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江西省南昌市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷(乙卷)


江西省南昌市 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷(乙卷)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项符合题目要求. ) 1. (5 分)已知角 α 的终边经过点 P(0,﹣4) ,则 tanα=() A.0 B.﹣4 C.4 D.不存在 2. (5 分)设 A. 是两个单位向量,则下列结论中正确的是() B. C. D.

3. (5 分)已知| |= A.150°

,| |=2

, . =﹣3,则 与 的夹角是() C.60° D.30°

B.120°

4. (5 分)代数式 sin120°cos210°的值为() A.﹣ B. C.﹣ D.

5. (5 分)若 cos(π+α)=﹣ ,则 cosα 的值为() A.﹣ B .﹣ C. D.

6. (5 分)若 tan(α﹣β)= ,tanβ= ,则 tanα 等于() A.﹣3 B .﹣ C.3 D.

7. (5 分)如图所示,矩形 ABCD 中,AB=4,点 E 为 AB 中点,若

,则|

|=()

A.

B .2

C.3

D.2

8. (5 分)函数 y=sin2x 是()

A.周期为 π 的奇函数 C. 周期为 2π 的奇函数

B. 周期为 π 的偶函数 D.周期为 2π 的偶函数 )的部分图象如图示,则将 y=f

9. (5 分)函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>) ,|φ|< (x)的图象向右平移 个单位后,得到的图象解析式为()

A.y=sin2x ﹣ )

B.y=cos2x

C.y=sin(2x+



D.y=sin(2x

10. (5 分)f(x)=a+ A.﹣

是奇函数,则 a=() B. C.﹣1 D.1

11. (5 分)设函数 f(x)=Asin(ωx+φ) , (A≠0.ω>0,|φ|< 称,它的周期是 π,则() A.f(x)的图象过点(0, ) B. f(x)在[ , ]上是减函数 ,0)

)的图象关于直线 x=



C. f(x)的一个对称点中心是( D.f(x)的最大值是 A

12. (5 分)已知函数 f(x)= A. B.

sinx+ cosx,则 f(

)=() C.1 D.

二、填空题(本大题共 4 个小题.每小题 5 分.共 20 分) 13. (5 分)若 =(1,2) , =(3,﹣4) ,则 在 方向上的投影为.

14. (5 分)l 弧度的圆心角所对的弧长为 6,则这个圆心角所夹的扇形的面积是 .

15. (5 分)函数

的定义域为.

16. (5 分) 如图, 平行四边形 ABCD 中, E 是边 BC 上一点, G 为 AC 与 DE 的交点, 且 若 = , ,则用 , 表示 =.



三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答题应根据要求写出必要的文字说明.证明过程 或演算步骤) 2 17. (12 分)已知函数 f(x)=sin 2x+ sin2x?cos2x. (1)求 f(x)的最小正周期; (2)若 x∈[ , ],且 f(x)=1,求 x 的值.

18. (12 分)已知函数 f(x)=sin(



) .

(1)请用“五点法”画出函数 f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图(先在所给的表格中 填上所需的数值,再画图) ; (2)求函数 f(x)的单调递增区间.

19. (12 分)已知函数 f(x)=

sinωx﹣2sin

2

(ω>0)的最小正周期为 3π.当 x∈[



]时,求函数 f(x)的最小值.

20. (12 分)已知点 A(﹣1,0) ,B(0,1) ,点 P(x,y)为直线 y=x﹣1 上的一个动点.

(1)求证:∠APB 恒为锐角; (2)若| |=| |,求向量 + 的坐标.

21. (12 分)已知 cos(x﹣ (1)求 sinx 的值; (2)求 sin(2x )的值.

)=

,x∈(



) .

22. (10 分)已知函数 f(x)=ax ﹣4x+2,函数 g(x)=( )

2

f(x)

(1)若 f(2﹣x)=f(2+x) ,求 f(x)的解析式; (2)若 g(x)有最大值 9,求 a 的值,并求出 g(x)的值域.

江西省南昌市 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷 (乙卷)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项符合题目要求. ) 1. (5 分)已知角 α 的终边经过点 P(0,﹣4) ,则 tanα=() A.0 B . ﹣4 C. 4 D.不存在 考点: 任意角的三角函数的定义. 专题: 三角函数的求值. 分析: 根据三角函数的定义进行求解即可. 解答: 解:∵角 α 的终边经过点 P(0,﹣4) , ∴α=270°, 此时 tanα 不存在, 故选:D 点评: 本题主要考查三角函数值的求解,根据三角函数的定义是解决本题的关键.比较基 础. 2. (5 分)设 A. 是两个单位向量,则下列结论中正确的是() B. C. D.

考点: 单位向量.

专题: 平面向量及应用. 分析: 由 解答: 解:∵ 是两个单位向量,可得 是两个单位向量,∴ ,即可得出. ,

故选:D. 点评: 本题考查了对单位向量的理解和应用,属于基础题.

3. (5 分)已知| |= A.150°

,| |=2 B.120°

, . =﹣3,则 与 的夹角是() C.60° D.30°

考点: 数量积表示两个向量的夹角. 专题: 计算题. 分析: 设出两个向量的夹角,利用向量的数量积公式列出方程,求出夹角的余弦,利用夹 角的范围求出夹角. 解答: 解:设两个向量的夹角为 θ ∵ ∴ ∴ ∵θ∈[0,π] ∴θ=120° 故选 B 点评: 求两个向量的夹角,一般先利用向量的数量积公式求出向量夹角的余弦,注意向量 夹角的范围,求出向量的夹角. 4. (5 分)代数式 sin120°cos210°的值为() A.﹣ B. C. ﹣ D.

考点: 运用诱导公式化简求值. 专题: 三角函数的求值. 分析: 原式中的角度变形后,利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果. 解答: 解:原式=sin(180°﹣60°)cos(180°+30°)=﹣sin60°cos30°=﹣ × =﹣ .

故选 A 点评: 此题考查了运用诱导公式化简求值,熟练掌握诱导公式是解本题的关键.

5. (5 分)若 cos(π+α)=﹣ ,则 cosα 的值为()

A.﹣

B. ﹣

C.

D.

考点: 运用诱导公式化简求值. 专题: 三角函数的求值. 分析: 运用诱导公式即可化简求值. 解答: 解:∵cos(π+α)=﹣cosα=﹣ , ∴cos .

故选:C. 点评: 本题主要考查了运用诱导公式化简求值,属于基础题.

6. (5 分)若 tan(α﹣β)= ,tanβ= ,则 tanα 等于() A.﹣3 B. ﹣ C. 3 D.

考点: 两角和与差的正切函数. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由两角和与差的正切函数公式化简已知,代入 tanβ= ,即可求值.

解答: 解:∵tan(α﹣β)=

=

= ,

∴可解得:tanα=3. 故选:C. 点评: 本题主要考查了两角和与差的正切函数公式的应用,属于基础题.

7. (5 分)如图所示,矩形 ABCD 中,AB=4,点 E 为 AB 中点,若

,则|

|=()

A.

B. 2

C. 3

D.2

考点: 向量的模. 专题: 平面向量及应用. 分析: 如图所示,建立直角坐标系.利用 公式即可得出. ,可得 =0,再利用向量模的计算

解答: 解:如图所示,建立直角坐标系. 则 B(4,0) ,E(2,0) . 设 D(0,m) , (m>0) ,C(4,m) . ∴ ∵
2

=(2,﹣m) , ,

=(4,m) .

∴2×4﹣m =0, 2 解得 m =8. ∴ = = .

故选:B.

点评: 本题考查了向量的垂直与数量积的关系、模的计算公式,属于基础题. 8. (5 分)函数 y=sin2x 是() A.周期为 π 的奇函数 C. 周期为 2π 的奇函数 考点: 专题: 分析: 解答:

B. 周期为 π 的偶函数 D.周期为 2π 的偶函数

正弦函数的单调性;三角函数的周期性及其求法. 三角函数的图像与性质. 根据三角函数的周期公式即可求出函数的周期和函数的奇偶性. 解:∵ω=2, .

∴函数的周期 T=

∵f(﹣x)=sin(﹣2x)=﹣sin2x, ∴函数 y=sin2x 为奇函数, 故函数 y=sin2x 是周期为 π 的奇函数, 故选:A. 点评: 本题主要考查三角函数的图象和性质,要求熟练掌握函数的周期性和奇偶性的判断 方法.

9. (5 分)函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>) ,|φ|< (x)的图象向右平移 个单位后,得到的图象解析式为()

)的部分图象如图示,则将 y=f

A.y=sin2x

B.y=cos2x

C.y=sin(2x+

) D.y=sin(2x﹣



考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 计算题. 分析: 通过函数的图象求出 A,求出函数的周期,利用周期公式求出 ω,函数过( 结合 φ 的范围,求出 φ,推出函数的解析式,通过函数图象的平移推出结果. 解答: 解:由图象知 A=1, T= 由 sin(2× ?φ= ?f(x)=sin(2x+ 则图象向右平移 ) , 个单位后得到的图象解析式为 y=sin[2(x﹣ )+ ]=sin(2x﹣ ) , +φ)=1,|φ|< 得 ﹣ +φ= = ,T=π?ω=2, ) ,

故选 D. 点评: 本题考查学生的视图能力,函数的解析式的求法,图象的变换,考查计算能力. 10. (5 分)f(x)=a+ A.﹣ B. 是奇函数,则 a=() C . ﹣1 D.1

考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用奇函数的性质 f(0)=0 即可得出. 解答: 解:∵f(x)=a+ ∴f(0)= 解得 a=﹣ . 经过验证 a=﹣ 满足条件. 故选:A. 点评: 本题考查了奇函数的性质,属于基础题. =0, 是奇函数,

11. (5 分)设函数 f(x)=Asin(ωx+φ) , (A≠0.ω>0,|φ|< 称,它的周期是 π,则() A.f(x)的图象过点(0, ) B. f(x)在[ , ]上是减函数 ,0)

)的图象关于直线 x=



C. f(x)的一个对称点中心是( D.f(x)的最大值是 A

考点: 正弦函数的图象;由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 专题: 计算题;三角函数的图像与性质. 分析: 由周期公式可先求 ω,根据函数对称轴处取得函数最值,由函数的图象关于直线 x= 对称,可得 sin(φ+ )=±1,代入可得 φ= ,根据三角函数的性质逐个检验选项.

解答: 解:∵T=π, ∴ω= = =2, 对称,

∵图象关于直线 x= ∴sin(φ+ 即 ×2+φ=

×2)=±1, +kπ,k∈Z, ,

又∵﹣ ∴φ=

<φ< ,

∴f(x)=Asin(2x+ 故选:C.

) .再用检验法逐项验证.

点评: 本题考查了三角函数的性质,周期公式 T= 弦函数在对称轴处取得最值,属于中档题.

的应用,三角函数对称轴的性质,正

12. (5 分)已知函数 f(x)= A. B.

sinx+ cosx,则 f( C. 1

)=() D.

考点: 两角和与差的正弦函数. 专题: 计算题;三角函数的求值.

分析: 由两角和的正弦公式化简解析式后代入即可求解. 解答: 解:∵f(x)= ∴f( )=sin( + sinx+ cosx=sin(x+ )=sin = , ) ,

故选:A. 点评: 本题主要考察了两角和与差的正弦函数公式的应用,属于基础题. 二、填空题(本大题共 4 个小题.每小题 5 分.共 20 分) 13. (5 分)若 =(1,2) , =(3,﹣4) ,则 在 方向上的投影为﹣1.

考点: 平面向量数量积的含义与物理意义. 专题: 平面向量及应用. 分析: 投影即为| |cosθ,利用数量积运算求出 cosθ 即可. 解答: 解:设 ∵ ∴ ,| |=5, =﹣5 的夹角为 θ

∴cosθ=

=﹣

故投影为| |cosθ=﹣1 故答案为:﹣1 点评: 本题主要考察了向量的数量积运算,难度不大,属于基础题. 14. (5 分)l 弧度的圆心角所对的弧长为 6,则这个圆心角所夹的扇形的面积是 18. 考点: 扇形面积公式. 专题: 计算题. 分析: 由弧度的定义可求得扇形的半径,再由扇形的面积公式求解即可. 解答: 解:由弧度定义得 α= ,所以 r=6,所以 S= lr= ?6?6=18. 故答案为:18 点评: 本题考查扇形的弧长公式和面积公式,属基础知识、基本运算的考查.

15. (5 分)函数

的定义域为{x|x>2 且 x≠3}.

考点: 函数的定义域及其求法;对数函数的定义域. 专题: 计算题. 分析: 根据对数函数及分式有意义的条件可得 ,解不等式可得

解答: 解:根据对数函数及分式有意义的条件可得 解可得,x>2 且 x≠3 故答案为:{x|x>2 且 x≠3} 点评: 本题属于以函数的定义为平台,求集合的交集的基础题,也是高考常考的基础型.

16. (5 分) 如图, 平行四边形 ABCD 中, E 是边 BC 上一点, G 为 AC 与 DE 的交点, 且 若 = , ,则用 , 表示 = .



考点: 向量的线性运算性质及几何意义. 专题: 平面向量及应用. 分析: 利用向量的三角形法则和向量共线定理、平行四边形的性质即可得出. 解答: 解:∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为: = . . , , = = . , ,

点评: 本题考查了向量的三角形法则和向量共线定理、平行四边形的性质,属于基础题. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答题应根据要求写出必要的文字说明.证明过程 或演算步骤) 2 17. (12 分)已知函数 f(x)=sin 2x+ sin2x?cos2x. (1)求 f(x)的最小正周期;

(2)若 x∈[



],且 f(x)=1,求 x 的值.

考点: 三角函数中的恒等变换应用;三角函数的周期性及其求法. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (1)利用三角函数的倍角公式将函数进行化简,即可求 f(x)的最小正周期; (2)根据 f(x)=1,解方程即可. 解答: 解: (1) = 因为 .…(4 分) ,所以 f(x)的最小正周期是 .…(6 分) . …(7 分) ,…(10 分) = …(2 分)

(2)由(1)得, 因为 f(x)=1,所以 而 所以 ,所以 …(12 分)

点评: 本题主要考查三角函数的周期和方程的求解,根据倍角公式将函数化简是解决本题 的关键. ,要求熟练三角函数的图象和性质.

18. (12 分)已知函数 f(x)=sin(



) .

(1)请用“五点法”画出函数 f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图(先在所给的表格中 填上所需的数值,再画图) ; (2)求函数 f(x)的单调递增区间.

考点: 五点法作函数 y=Asin(ωx+φ)的图象;正弦函数的图象. 专题: 作图题;三角函数的图像与性质. 分析: (1)分别令 即可; ﹣ =0, ,π, ,2π,得到相应的 x 的值及 y 的值,再描点

(2)令 解答: 解: (1)令 x X 0 1 π 0 ﹣1 2π 0 ,则

可解得该函数的增区间. .填表:

y 0 …(5 分)

(2)令 解得 所以函数 …(10 分) 的单调增区间为

…(8 分)

…(12 分)

点评: 本题考查五点法作函数 y=Asin(ωx+φ)的图象,着重考查余弦函数的单调性,属于 中档题.
2

19. (12 分)已知函数 f(x)=

sinωx﹣2sin

(ω>0)的最小正周期为 3π.当 x∈[



]时,求函数 f(x)的最小值.

考点: 三角函数中的恒等变换应用;三角函数的周期性及其求法. 专题: 三角函数的求值;三角函数的图像与性质. 分析: 由三角函数中的恒等变换可得 f(x)=2sin(ωx+ 即可求当解析式 f(x)=2sin( x+ 数 f(x)的最小值. 解答: 解: (ωx)+cos(ωx)﹣1 =2sin(ωx+ )﹣1 …(4 分) = sin(ωx)﹣2? = sin )﹣1,由 ≤ x≤ )﹣1,根据周期公式即可解得 ω, ,根据正弦函数的性质即可求得函

依题意函数 f(x)的最小正周期为 3π,即 所以 f(x)=2sin( x+ 由 ≤x≤ ,得 = )﹣1.…(6 分) ≤

=3π,解得 ω= ,

≤ x+ ,即 x=

,…(8 分) 时,…(10 分)

所以,当 x+ f(x)最小值=2×

﹣1=

﹣1.…(12 分)

点评: 本题主要考察了三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法,三角函 数的图象与性质,属于基础题. 20. (12 分)已知点 A(﹣1,0) ,B(0,1) ,点 P(x,y)为直线 y=x﹣1 上的一个动点. (1)求证:∠APB 恒为锐角; (2)若| |=| |,求向量 + 的坐标.

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 计算题;平面向量及应用. 分析: (1)设出 P 的坐标,求出向量 PA,PB 的坐标,运用向量为锐角的条件,计算数量 积,即可得证; (2)运用向量模的公式,计算求出 x,再由向量的加减坐标运算即可得到. 解答: (1)证明:点 P(x,y)在直线 y=x﹣1 上,即点 P(x,x﹣1) , 即 即有 , ,





若 A,P,B 三点在一条直线上,则





得到(x+1) (x﹣2)﹣(x﹣1)x=0,方程无解,则∠APB≠0, 则有∠APB 恒为锐角. (2)解:由|AP|=|BP|, 即 ,即 , . ,

化简得到 2x﹣1=0,即 则 ,

点评: 本题考查向量的共线的坐标表示,以及向量的夹角为锐角的条件,考查向量模的公 式的运用,考查运算能力,属于基础题.

21. (12 分)已知 cos(x﹣ (1)求 sinx 的值; (2)求 sin(2x )的值.

)=

,x∈(



) .

考点: 两角和与差的正弦函数;运用诱导公式化简求值. 专题: 计算题. 分析: (1)利用 x 的范围确定 x﹣ (x﹣ 的范围,进而利用同角三角函数的基本关系求得 sin )+ ]利用两角和公式求得答案

)的值,进而根据 sinx=sin[(x﹣

(2)利用 x 的范围和(1)中 sinx 的值,利用同角三角函数的基本关系求得 cosx 的值,进而 根据二倍角公式求得 sin2x 和 cos2x 的值, 最后代入正弦的两角和公式求得答案. 解答: 解: (1)因为 x∈( 所以 x﹣ sin(x﹣ ∈( )= )+ ] +cos(x﹣ = . , ) , =﹣ , . +cos2xsin =﹣ . )sin ) , = . , ) ,

sinx=sin[(x﹣ =sin(x﹣ = × +

)cos ×

(2)因为 x∈( 故 cosx=﹣

sin2x=2sinxcosx=﹣ cos2x=2cos x﹣1=﹣ 所以 sin(2x+ =﹣ .
2

)=sin2xcos

点评: 本题主要考查了两角和公式的化简求值和同角三角函数基本关系的应用.考查了学 生基础知识的掌握和基本运算能力.

22. (10 分)已知函数 f(x)=ax ﹣4x+2,函数 g(x)=( )

2

f(x)

(1)若 f(2﹣x)=f(2+x) ,求 f(x)的解析式; (2)若 g(x)有最大值 9,求 a 的值,并求出 g(x)的值域. 考点: 函数解析式的求解及常用方法;二次函数的性质. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: (1)由 f(2﹣x)=f(2+x)知 f(x)的对称轴为 x=2,从而得到 (2)由 最小值﹣2,从而求函数 解答: 解: (1)∵f(2﹣x)=f(2+x) , ∴f(x)的对称轴为 x=2, 即 =2,即 a=1.
2

=2,从而解得;
2

有最大值 9,又由 的值域.

为减函数知 f(x)=ax ﹣4x+2 有

∴所求 f(x)=x ﹣4x+2. (2)由已知: 又
2

有最大值 9,

为减函数,

∴f(x)=ax ﹣4x+2 有最小值﹣2,


2

解得 a=1,
2

f(x)=x ﹣4x+2=(x﹣2) ﹣2≥﹣2; ∴函数 的值域为(0,9].

点评: 本题考查了复合函数的单调性与值域的求法,属于基础题.


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