

(

)

17.(本小题满分 13 分) (
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uuur uuu r 在 ?ABC 中,内角 A, B, C 所对边长分别为 a, b, c , AC ? AB = 8 , a = 4 . (Ⅰ)求 bc 的最大值及 A 的取值范围; (Ⅱ)求函数 f ( A) = 2 3 sin 2 ( π + A) + 2 cos 2 A ? 3 的值域. 4

18.(本小题满分 13 分) (

在三棱锥 P ? ABC 中,AB ⊥ AC ,AC = 4 ,AB = 4 3 , P ? ABC = 16 3 , V 侧棱 PA 、PB 、 PC 与底面 ABC 所成的角相等. (Ⅰ)求二面角 P ? AC ? B 的大小; (Ⅱ)求点 B 到平面 PAC 的距离.
P

B A C

19.(本小题满分 12 分) ( 已知数列 {an } 满足 a1 = 1 ,且 an = 2an ?1 + 2n ( n ≥ 2 , n ∈ N * )
?a ? (Ⅰ)求证:数列 ? n ? 是等差数列,并求出数列{ a n }的通项公式; n ?2 ? (Ⅱ)求数列{ a n }的前 n 项之和 S n .

20.(本小题满分 12 分) ( 已知函数 f ( x) = ax3 + bx 2 + cx 在 x = ±1 处取得极值,且在 x = 0 处的切线的斜率为 ?3 . (Ⅰ)求 f ( x) 的解析式;

(Ⅱ)若过点 A ( 2, m ) 可作曲线 y = f ( x) 的三条切线,求实数 m 的取值范围.

21.(本小题满分 12 分) ( 动点 P 到点 F (1,0) 的距离与它到直线 l : x = ?1 的距离相等,记点 P 的轨迹为曲线 C1 .圆 C2 的圆心 T 是曲线 C1 上的动点, 圆 C2 与 y 轴交于 M , N 两点,且 | MN |= 4 .

(Ⅰ)求曲线 C1 的方程; 关系,并说明理由.

(Ⅱ)设点 A ( a, 0 )( a > 2 ) ,若点 A 到点 T 的最短距离为 a ? 1 ,试判断直线 l 与圆 C2 的位置

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参考答案
每小题5 一.选择题 (每小题5分,共 50 分) 1 2 3 4 题号 B C D 答案 C 【部分提示】 部分提示】 7.方程 x + bx + c = 0 有实根 ? b ≥ 4c ,将一枚骰子抛掷两次,若先后 出现的点数分别为 b, c 共有 36 种等可能的结果(如图中方格) ,其中满足 条件 b 2 ≥ 4c 为图中阴影所示,有 19 种,故所求概率 P = 19 ,选 D. 36 8.如图,二面角 α ? l ? β 为 45° , AB ? β ,且与棱 l 成 45° 角,过 A 作 AO ⊥ α 于 O , AH ⊥ l 于 H . 作 连接 OH 、 , ∠AHO 为二面角 α ? l ? β OB 则
2
2

5 B

6 B

7 D

8 A

9 A

10 D
b
6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6

c

的平面角, ABO 为 AB 与平面 α 所成角. ∠ 不妨设 AH = 2 , Rt ?AOH 在 中 , 易 得 AO = 1 ; 在 Rt ?ABH 中 , 易 得 AB = 2 . 故 在 Rt ?ABO , sin ∠ABO = AO = 1 ,∴∠ABO = π 为所求线面角,选 A. 6 AB 2
9.问题转化为“⊙ O : x 2 + y 2 = 2 与⊙ O1 : ( x ? a ) + ( y ? a ) = 8 相交
2 2

β A
l H O B

α

时,求 a 的范围” ,由 R ? r < OO1 < R + r 得 2 2 ? 2 < 2 a < 2 2 + 2 ,故 1 < a < 3 ,选
2 2 s ? t )( s + t ? 2 ) ≥ 0 ,可行域如图中阴影所示, 10.由 s ? 2s ≥ t ? 2t ? ( 1< s < 4 1< s < 4

A.

s?t= 0 t s+ t?2= 0 A (4,4) 故当 P ( s, t ) 位于图中线段 AB 上时, t = kOP 取得最大 1(可取) ;当 P ( s, t ) 位 C(1,1) s t = k 取得最小值 ? 1 (不可取) t 的取值范围是 于 C ( 4, ?2 ) 时 .由图知 OP s s 2 O s B (4,?2) 1 ,1? . ? 2 ? ? s=1 s= 4

{

{

(

二、填空题 (每小题 5 分,共 25 分)

14 . 由 题 目 给 出 的 图 可 知 : an = 3an ?1 ( n ≥ 2, n ∈ N *) , 所 以 该 数 列 的 通 项 公 式 为 an = 3n ?1 ( n ∈ N *) (亦可有前 4 项为 1,3,9,27 猜出) .
15 . 如 图 , 由 题 意 知 r1 = 10 , r2 = 2c , 且 r1 > r2 . 对 于 双 曲 线 , e双 = 2c = 2c = 2c = c ∈ (1, 2 ) ? 3 < 5 < 2 ; 对 于 椭 圆 , 2a双 r1-r2 10-2c 5 ? c 2 c

11. {x | ?1 < x < 2} ; 12.112; 13.3; 14. 3n?1 ; 15. 1 , 2 3 5 【部分提示】 13. f ?1 ( x) = 9 ? f ( 9 ) = x ,∴ x = f ( 9 ) = log 2 ( 9 ? 1) = log 2 8 = 3

( )

y
r1 F1 O

P r2 F2

x

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e椭 = 2c = 2c = 2c = c = 1 ∈ 1 , 2 . 2a椭 r1 + r2 10 + 2c 5 + c 5 + 1 3 5 c 三.解答题 16. (Ⅰ)至少有一人击中目标的对立事件为三人都不击中, 故所求概率为 1 ? P A B C = 1 ? 1 = 14 15 15 ? 3 P ( B ) ? P (C ) = 1 ? 5 (Ⅱ)由题设可得 ? 5 2 ?1 ? P ( B ) ? ?1 ? P ( C ) ? = 1 ?5 ? ?? ? 15 ? ? P ( B ) ? P (C ) = 1 ? 3 ,注意到 P ( B ) > P ( C ) 即? P ( B) + P (C ) = 7 ? 6 ? 2 , P (C ) = 1 解之得 P ( B ) = 3 2

( )

(

)

……5分 ……8分

……10分 ……13分
2 2 2

17. (Ⅰ) AC ? AB = bc ? cos A = 8 , b + c ? 2bc cos A = 4 即 b + c = 32 分
2 2

… … 2

又 b + c ≥ 2bc ,所以 bc ≤ 16 ,即 bc 的最大值为 16 即 8 ≤ 16 ,所以 cos A ≥ 1 ,又 0 < A < π ,所以 0 < A ≤ π cos A 2 3 π + 2 A)] + 1 + cos 2 A ? 3 = 3 sin 2 A + cos 2 A + 1 (Ⅱ) f ( A) = 3 ? [1 ? cos( 2 = 2 sin(2 A + π ) + 1 … … 6
2 2

……4 分 ……6 分

9



因 0 < A ≤ π ,所以 π < 2 A + π ≤ 5π , 1 ≤ sin(2 A + π ) ≤ 1 6 3 6 6 2 6
2 ≤ 2 sin(2 A + π ) + 1 ≤ 3 ,所求值域为 [ 2, 3] 6

……11 分 ……13 分

18. 【解法一】 (Ⅰ)Q 侧棱 PA 、 PB 、 PC 与底面 ABC 所成的角相等, 点 P 在平面 ABC 内的射影是 Rt ?ABC 的外心,即斜边 BC 的中点 O ∴ 取 AC 的中点 D ,连 PD , DO , PO ,则 VP ? ABC = 1 1 ? AC ? AB ? OP = 1 1 ? 4 ? 4 3 ? OP = 16 3 , 3 2 3 2 ∴ OP = 6 . Q OP ⊥ 平面 ABC ,∴ OD 是 PD 在平面 ABC 内的射影, Q AC ⊥ OD , ∴ AC ⊥ PD . ……4 分 ∴ ∠PDO 为二面角 P ? AC ? B 的平面角. OP = 3 ,∴∠PDO = π , 在 Rt ?POD 中, tan ∠POD = A OD 3

……2 分
P

(

)

(

)

B O D C

故二面角 P ? AC ? B 的大小为 π .
3

……7 分

(Ⅱ)Q AC = 4 , PD = OP 2 + OD 2 = 4 3 ,∴ S?APC = 1 AC ? PD = 8 3 . 2 1S 设点 B 到平面 PAC 的距离为 h ,则由 VP ? ABC = ? h = 16 3 ……10 分 3 ?APC 解方程得 h = 6 ,∴ 点 B 到平面 PAC 的距离等于 6 . ……13 分 【解法二】Q 侧棱 PA 、 PB 、 PC 与底面 ABC 所成的角相等, ……2 分 ∴ 点 P 在平面 ABC 内的射影是 Rt ?ABC 的外心,即斜边 BC 的中点 O . 取 AC 中点 D ,连 PD , DO , PO ,则 DO AB , VP ? ABC = 1 1 ? AC ? AB ? OP 3 2 P = 1 1 ? 4 ? 4 3 ? OP = 16 3 , PO = 6 . 3 2

(

)

(

)

z

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B A O y

xC

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以 O 为原点, OC 、 OP 分别为 x 轴、 z 轴正向,以 BC 的 . 垂直平分线为 y 轴,建立空间直角坐标系(如图)
∴ B ( ?4, 0, 0 ) , C ( 4, 0, 0 ) , A 2, ?2 3, 0 , P ( 0, 0, 6 ) . uuur uuu r ∴ AC = 2, 2 3, 0 , PC = ( 4, 0, ?6 ) uu uuur r uu r ? uu AC 1 r 设平面 PAC 的法向量为 n1 = ( x, y, z ) ,则 ? nr uuu = 0 , ? n1 PC = 0 ?x = 3 uu r ? ∴ 2 x + 2 3 y = 0 ,令 y = ? 3 得 ? y = ? 3 , ∴ n1 = 3, ? 3, 2 4x ? 6z = 0 ?z = 2 ?

(

)

(

)

……4 分

{

(

)

……7 分

(Ⅰ)Q 平面 ABC 为 xOy 面法向量为 n 2 = (0,0,1) ,二面角 P-AC-B 为锐角,记为 θ , uu uu r r n1 n2 uu uu r r 0+0+2 则 cos θ = cos < n1 , n2 > = uu uu = =1, r r 9 + 3 + 4 ?1 2 n1 ? n2
∴ 所求二面角 P-AC-B 的大小

π
3



……10 分

uu r uuu r (Ⅱ)Q BC = ( 8, 0, 0 ) ,平面 PAC 的法向量 n1 = ( 3, ? 3, 2 ) uuu uu r r BC n1 24 + 0 + 0 =6. ∴ 点 B 到平面 PAC 的距离 d = uu r = 9+3+4 n1
19. (Ⅰ)Q an = 2an ?1 + 2n , ∴

……13 分

an
2
n

=

an ?1
2
n ?1

+ 1 ,即

an
2
n

?

an ?1
2n ?1

= 1 ( n ≥ 2 ,且 n ∈ N * )

a ?a ? ∴ 数列 ? n ? 是等差数列,公差 d = 1 ,首项 1 = 1 . n 21 2 ?2 ? a ∴ n = 1 + ( n ? 1) × 1 ,即数列{ a n }的通项公式 an = ( 2n ? 1) ? 2n ?1 2n 2

……3 分 ……6 分 ① ② ……8 分 ……10 分 ……12 分

(Ⅱ) Sn = 1 ? 20 + 3 ? 21 + 5 ? 22 + 7 ? 23 + L + ( 2n ? 1) ? 2n ?1
2 Sn = 1 ? 21 + 3 ? 22 + 5 ? 23 + L + ( 2n ? 3) ? 2n ?1 + ( 2n ? 1) ? 2n

① ? ②得: ? Sn = 1 + 2 ? 21 + 2 ? 22 + 2 ? 23 + L + 2 ? 2n ?1 ? ( 2n ? 1) ? 2n
=1+ 4 ? 1 ? 2n ?1 1? 2

(

)?

( 2n ? 1) ? 2n = ( 3 ? 2n ) ? 2n

? 3,

∴ Sn = ( 2n ? 3) ? 2n +1 + 3

(Ⅰ) f ′( x) = 3ax 2 + 2bx + c 20.
? f ′(1) = 3a + 2b + c = 0 ?a = 3 ? ? 依题意 ? f ′(?1) = 3a ? 2b + c = 0 ? ?b = 0 ,∴ f ( x) = x3 ? 3x ? f ' ( 0 ) = c = ?3 ?c = ?3 ? ?

……1 分 ……5 分

(Ⅱ)设切点为 t , t 3 ? 3t ,Q f ′( x) = 3x 2 ? 3 ,∴ 切线斜率 k切 = f ′(t ) = 3t 2 ? 3
∴ 切线方程为 y ? (t ? 3t ) = (3t 2 ? 3)( x ? t )
3

(

)

……7 分
3 2

又切线过点 A ( 2, m ) ,∴ m ? (t ? 3t ) = (3t ? 3)(2 ? t ) ∴ m = ?2t + 6t ? 6
3 2

……8 分

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令 g (t ) = ?2t 3 + 6t 2 ? 6 ,则 g ' (t ) = ?6t 2 + 12t = ?6t (t ? 2), 由 g ' (t ) = 0 得 t = 0 或 t = 2 .列表分析:
2

g(t)

t g ' (t ) g (t )

(?∞,0)
— ↘

0 0

(0,2)
+

2 0

(2,+∞)
— ↘
?6

O

t

极小值



极大值

g ( x)极小值 = g (0) = ?6 , g ( x)极大值 = g (2) = 2

……10 分

画出草图知,当 ?6 < m < 2 时, m = ?2t 3 + 6t 2 ? 6 有三解, 所以 m 的取值范围是 ?6 < m < 2 .
21.(Ⅰ)解法 1: 设动点 P 的坐标为 ( x, y ) ,依题意,得 PF = x + 1 ,

……12 分



( x ? 1)

2

+ y2 = x + 1 ,

……2 分 ……4 分

化简得: y 2 = 4 x ,∴曲线 C1 的方程为 y 2 = 4 x .

根据抛物线的定 解法 2:由于动点 P 与点 F (1,0) 的距离和它到直线 l : x = ?1 的距离相等, 义可知, 动点 P 的轨迹是以点 F (1,0) 为焦点,直线 l 为准线的抛物线. ∴曲线 C1 的方程为 y 2 = 4 x . (Ⅱ)设点 T 的坐标为 ( x0 , y0 ) ,圆 C2 的半径为 r ,
2 Q 点 T 是抛物线 C1 : y 2 = 4 x 上的动点,∴ y0 = 4 x0 ( x0 ≥ 0 ).

……2 分 ……4 分

∴ AT =

( x0 ? a ) + ( y0 ? 0 )
2

2

2 = x0 ? 2ax0 + a 2 + 4 x0 = ? x0 ? ( a ? 2 ) ? + 4a ? 4 . ? ? 2

Q a > 2 ,∴ a ? 2 > 0 ,则当 x0 = a ? 2 时, AT 取得最小值为 2 a ? 1 ,

…… 7 分 ……9 分

依题意得 2 a ? 1 = a ? 1 ? a 2 ? 6a + 5 = 0 ? a = 5 或 a = 1 (舍)
2 0

此时 x0 = a ? 2 = 3 , y = 4 x0 = 12 ,∴ 圆 C2 的圆心 T 的坐标为 ( 3, ± 2 3 ) .
Q 圆 C2 与 y 轴交于 M , N 两点,且 | MN |= 4 ,
2 2 ∴ | MN |= 2 r 2 ? x0 = 4 .∴ r = 4 + x0 = 13 .

……11 分 ……12 分

Q 点 T 到直线 l 的距离 d = x0 + 1 = 4 > 13 ,∴ 直线 l 与圆 C2 相离.

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