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立体几何中垂直与求体积问题

卓尔不凡
卓越文化教育个性化教案 授课教师 学生姓名 陈老师 学 科 数学 年 级 教学主题 高二 授课日期

超越自我

2014 年 6 月 29 日

立体几何中垂直与求体积问题

知识点归纳: 一、立体几何垂直关系
1 线面垂直定义: 如果一条直线和一个平面相交, 并且和这个平面内的任意一条直线都垂直, 我们就说这条直线和这个平面相互垂直, 其中直线叫做平面的垂线,平面叫做直线的垂面,交点叫做垂足; 直线与平面垂直简称线面垂直,记作:a⊥α

2 直线与平面垂直的判定定理: 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面。

3 直线和平面垂直的性质定理: 如果两条直线同垂直于一个平面,那麽这两条直线平行

4 三垂线定理 在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂

P
O

直。 说明: (1)定理的实质是判定平面内的一条直线和平面的一条斜线的垂直关系;

A

?

a

(2)推理模式:

P O? ? , O ?? ? ? PA ? ? A ?? a ? ? a ? ? , a? O A ?

PA

5.三垂线定理的逆定理: 在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那麽它也和这条斜线的射影垂直。

推理模式:

P O? ? , O ?? ? ? PA ? ? A ?? a ? ? a ? ? , a? A P ?

AO

注意:⑴三垂线指 PA,PO,AO 都垂直α 内的直线 a. 其实质是:斜线和平面内一条直线垂直的判定和性质定理
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⑵要考虑 a 的位置,并注意两定理交替使用

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6 两个平面垂直的定义: 两个相交成直二面角的两个平面互相垂直;相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面

7.两平面垂直的判定定理: 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直。 推理模式: a ? ? , a ? ? ? ? ? ? .

8.两平面垂直的性质定理: 若两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面 推理模式: ? ? ? , ?

? ? l, a ? ? , a ? l ? a ? ?

9 向量法证明直线与平面、平面与平面垂直的方法: ①证明直线与平面垂直的方法:直线的方向向量与平面的法向量平行; ②证明平面与平面垂直的方法:两平面的法向量垂直

*立体几何垂直大题小结:
1、有关异面直线垂直的问题,除了用定义法外,还常常借助三垂线定理,转化为同一平面内的直线的垂直问 题来处理或在两直线上分别取它们的方向向量,然后证它们的数量积为 0 2、证明直线和平面垂直我们可以用定义法,即证明直线与平面内的任一条直线垂直,但常用的还是线面垂直 的判定定理,证明直线垂直于平面内的两条相交直线,当然再证这直线(这平面)与已知直线(或平面)重合,有 时侯将线面垂直问题转化为证面面垂直问题,也许会给你带来意想不到的收获 3、面面垂直的问题一般转化为线面垂直的问题来解决,如证面面垂直可转化为证明一个平面经过另一个平面 的垂线 用向量法证明垂直,就是证有关向量的数量积为 0

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卓尔不凡 例题解析:
例 1 在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,

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求证:

DB1

是平面

ACD1

的法向量.

例 2 已知 PA⊥⊙O 所在的平面,AB 是⊙O 的直径,C 是⊙O 上任意一点,过 A 点作 AE⊥PC 于点 E,求证: AE⊥平面 PBC
P

E A O C B

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例 3 在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,B1C1=A1C1,A1B⊥AC1, 求证:A1B⊥B1C

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C

A

D

B

C1 A1 D1 B1

z
例 4 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别是 BB1,CD 的中点 (1)求证:AD⊥D1F;(2)求 AE 与 D1F 所成的角;(3)证明平面 AED⊥平面 A1FD1
A1 B1 C1 D A B C D1

y

x

例 5 如图,已知 AB 是圆 O 的直径, PA 垂直于 O 所在的平面, C 是圆周上不同于 A, B 的任一点,求证:平面 PAC ? 平面 PBC .

P

A

O C

B

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二、立体几何大题中有关体积的求法
1、求空间距离中,求点到平面的距离是重点,求两条异面直线间的距离是难点 2、求点到平面的距离通常有四种方法
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(1)直接法,即直接由点作垂线,求垂线段的长 (2)转移法,转化成求另一点到该平面的距离 (3)体积法 (4)向量法 例题分析: (or 等体积法)

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P Q H E A C D

例 1、如图,已知 ABCD 是矩形,AB=a,AD=b,PA⊥平面 ABCD,PA=2c,Q 是 PA 的中点 求
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(1)Q 到 BD 的距离; (2)P 到平面 BQD 的距离
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例 2. 如图,在棱长为 2 的正方体 AC1 中,G 是 AA1 的中点,求 BD 到平面 GB1 D1 的距离. .

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D1
A1
H G D A

O1
B1

C1

C O B

例 3、已知正四棱柱 ABCD—A1B1C1D1,点 E 在棱 D1D 上,截面 EAC∥D1B 且面 EAC 与底面 ABCD 所成的角为 45°,AB=a,求
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D1

C1 B1

(1)截面 EAC 的面积; (2)异面直线 A1B1 与 AC 之间的距离; (3)三棱锥 B1—EAC 的体积
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A1 E D A

C B

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三、立体几何中垂直与求体积综合练习题:
例 1:在四面体 D-ABC 中,AB=BC,在侧面 DAC 中,中线 AN⊥中线 DM, 且 DB ⊥AN. (1)求证:平面 ACD⊥平面 ABC; (2)若 AN=4,DM=3,BD=5,求四面体 D-ABC 的体积.

1 例 2: 如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧棱垂直底面,∠ACB=90° ,AC=BC= AA1,D 是棱 AA1 的中点. 2 (1)证明:平面 BDC1⊥平面 BDC; (2)平面 BDC1 分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比. A1 C1

B1

D C A B

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例 3、如图,在三棱锥 P ? ABC 中,⊿ PAB 是等边三角形,∠PAC=∠PBC=90 ? (Ⅰ)证明:AB⊥PC (Ⅱ)若 PC ? 4 ,且平面 PAC ⊥平面 PBC ,求三棱锥 P ? ABC 体积。

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