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《命题》参考课件_图文

第一章 常用逻辑用语

1.1命题

常用逻辑用语
“数学是思维的科学”

逻辑是研究思维形式和规律的科学.
逻辑用语是我们必不可少的工具.

通过学习和使用常用逻辑用语,掌握常用逻 辑用语的用法,纠正出现的逻辑错误,体会运用常 用逻辑用语表述数学内容的准确性、简捷性.

下列语句的表述形式有什么特点?你能判断 它们的真假吗? (1)若直线a∥b,则直线a和直线b无公共点; (2)2+4=7; (3)垂直于同一条直线的两个平面平行;

(4)若x2=1,则x=1;
(5)两个全等三角形的面积相等; (6)3能被2整除.

以上均为陈述句,(1)(3)(5)为真,(2)(4)(6)为假.

命题的概念
一般地,在数学中,我们把用语言、符 号或式子表达的,可以判断真假的陈述句 叫做命题. 其中判断为真的语句叫做真命题,判 断为假的语句叫做假命题.

例1 判断下列语句中哪些是命题?是真命题还是 假命题? (1)空集是任何集合的子集; 真命题 (2)若整数a是素数,则a是奇数; (3)指数函数是增函数吗? (4)若空间中两条直线不相交,则这两条直线平行; 假命题 (5)
假命题

?? 2?2 ? 2 ;

真命题

(6)x>15.
(7)祝大家新年快乐! 判断 一个语句是不是命题,关键判断:(1)是否为陈 述句;(2)能否判断真假。

例1 判断下列语句中哪些是命题?是真命题还是 假命题? (1)空集是任何集合的子集; (2)若整数a是素数,则a是奇数; (3)指数函数是增函数吗? (4)若空间中两条直线不相交,则这两条直线平行; (5)

?? 2?2 ? 2 ;

(6)x>15. 上面(2)(4)具有“若p,则q”的形式.在数学中,这种形式的命 题是常见的.
“若p,则q”也可写成“如果p,那么q”“只要p,就有q”等形式. 其中p叫做命题的条件,q叫做命题的结论.

例2

指出下列命题中的条件p和结论q;

(1)若整数a能被2整除,则a是偶数;

(2)若四边形是菱形,则它的对角线互相垂直且平分. 解:(1)条件p:整数a能被2整除,结论q:整数a是偶数;
(2)条件p:四边形是菱形,结论q:四边形的对角线互 相垂直且平分. 有一些命题表面上不是“若p,则q”的形式,但 可以改写成“若p,则q”的形式,例如:

垂直于同一条直线的两个平面平行.
若两个平面垂直于同一条直线,则这两个平面平行.

例3 将下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断 真假; (1)垂直于同一条直线的两条直线平行; (2)负数的立方是负数; (3)对顶角相等; (4)等腰三角形两腰的中线相等;

(5)偶函数的图像关于y轴对称;
(6)垂直于同一个平面的两个平面平行.

下列四个命题中,命题(1)与命题(2)(3)(4)的条件和 结论之间分别有什么关系?

(1)若f(x)是正弦函数,则f(x)是周期函数;
(2)若f(x)是周期函数,则f(x)是正弦函数; (3)若f(x)不是正弦函数,则f(x)不是周期函数; (4)若f(x)不是周期函数,则f(x)不是正弦函数; 命题 (1) 和 (2) 叫做互逆命题.其中一个命题叫做原命题 , 命题 (1) 和 (4) 叫做互为逆否命题 . 其中一个命题叫做原 命题(1)和(3)叫做互否命题 .其中一个命题叫做原命题, 另一个叫做原命题的逆命题 . 命题 ,另一个叫做原命题的逆否命题 . 另一个叫做原命题的否命题 . 如果原命题为 如果原命题为 如果原命题为 那么它的逆否命题为 那么它的否命题为 那么它的逆命题为 “若 “若 p, p, 则 则 q”, q”, “若 p, 则 q”, “若┓ “若┓ q, p, 则┓ 则┓ q”. “若q, 则 p”. p”.
原命题与其逆 原命题与其逆 原命题与其否 命题的真假是 否命题的真假 命题的真假是 否存在相关性 是否存在相关 否存在相关性 呢? 性呢 ? 呢?

四种命题形式:
原命题:若p则q.
否命题:若? p则 ? q. 逆命题: 若q则p. q则 ? p. 逆否命题:若?

例4、写出下列原命题的其他三种命题, 并判断真假。 ()若 1 x ? A,则x ? A B (2)在?ABC中,若a ? b,则?A ? ?B (3)正偶数不是质数

解:()逆命题:若 1 x ? A B,则x ? A 否命题:若x ? A,则x ? A B 逆否命题:若x ? A B,则x ? A

例4、写出下列原命题的其他三种命题 (2)在?ABC中,若a ? b,则?A ? ?B
(2)逆命题:在?ABC中,若?A ? ?B, 则a ? b 否命题:在?ABC中,若a ? b, 则?A ? ?B 逆否命题:在?ABC中,若?A ? ?B, 则a ? b

例4、写出下列原命题的其他三种命题 (3)正偶数不是质数
解:(3)原命题:若一个数是正偶数, 则这个数不是质数 逆命题:若一个数不是质数,则这个数 是正偶数 逆否命题:若一个数是质数,则这个数 不是正偶数
点拨:要正确表示四种命题首 先把条件和结论显化

例4、写出下列原命题的其他三种命题
2

(4)若m ? 0, 则方程x ? x ? m ? 0无实数根。
解:(4)逆命题:若方程x ? x ? m ? 0无实数根,
2

则m ? 0。 2 否命题:若m ? 0, 则方程x ? x ? m ? 0有实数根。 逆否命题:若方程x2 ? x ? m ? 0有实数根, 则m ? 0。
四种命题之间真假关系: 1.原命题与它的逆命题和否命题的真假性没有关 系. 2.原命题与它的逆否命题的真假性相同.

四种命题间的相互关系:
原命题 若p则q 互 否 否命题 若? p则? q 互逆 逆命题 若q则p 互 否 逆否命题 若? q则? p

互逆

说明:四种命题的关系相对的

例5、写出下列原命题的其他三种命题, 并判断真假 ()若 1 x=2且y ? 3,则x ? y ? 5 (2)设x, y ? N,若x ? y是偶数, 则x, y都是偶数 (3)若a ? b,则ac ? bc 变式:若x ? y ? 0,则x ? 0或y ? 0
2 2

点拨:正难则反,看逆否命题

正面叙述的词语及其否定
正面词语 等于 否定 大于> 小于< 是 都是

不等于 不大于 不小于 不是 不都是




至多有一个 至少有一个 任意的 所有的 至少有两个 一个也没有 存在 某些

例6、证明:若x ? y ? 0,则x=y ? 0 分析:证明其逆否命题 证明:若x ? 0或y ? 0
2 2

(1) x ? 0且y ? 0,则x ? 0,y ? 0
2 2

? x ? y ? 0,所以x ? y ? 0 2 2 (2) x ? 0且y=0,则x ? 0,y =0
2 2 2 2

? x ? y ? 0,所以x ? y ? 0 2 2 (3) x=0且y ? 0,则x =0,y ? 0
2 2 2 2

? x ? y ? 0,所以x ? y ? 0
2 2 2 2

综上可知,原命题成立。

反证法
☆用反证法证明命题的一般步骤: (1)假设命题的结论不成立,即假设结论的反面成立; (2)从这个假设出发,经过推理论证,得出矛盾; (3)由矛盾判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确. ☆理论根据:原命题与其逆否命题的等价性.

例7.证明:圆的两条不是直径的相交弦不 能互相平分. 已知:在⊙O中,弦AB、CD 相交于P,且AB、CD不是直径. 求证:弦AB、CD不被P平分
A .O D

证明: 假设弦AB、CD被P平分, P C B 则P是AB、CD 的中点, 连接OP, 由垂径定理的推论,可得: OP⊥AB,OP⊥CD. 这与“在平面上过一点有且只有一条直线与 已知直线垂直”相矛盾. ∴弦AB、CD不被P平分.

课堂小结

想一想

1、命题的概念 2、能指出命题的条件和结论 3、四种命题形式:
原命题:若p则q. 否命题: 若? p则 ? q. 逆命题: 若q则p.

逆否命题: 若? q则 ? p.


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