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高中数学课件 3.2.1 几种不同增长的函数模型(1)


O

R

圆的周长随着圆的半径的增大而增大: L=2*π*R (一次函数) 圆的面积随着圆的半径的增大而增大: S=π*R2 (二次函数)

回顾: 某种细胞分裂时,由1个分裂成两 个,两 个分裂成4个……,一个这样的细胞分裂x次后,得 到的细胞个数y与x的函数关系是 y = 2x 。

1 第一次 第二次

第x次
2

2x个

22

第三次
第四次

23
24

例题:
例1、假设你有一笔资金用于投资,现有三种投资方 案供你选择,这三种方案的回报如下: 方案一:每天回报40元; 方案二:第一天回报10元,以后每天比前一天多 回报10元; 方案三:第一天回报0.4元,以后每天的回报比前 一天翻一番。 请问,你会选择哪种投资方案呢?

投资方案选择原则: 投入资金相同,回报量多者为优 (1) 比较三种方案每天回报量

(2) 比较三种方案一段时间内的总回报量
哪个方案在某段时间内的总回报量最 多,我们就在那段时间选择该方案。

我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模 型,再通过比较它们的增长情况,为选择投资方案提 供依据。 解:设第x天所得回报为y元,则 方案一:每天回报40元; y=40 (x∈N*)

方案二:第一天回报10元,以后每天比前一天多回 报10元; y=10x (x∈N*) 方案三:第一天回报0.4元,以后每天的回报比前 一天翻一番。

y=0.4×2x-1 (x∈N*)

x/天
1 2 3 4 5 6 7 8 9 … 30

方案一 40 40 40 40 40 40 40 40 40 … 40 0 0 0 0 0 0 0 0 0 … 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

方案二
y/元

方案三
增长量/元

y/元 增长量/元 y/元 增长量/元

0.4 10 10 10 10 10 10 10 10 … 10 0.8 1.6 3.2 6.4 12.8 25.6 51.2 102.4 … 0.4 0.8 1.6 3.2 6.4 12.8 25.6 51.2 …

… 300

214748364.8 107374182.4

图112-1

从每天的回报量来看: 第1~4天,方案一最多: 每5~8天,方案二最多: 第9天以后,方案三最多;

有人认为投资1~4 天选择方案一; 5~8天选择方案二; 9天以后选择方案 三?

累积回报表
天数 方案 一 二 三 1
40 10 0.4

2
80 30 1.2

3
120 60 2.8

4
160 100 6

5
200 150 12.4

6
240 210

7
280 280

8
320 360 102

9
360 450 204.4

10
400 550

11
440 660

25.2 50.8

409.2 816.8

结论

投资8天以下(不含8天),应选择第一 种投资方案;投资8~10天,应选择第二种投 资方案;投资11天(含11天)以上,应选择 第三种投资方案。

解决实际问题的步骤: 实际问题
读 懂 问 题 抽 象 概 括

实际问题的解
还 原 说 明

数学问题 演 算 推 理 数学问题的解

例2、某公司为了实现1000万元利润的目标,准备 制定一个激励销售部门的奖励方案:在销售利润达 到10万元时,按销售利润进行奖励,且资金y(单位: 万元)随着销售利润x (单位:万元)的增加而增加, 但资金数不超过5万元,同时奖金不超过利润的 25%。现有三个奖励模型:y=0.25x,y=log7x+1, y=1.002x,其中哪个模型能符合公司的要求呢?

模型y=log7x+1
(1)、由函数图象可以看出,它在区间[10,1000]上 递增,而且当x=1000时,y=log71000+1≈4.55<5, 所以它符合资金不超过5万元的要求。 (2)、再计算按模型y=log7x+1奖励时,资金是否不 超过利润的25%,即当x∈ [10,1000]时,是否有

log 7 x ? 1 y ? ? 0.25 成立。 x x

令f(x)= log7x+1-0.25x, x∈ [10,1000].利用计 算机作出函数f(x)的图象,由图象可知它是递减 的,因此 f(x)<f(10) ≈-0.3167<0, 即 log7x+1<0.25x

所以,当x∈ [10,1000],

log 7 x ? 1 ? 0.25 x

作业:课本116页练习题集1、2题
实际 问题 将问题 抽象化 过程 数学 模型 关键 解决 问题 目的

读懂问题 基础

几种常见函数的增长情况: 常数函数 没有增长 一次函数 直线上升 指数函数 指数爆炸


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