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内蒙古鄂尔多斯市一中2017届高三上学期第四次月考数学(文)试题Word版含答案.doc


鄂尔多斯市第一中学 2017 届高三月考 数学(文)试题
一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.)
2 1.设集合 M ? x | x ? x , N ? ? x | lg x ? 0? ,则 M ? N ? (

?

?

) D. ? ??,1?

A. ?0,1? 2.若复数 z 满足 A. 1 ? i

B. ? 0,1?

C. ?0,1?

z ? i ,其中 i 为虚数单位, 则 z ? ( 1? i
B. 1 ? i C. ? 1 ? i )

) D. ? 1 ? i

3.设 x ? R ,则“ 1 ? x ? 2 ”是“ x ? 2 ? 1 ”的(

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件

D.即不充分也不必要条件

4.已知命题 p : ?x ? R, 2x ? 3x ;命题 q : ?x ? R, x3 ? 1 ? x2 ,则下列命题中为真命题的是 A. p ? q 5.函数 f ? x ? ? A. ? 2,3? B. ? p ? q C. p ? ? q ) D. ? ?1,3? ? ? 3,6? ) D. ? p ? ? q

4 ? x ? lg

x2 ? 5x ? 6 的定义域为( x ?3

B. ? 2, 4?

3? ? ?3, 4? C. ?2,

6.设向量 a ? ?1, 2 ? , b ? ?1,1? , c ? a ? kb ,若 b ? c ,则实数 k 的值等于( A.

?

?

?

?

?

?

?

5 3

B.

3 2

C. ?

3 2

D. ?

5 3

7.已知数列 ?an ? 是公差为 1 的等差数列, Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和, 若 S8 ? 4S4 ,则 a10 ? ( A. )

17 2

B.

19 2

C. 10

D. 12

8 若三棱锥的三视图如右图所示,则该三棱柱的体积为 A. 80 C. B. 40 D.

80 3

40 3

9.若函数 f ? x ? ?? kx ? ln x 在区间 ?1, ?? ? 上单调递增, 则实数 k 的取值范围是( A. ? ??, ?2? B. ? ??, ?1? C. ? 2, ?? ? D. ?1, ?? ?
? x ? y ? 2, ? ? y ? 2, ?



10. 已知 O 是坐标原点,点 A(?1,1) ,若点 M ( x, y ) 为平面区域 ? x ? 1,

上一个动点,

则 OA ? OM 的取值范围是 A. [?1, 0] B. [0, 2] C. [1, 2] D. [?1,1] )

??? ? ???? ?

11.设函数 f ? x ? ? ln 1 ? x ? A. ? ,1?

?

?

1 ,则使 f ? x ? ? f ? 2x ?1? 成立的 x 的取值范围是( 1 ? x2
B. ? ??, ? ? ?1, ?? ?

?1 ? ?3 ? ? 1 1? ? 3 3?

? ?

1? 3?

C. ? ? , ?

D. ? ??, ? ? ? , ?? ?

? ?

1? ?1 3? ? 3

? ?
1 成立, 2


12. 已知函数 f ( x) ? ( x ? a)2 ? (e x ? a)2 (a ? R) ,若存在 x0 ? R ,使得 f ( x0 ) ? 则实数 a 的值为 A.



1 3

B.

2 2

C.

2 4

D.

1 2

第Ⅱ卷(非选择题共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每题 5 分,满分 20 分. ) 13 若函数 f ( x ) 满足 f ( x ) ? 1 ?

1 ,当 x ? [0,1] 时, f ( x ) ? x ,若在区间 ( ?1,1] f ( x ? 1)


上, g( x ) ? f ( x ) ? mx ? 2m 有两个零点,则实数 m 的取值范围是

14. 已知直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 (侧棱垂直于底面)的各顶点都在 球 O 的球面上, 且 AB ? AC ? BC ?

3 若三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的体积等于 ,则球 O 的体积为____

9 2

15 已知 ? ABC 中,角 A, B , C 所对的边分别是 a, b, c , sin A ? sin B ? 4sin C ? 0 ,且

? ABC 的周长 L ? 5 ,面积 S ?

16 1 2 ? ( a ? b 2 ) ,则 sinC = 5 5

.

16. 已知边长为 1 的正方形 ABCD 位于第一象限,且顶点 A、D 分别 在 x, y 的正半轴上(含原点)滑动,则 OB ? OC 的最大值是

??? ? ????

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17(本小题满分 12 分)在△ ABC 中,∠A,∠B,∠C 的对边分别为 a,b,c, → → → → 若AB·AC=CA·CB=k(k∈R). (1)判断△ ABC 的形状; (2)若 k=1,求 b 的值.

18(本小题满分 12 分)在数列 ?an ? 中, a1 ? 2, an ?1 ? 4an ? 3n ? 1, n ? N * . (Ⅰ)证明数列 ?an ? n? 是等比数列; (Ⅱ)求数列 ?an ? 的前 n 项和 S n .

19.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 2 3 sin x cos x ? 3sin 2 x ? cos 2 x ? 2 . (1)当 x ? ? 0,

? ?? 时,求 f ( x) 的值域; ? 2? ?

(2)若 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,

b sin(2 A ? C ) ? 3, ? 2 ? 2 cos( A ? C ) ,求 f ( B) 的值. a sin A

20(本小题满分 12 分)在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD
? 是菱形, ?DAB ? 45 , PD ? 平面 ABCD , AD ? 1 ,点 E 为

AB 上一点,且
(1)若 k ?

AE ? k ,点 F 为 PD 中点. AB

1 ,求证:直线 AF // 平面 PEC ; 2

(2)是否存在一个常数 k,使得平面 PDE ? 平面 PAB ,若存在, 求出 k 的值;若不存在,说明理由。 21.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? (a ? 1)ln x ? x ? , 其中 a ? R. (Ⅰ)求 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)若在 ?1, e? 上存在 x 0 ,使得 f ( x0 ) ? 0 成立,求 a 的取值范围.

a x

请考生在第 22、23 两题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.答时用 2B 铅 笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

1 ? x ? 3? t ? 2 ? (t 为参数) 在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 ? ,以原点为极点, x 轴 ?y ? 3 t ? ? 2
的正半轴为极轴建立极坐标系,圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2 3sin ? . (I)写出圆 C 的直角坐标方程; (II) P 为直线 l 上一动点,当 P 到圆心 C 的距离最小时,求点 P 的直角坐标. 23.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知关于 x 的不等式 x ? a ? b 的解集为 {x | 2 ? x ? 4} (I)求实数 a , b 的值; (II)求 at ? 12 ? bt 的最大值.

【答案】C B A B C C B D D B A D

13, 0 ? m ?

1 3

14,

32? 4 15, 16,2 3 5

17 解析:解:(1)∵·=· , ·=cbcos A, ·=bacos C ∴bccos A=abcos C 根据正弦定理,得 sin Ccos A=sin Acos C,即 sin Acos C-cos Asin C=0,∴sin(A-C)=0, ∵∠A,∠C∈(0,π ),∴∠A=∠C,∴△ABC 为等腰三角形. (5 分) (2)由(1)知 a=c,∴由余弦定理,得·=bccos A=bc· b2 ∵·=k=1, ∴ =1,得 b= 2.(10 分) 2 b2+c2-a2 b2 = . 2bc 2

18. (Ⅰ)由题设 an ?1 ? 4an ? 3n ? 1 ,得 an ?1 ? ? n ? 1? ? 4 ? an ? n ? , n ? N .
*

又 a1 ? 1 ? 1 ,所以数列 ?an ? n? 是首项为 1,且公比为 4 的等比数列.(6 分) (Ⅱ)由(I)可知 an ? n ? 4n ?1 ,于是数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 4n ?1 ? n . 所以数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ?

4n ? 1 n ? n ? 1? . (12 分) ? 3 2

f ( x) ? 2 3 sin x cos x ? 3sin 2 x ? cos 2 x ? 2 ? 3 sin 2 x ? 2sin 2 x ? 1
19 解: (1)

? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2sin(2 x ? ) 6

?

? ? ? 7? ? ? ? 1 ? ? ?? x ? ?0, ? ,∴ 2 x ? ? ? , ? ,sin(2 x ? ) ? ? ? ,1? , 6 ?6 6 ? 6 ? 2 ? ? 2?
∴ f ( x) ? ? ?1, 2? . . .6 分

(2)∵由题意可得 sin ? A ? ( A ? C ) ? ? 2sin A ? 2sin A cos( A ? C ) 有,

sin A cos( A ? C ) ? cos A sin( A ? C ) ? 2sin A ? 2sin A cos( A ? C ) ,
化简可得: sin C ? 2sin A ∴由正弦定理可得: c ? 2a ,∵ b ? ∴余弦定理可得: cos B ? ∵0 ? B ?? ∴B ?

3a ,

a 2 ? c 2 ? b 2 a 2 ? 4a 2 ? 3a 2 1 ? ? , 2ac 2a ?2a 2

?
3

, f ( B ) ? 1 (12 分)

20: (Ⅰ)证明:作 FM∥CD 交 PC 于 M.

1 CD . 2 1 1 ∵ k ? ,ABCD 为菱形∴ AE ? AB ? FM ,且 2 2
∵点 F 为 PD 中点,∴ FM ? AE∥FM∴AEMF 为平行四边形,∴AF∥EM. ∵ AF ? 平面PEC,EM ? 平面PEC , ∴直线 AF // 平面 PEC. (Ⅱ)存在常数 k ? ………………6 分

2 ,使得平面 PED⊥平面 PAB . 2



2 2 AE ,∴ AE ? . ? k , AB ? 1 , k ? 2 2 AB
又∵PD⊥平面 ABCD,∴PD⊥AB.

又∵∠DAB=45° ,∴AB⊥DE.

又∵ PD ? DE ? D ,∴AB⊥平面 PDE. ∵ AB ? 平面PAB ,∴平面 PED⊥平面 PAB. 21 解:(1). f ?( x) ? …………………12 分

a ?1 a x 2 ? (a ? 1) x ? a ( x ? 1)( x ? a ) ?1? 2 ? ? , x ? 0 ??????2 分 x x x2 x2

当 a ? 0 时,在 x ? (0, ??) 上 f ?( x) ? 0, f ( x) 在 (0, ??) 上单调递增;??????4 分 ①

, ?? ) 上 f ?( x) ? 0 ; 当 a ? 0 时, 在 x ? (0,-a ) 上 f ?( x) ? 0 ; 在 x ? (?a
所以 f ( x) 在 (0,-a) 上单调递减,在 (?a, ??) 上单调递增. 综上所述,当 a ? 0 时, f ( x) 的单调递增区间为 (0, ?? ) ;当 a < 0 时, f ( x) 的单调递 减区间为 (0,-a) ,单调递增区间为 (?a, ??) .??????6 分

(2) 若 在 ?1, e? 上 存 在 x 0 , 使 得 f ( x0 ) ? 0 成 立 , 则 f ( x) 在 ?1, e? 上 的 最 小 值 小 于 0.??????8 分 ①当 ?a ? 1 ,即 a ? ?1 时,由(1)可知 f ( x) 在 ?1, e? 上单调递增, f ( x) 在 ?1, e? 上的最小值为

f (1) ,由 f (1) ? 1 ? a ? 0 ,可得 a ? 1 ??????9 分
②当 ?a ? e ,即 a ? ?e 时,由(1)可知 f ( x) 在 ?1, e? 上单调递减, f ( x) 在 ?1, e? 上的最小值为

f (e) ,由 f (e) ? (a ? 1) ? e ?

a e(e ? 1) ??????10 分 ? 0 ,可得 a ? ? e e ?1

③当 1 ? ? a ? e ,即 ? e ? a ? ?1 时,由(1)可知 f ( x) 在 (1, ?a) 上单调递减,在 (?a, e) 上单调递 增, f ( x) 在 ?1, e? 上的最小值为 f (?a) ? (a ? 1)ln(?a) ? a ? 1 , 因为 0 ? ln(?a) ? 1 ,所以 (a ? 1) ? (a ? 1)ln(?a) ? 0 ,即 (a ? 1)ln(?a) ? a ? 1 ? 2 , 即 f (?a) ? 2 ,不满足题意,舍去. ??????11 分 综上所述,实数 a 的取值范围为 (??, ? 22(I)由 ? ? 2 3sin ? , 得 ? 2 ? 2 3? sin? , 从而有 x 2 ? y 2 ? 2 3 y 所以 x ? y ? 3
2

e(e ? 1) ) ? (1, ??) .??????12 分 e ?1

?

?

2

?3

(II)设 P ? 3 ?

? ?

1 3 ? t, t ? ,又 C (0, 3) , 2 2 ?
2

2 ? 1 ? ? 3 ? 则 PC ? ? 3 ? t ? ? ? t ? 3 ? ? t 2 ? 12 , 2 ? ? 2 ? ?

故当 t ? 0 时, PC 取得最小值, 此时 P 点的坐标为 (3, 0) . 23. (I)由 x ? a ? b ,得 ?b ? a ? x ? b ? a 则?

? ?b ? a ? 2 ,解得 a ? ?3, b ? 1. ?b ? a ? 4
2 2 2 2

(II) ?3t ? 12 ? t ? 3 4 ? t ? t ? [( 3) ? 1 ][( 4 ? t ) ? ( t )

? 2 4?t ?t ? 4
当且仅当

4?t t 即 t ? 1 时等号成立, ? 1 3



?

?3t ? 12 ? t

?

min

?4


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