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高二数学选修4-1《几何证明选讲》综合复习题


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高二数学选修 几何证明选讲》综合复习题 高二数学选修 4-1《几何证明选讲》综合复习题
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.如图4所示,圆O的直径AB=6,C为圆周上一点,BC=3过C作 圆的切线l,过A作l的垂线AD,垂足为D,则∠DAC =( ) A. 15° B. 30° C. 45° D. 60° 【解析】由弦切角定理得 ∠DCA = ∠B = 60° ,又 AD ⊥ l ,故 ∠DAC = 30° , 第 1 题图 故选B. 2.在 Rt ?ABC 中, CD 、CE 分别是斜边 AB 上的高和中线,是该图中共有 x 个三角形 与 ?ABC 相似,则 x = ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 【解析】2 个: ?ACD 和 ?CBD ,故选 C. 3.一个圆的两弦相交,一条弦被分为 12 cm 和 18 cm 两段,另一弦被分为 3 : 8 ,则另一 弦的长为( ) A. 11cm B. 33cm C. 66cm D. 99cm 【 解 析 】 设 另 一 弦 被 分 的 两 段 长 分 别 为 3k ,8k (k > 0) , 由 相 交 弦 定 理 得 3k ? 8k = 12 ×18 ,解得 k = 3 ,故所求弦长为 3k + 8k = 11k = 33 cm .故选 B. A AB BC AC 5 4.如图,在 ?ABC 和 ?DBE 中, = = = ,若 ?ABC 与 DB BE DE 3 D B ?DBE 的周长之差为 10cm ,则 ?ABC 的周长为( ) C 25 50 E A. 20 cm B. cm C. cm D.25 cm 第 4 题图 4 3 【解析】利用相似三角形的相似比等于周长比可得答案 D. 5. ⊙O 的 割 线 PAB 交 ⊙O 于 A, B 两 点 , 割 线 PCD 经 过 圆 心 , 已 知 22 PA = 6, PO = 12, AB = ,则 ⊙O 的半径为( ) 3 A.4 B. 6 ? 14 C. 6 + 14 D.8 22 【解析】 ⊙O 半径为 r ,由割线定理有 6 × (6 + ) = (12 ? r )(12 + r ) ,解得 r = 8 .故选 设 3 D. 6.如图, AB 是半圆 O 的直径,点 C 在半圆上, CD ⊥ AB 于点 D , 且 AD = 3DB ,设 ∠COD = θ ,则 tan 2
1 A. 3 1 B. 4

θ
2

=(

)
第 6 题图

C. 4 ? 2 3

D. 3

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【解析】设半径为 r ,则 AD =

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θ=

π
3

,故 tan 2

θ

3 1 3 r , BD = r ,由 CD 2 = AD ? BD 得 CD = r ,从而 2 2 2

1 = ,选 A. 2 3

7.在 ?ABC 中, D, E 分别为 AB, AC 上的点,且 DE // BC , ?ADE 的面积是 2cm 2 ,梯 形 DBCE 的面积为 6cm 2 ,则 DE : BC 的值为( )

A.1: 3 B.1: 2 C.1: 3 D.1: 4 【解析】 ?ADE ? ?ABC ,利用面积比等于相似比的平方可得答案 B. 8.半径分别为 1 和 2 的两圆外切,作半径为 3 的圆与这两圆均相切,一共可作( ) 个. A.2 B.3 C.4 D.5 【解析】一共可作 5 个,其中均外切的 2 个,均内切的 1 个,一外切一内切的 2 个, 故选 D. 9.如图甲,四边形 ABCD 是等腰梯形, AB // CD .由 4 个这样的 等腰梯形可以拼出图乙所示的平行四边形, 则四边形 ABCD 中 ∠A 度数为 ( )
第 9 题图

B. 45° C. 60° D. 75° A. 30° 【解析】 6∠A = 360° ,从而 ∠A = 60° ,选 A. 10.如图,为测量金属材料的硬度,用一定压力把一个高强度钢珠 压向该种材料的表面,在材料表面留下一个凹坑,现测得凹坑 直径为 10mm,若所用钢珠的直径为 26 mm,则凹坑深度为( ) A.1mm B.2 mm C.3mm D.4 mm 2 2 2 【解析】依题意得 OA = AM + OM ,从而 OM = 12mm , 故 CM = 13 ? 12 = 1mm ,选 A. 第 10 题图 2 1 2 1 11.如图,设 P, Q 为 ?ABC 内的两点,且 AP = AB + AC , AQ = AB + AC , 5 5 3 4
C

则 ?ABP 的面积与 ?ABQ 的面积之比为( 1 A. 5

)
Q P A B

4 1 1 B. C. D. 5 4 3 2 1 【解析】如图,设 AM = AB , AN = AC ,则 AP = AM + AN . 5 5

第 11 题图
C

Q

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A M B

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由平行四边形法则知 NP // AB ,所以
1 ?ABP AN = , = 5 ?ABC AC

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同理可得

?ABQ 1 ?ABP 4 = .故 = ,选 B. ?ABC 4 ?ABQ 5

12.如图,用与底面成 30° 角的平面截圆柱得一椭圆截线,则该椭圆的 离心率为 ( ) A. . 1 2 B. .
3 3

C. .

3 2

D.非上述结论 .

第 12 题图

【解析】用平面截圆柱,截线椭圆的短轴长为圆柱截面圆的直径,弄清了这一概念, 1 考虑椭圆所在平面与底面成 30° 角,则离心率 e = sin 30° = .故选 A. 2 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在题中横线上. 13.一平面截球面产生的截面形状是_______;它截圆柱面所产生的截面形状是 ________ 【解析】圆;圆或椭圆. 14.如图,在△ABC 中,AB=AC,∠C=720,⊙O 过 A、B 两点且 与 BC 相切于点 B,与 AC 交于点 D,连结 BD,若 BC= 5 ? 1 , 则 AC= 【解析】由已知得 BD = AD = BC , BC 2 = CD ? AC = ( AC ? BC )i AC , 解得 AC = 2 . 15.如图, AB 为 ⊙O 的直径,弦 AC 、 BD 交于点 P , 若 AB = 3, CD = 1 ,则 sin ∠APD = AD 【解析】连结 AD ,则 sin ∠APD = ,又 ?CDP ? ?BAP , AP PD CD 1 第 15 题图 = = , 从而 cos ∠APD PA BA 3 30 1 2 2 2 所以 sin ∠APD = 1 ? ( ) = . 135 3 3 180 16.如图为一物体的轴截面图,则图中 R 的值 是 第 16 题图 30 【解析】由图可得 R 2 = ( )2 + (180 ? 135 ? R )2 ,解得 R = 25 . 2
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A

D C

第 14 题图

R

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三、 解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 如图: EB, EC 是 ⊙O 的两条切线, B, C 是切点, A, D 是 ⊙O 上两点,如果 ∠E = 46°, ∠DCF = 32° ,试求 ∠A 的度数. 【解析】连结 OB, OC , AC ,根据弦切角定理,可得 1 ∠A = ∠BAC + ∠CAD = (180° ? ∠E ) + ∠DCF = 67° + 32° = 99° . 第 17 题图 2 18.(本小题满分 12 分) E 如图,⊙ O 的直径 AB 的延长线与弦 CD 的延长线相交于点 P ,
A E 为⊙O 上一点, AE = AC , DE 交 AB 于点 F ,且 AB = 2 BP = 4 , 求 PF 的长度. 【解析】连结 OC, OD, OE ,由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系 F O C B D P

第 18 题图

结合题中条件 AE = AC 可得 ∠CDE = ∠AOC ,又 ∠CDE =∠P +∠PFD, E PF PD ∠AOC = ∠P +∠C ,从而 ∠PFD=∠C,故 ?PFD ? ?PCO ,∴ , = F B PC PO A O D PC ? PD 12 C 由割线定理知 PC ? PD = PA? PB =12,故 PF = = = 3. PO 4 19.(本小题满分 12 分) E 已知:如右图,在等腰梯形 ABCD 中,AD∥BC, D A AB=DC,过点 D 作 AC 的平行线 DE,交 BA 的延长线于 点 E.求证:(1)△ABC≌△DCB (2)DE·DC=AE·BD. B 【解析】证明:(1) ∵四边形 ABCD 是等腰梯形,∴AC=DB 第 19 题图 ∵AB=DC,BC=CB,∴△ABC≌△BCD (2)∵△ABC≌△BCD,∴∠ACB=∠DBC,∠ABC=∠DCB ∵AD∥BC,∴∠DAC=∠ACB,∠EAD=∠ABC ∵ED∥AC,∴∠EDA=∠DAC ∴∠EDA=∠DBC,∠EAD=∠DCB ∴△ADE∽△CBD ∴DE:BD=AE:CD, ∴DE·DC=AE·BD. 20.(本小题满分 12 分) 如图,△ABC 中,AB=AC,AD 是中线,P 为 AD 上一点,CF∥AB, 延长线交 AC、 BP
CF 于 E、F,求证: PB 2 =PE?PF.

P

C

【解析】连结 PC ,易证 PC = PB, ∠ABP = ∠ACP ∵ CF // AB ∴ ∠F = ∠ABP ,从而 ∠F = ∠ACP 又 ∠EPC 为 ?CPE 与 ?FPC 的公共角, CP PE 第 20 题图 从而 ?CPE ? ?FPC ,∴ = ∴ PC 2 = PE ? PF FP PC

解答用图

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又 PC = PB , ∴ PB 2 = PE ? PF ,命题得证. E 21.(本小题满分 12 分) A 如图, A 是以 BC 为直径的 ⊙O 上一点, AD ⊥ BC 于点 D , F 过点 B 作 ⊙O 的切线,与 CA 的延长线相交于点 E,G 是 AD G 的中点,连结 CG 并延长与 BE 相交于点 F , 延长 AF 与 CB 的延长线相交于点 P . P B D O (1)求证: BF = EF ; (2)求证: PA 是 ⊙O 的切线; (3)若 FG = BF ,且 ⊙O 的半径长为 3 2 ,求 BD 和 FG 的长度. 第 21 题图 【解析】(1)证明:∵ BC 是 ⊙O 的直径, BE 是 ⊙O 的切线, E ∴ EB ⊥ BC .又∵ AD ⊥ BC ,∴ AD ∥ BE . A 易证 △BFC ∽△DGC , △FEC ∽△GAC . F BF CF EF CF BF EF H ∴ = , = .∴ = . G DG CG AG CG DG AG ∵ G 是 AD 的中点,∴ DG = AG .∴ BF = EF . P B D O (2)证明:连结 AO,AB .∵ BC 是 ⊙O 的直径,∴ ∠BAC = 90° . 在 Rt△BAE 中,由(1) ,知 F 是斜边 BE 的中点, ∴ AF = FB = EF .∴ ∠FBA = ∠FAB .又∵ OA = OB ,∴ ∠ABO = ∠BAO . ∵ BE 是 ⊙O 的切线,∴ ∠EBO = 90° . ∵ ∠EBO = ∠FBA + ∠ABO = ∠FAB + ∠BAO = ∠FAO = 90° ∴ PA 是 ⊙O 的切线. , (3)解:过点 F 作 FH ⊥ AD 于点 H .∵ BD ⊥ AD,FH ⊥ AD ,∴ FH ∥ BC . 由(1),知 ∠FBA = ∠BAF ,∴ BF = AF . 由已知,有 BF = FG ,∴ AF = FG ,即 △ AFG 是等腰三角形. HG 1 ∵ FH ⊥ AD ,∴ AH = GH .∵ DG = AG ,∴ DG = 2 HG ,即 = . DG 2 ∵ FH ∥ BD,BF ∥ AD,∠FBD = 90° ,∴四边形 BDHF 是矩形, BD = FH . FH FG HG ∵ FH ∥ BC , 易 证 △HFG ∽△DCG . ∴ = = , 即 CD CG DG BD FG HG 1 = = = . CD CG DG 2 BD BD BD 1 ∵ ⊙O 的半径长为 3 2 ,∴ BC = 6 2 .∴ = = = . CD BC ? BD 6 2 ? BD 2 FG HG 1 解 得 BD = 2 2 . ∴ BD = FH = 2 2 . ∵ = = , CG DG 2 1 ∴ FG = CG .∴ CF = 3FG . 2 在 Rt△FBC 中,∵ CF = 3FG , BF = FG ,由勾股定理,得 CF 2 = BF 2 + BC 2 . ∴ (3FG ) 2 = FG 2 + (6 2) 2 .解得 FG = 3 (负值舍去) ∴ FG = 3 . .
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C

C

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[ 或 取 CG 的 中 点 H , 连 结 DH , 则 CG = 2 HG . 易 证 △ AFC ≌△DHC , ∴ FG = HG ,故 CG = 2 FG ,CF = 3FG .由 GD ∥ FB ,易知 △CDG ∽△CBF , CD CG 2 FG 2 ∴ = = = . CB CF 3FG 3 6 2 ? BD 2 由 = ,解得 BD = 2 2 .又在 Rt△CFB 中,由勾股定理,得 3 6 2
. (3FG)2 = FG2 + (6 2)2 ,∴ FG = 3 (舍去负值)] 22.(本小题满分 14 分) AC BC = ,那么称点 C 为线段 AB 的 如图 1,点 C 将线段 AB 分成两部分,如果 . AB AC 黄金分割点.某研究小组在进行课题学习时,由黄金分割点联想到“黄金分割线” , 类似地给出“黄金分割线”的定义:直线 l 将一个面积为 S 的图形分成两部分,这两 S S 部分的面积分别为 S1 , S2 ,如果 1 = 2 ,那么称直线 l 为该图形的黄金分割线. S S1 (1)研究小组猜想:在 △ ABC 中,若点 D 为 AB 边上的黄金分割点(如图 2),则 直线 CD 是 △ ABC 的黄金分割线.你认为对吗?为什么? (2)请你说明:三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线? (3)研究小组在进一步探究中发现:过点 C 任作一条直线交 AB 于点 E ,再过点 D 作直线 DF ∥ CE ,交 AC 于点 F ,连接 EF (如图 3),则直线 EF 也是 △ ABC 的黄 金分割线.请你说明理由. (4)如图 4, E 是 ? ABCD 的边 AB 的黄金分割点, 点 过点 E 作 EF ∥ AD , DC 交 于点 F ,显然直线 EF 是 ? ABCD 的黄金分割线.请你画一条 ? ABCD 的黄金分割 线,使它不经过 ? ABCD 各边黄金分割点.

第 22 题图 【解析】(1)直线 CD 是 △ ABC 的黄金分割线.理由如下:设 △ ABC 的边 AB 上的高 为h. S 1 1 1 AD S△ ADC = ADih , S△ BDC = BDih , S△ ABC = AB ih , 所 以 △ ADC = , 2 2 2 S△ ABC AB S△ BDC BD = S△ ADC AD S S AD BD 又因为点 D 为边 AB 的黄金分割点,所以有 = .因此 △ ADC = △ BDC . AB AD S△ ABC S△ ADC 所以,直线 CD 是 △ ABC 的黄金分割线.
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1 s ,即 2

(2)因为三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分,此时 s1 = s2 =

s1 s2 ≠ ,所以三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线. s s1 (3)因为 DF ∥ CE ,∴ △DEC 和 △FCE 的公共 边 CE 上的高也相等,所 以有 S△DEC = S△FCE
所以 S△ DGE = S△ FGC . 所以 S△ ADC = S四边形AFGD + S△ FGC 设直线 EF 与 CD 交于点 G .

= S四边形AFGD + S△ DGE = S△ AEF , S△ BDC = S四边形BEFC .

C C S S S S 又因为 △ ADC = △ BDC ,所以 △ AEF = 四边形BEFC . G S△ ABC S△ AEF S△ ABC S△ ADC A E M B A E M B 因此,直线 EF 也是 △ ABC 的黄金分割线. (第 22 题答图 1) (第 22 题答图 2) (4)画法不惟一,现提供两种画法; 画法一:如答图 1,取 EF 的中点 G ,再过点 G 作一条直线分别交 AB , DC 于 M , N 点,则直线 MN 就是 ? ABCD 的黄金分割线. 画法二:如答图 2,在 DF 上取一点 N ,连接 EN ,再过点 F 作 FM ∥ NE 交 AB 于 点 M ,连接 MN ,则直线 MN 就是 ? ABCD 的黄金分割线.

DN F

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