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上海市闸北区2013届高三数学三模试卷(文科,含答案)


闸北区 2013 年高考数学(文科)模拟试题
(满分:150 分 考试时间:120 分钟) 2013.5
一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填 写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分.
x 1.若 A ? x ? R x ? 2 , B ? x ? R 2 ? 1 ,则 A ? B ?

?

?

?

?

. (0,2) .8

2.已知 ?an ? 为等差数列, a1 + a3 + a5 =9, a2 ? a4 ? a6 =15,则 a3 ? a4 ? 3. 某程序框图如图所示, 该程序运行后输出的 k 的值是 .4

4. 已知 f ( x) ? a tan x ? b cos x ? 4(其中以 a、b 为常数且 ab ? 0 ) , 如果 f (3) ? 5 ,则 f (2013? ? 3) 的值为 .3 5.设等比数列{ a
n

}的前 n 项和为 S n ,若

S S4 ? 4 ,则 8 = S2 S4

.10

6. (文科)一个几何体的三视图如图所示,其 中主视图和左视图是全等的正三角形, 且该几 何体的表面积为 3 ? ,则该几何体的 体积为 .

主视图

左视图

3? 3
俯视图

? ? ? 视图 ? 7.设向量 a ? (a1 , a2 ) ,b ? (b1 , b2 ) ,定义一运算:a ? b ? (a1, a2 ) ? (b1, b2 ) ? (a1b1, a2b2 ) , ? ???? ?? ? ?? 1 已知 m ? ( , 2) , n ? ( x1 ,sin x1 ) .点 Q 在 y ? f ( x) 的图像上运动,且满足 OQ ? m ? n 2 (其中 O 为坐标原点) ,则 y ? f ( x) 的最小正周期的和是 .?
8.某小组共有 n(n ? 2, n ? N ) 名学生,其中恰有一对双胞胎,若从中随机抽查 4 位学生的

2 ,则 n ? _________. 10 _ 15 ?x ? 4 y ? 3 ? 0 ? 9.设 O 为坐标原点,点 M (1 , 1) ,若 N ( x , y ) 满足 ?2 x ? y ? 12 ? 0 . 则 OM ? ON 的最大 ?x ? 1 ?
作业,若双胞胎的作业同时被抽中概率为 值是_____________. 11

x2 y2 ? ? 1 (a ? 0 , b ? 0) 的渐近线与圆 ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 1相交,则双曲 a2 b2 ? 线两渐近线的夹角取值范围是_____________. (0, ) 3 a ? 2 11.复数 z 是方程 z ? 2 z ? 2 ? 0 的解,若 Im z ? 0 ,且 ? z ? b ? bi (a, b ? R ) ,则 z 3 1 1 ? 的最小值为_____ ? 2 ____. 2 a b 2 12.已知函数 f ( x) ? x ? 4 x ? 3 ,集合 M ? ? x, y ? f ( x) ? f ( y ) ? 0 ,集合
10.已知双曲线

?

?

1/7

N?

?? x, y ? f ( x) ? f ( y) ? 0? ,则集合 M ? N 所表示的图形面积是___________. ?

x2 x2 ? y 2 ? 1 (a1 ? 0) 与双曲线 C 2 : 2 ? 3 y 2 ? 1 (a2 ? 0) 有相同的焦 a12 a2 0 点 F1 , F2 .点 P 是曲线 C 1 与 C 2 的公共点,则 ?F1 PF2 ? __________ . 60 _ ?x 2 ? 5 ? 2a ,(a ? 0) , 14. 函数 f ( x) ? x ? ,x ? ?1,2? ,g ( x) ? a cos 对任意的 x1 ? ?1,2? , 2 x 总存在 x 2 ? ?0,1? ,使得 g ( x2 ) ? f ( x1 ) 成立,则 a 的取值范围为 .?3,4?
13.已知椭圆 C1 : 二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共 4 题,每题只有一个正确答案,考生应在答题纸 相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 4 分,否则一律得零分. 15.若 (1 ? 2x)2013 ? a0 ? a1x ? ?? a2013 x2013 ( x ? R) ,则 (A) ?1
2 2

(B)0

a a1 a2 ? 2 ? ? ? 2013 的值为( A ) 2 2 22013 (C) 2 (D) ?2

16.过双曲线

x y ? 2 ? 1 (b ? 0) 左焦点 F1 的直线 l 与双曲线左支交于 A, B 两点,若 9 b AF2 ? BF2 ( F2 是双曲线的右焦点)的最小值为 14 ,则 b 的值是 ( C )

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 6 17.已知定义在 R 函数 y ? f ( x) ,存在常数 a ? 0 ,对任意 x ? R, 均有 f ( x) ? f ( x ? a) 成 立,则下列结论中正确的个数是( B ) (1) f ( x) 在 R 一定单调递增; (2) f ( x) 在 R 上不一定单调递增,但满足上述条件的所有 f ( x) 一定存在递增区间; (3)存在满足上述条件的 f ( x) ,但找不到递增区间; (4)存在满足上述条件的 f ( x) ,既有递增区间又有递减区间. (A)3 个 (B)2 个 (C)1 个 (D)0 个 18. 定义域为 [ a, b] 的函数 y ? f ( x) 图象上两点 A(a, f (a)), B(b, f (b)) ,M ( x , y ) 是 f ( x) 图象上任意一点, 其中 x ? ? a ? (1 ? ? )b, ? ?[0,1] . 已知向量 ON ? ?OA ? (1 ? ? )OB , 若不等式 MN ? k 对任意 ? ? [0,1] 恒成立,则称函数 f ( x) 在 [ a, b] 上“ k 阶线性近 似” .若函数 y ? x ? (A) [0, ??)

????

??? ?

??? ?

?

1 在 ?1,2 ? 上“ k 阶线性近似”,则实数的 k 取值范围为 (D ) x 1 3 3 (B) [ , ??) (C) [ ? 2, ??) (D) [ ? 2, ??) 12 2 2

三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的 规定区域内写出必要的步骤. 19.(本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分.

?? ? ?ABC 中, a , b , c 分别是角 A, B, C 的对边,向量 m ? (2sin B, 2 ? cos 2B) ,

? ? B n ? (2sin 2 ( ? ), ?1) , m ? n . 4 2
(1)求角 B 的大小; (2)若 a ? 3 , b ? 1,求 c 的值. 解:? m ? n

? m ? n ? 0,? 4 sin B ? sin 2 (

?
4

?

B ) ? cos 2 B ? 2 ? 0 -----------2 分 2

2/7

? ?? ?? ? 2 sin B ?1 ? cos? ? B ?? ? cos 2 B ? 2 ? 0 ?2 ?? ? 2 ? 2 sin B ? 2 sin B ? 1 ? 2 sin 2 B ? 2 ? 0 ? sin B ? 1 2

----------------------------------------------------------5 分

? 0 ? B ? ? ,? B ?
(2)? a ?

?



6

5? ------------------------------------------6 分 6

3 ? b,? 此时 B ?

?

6



………7 分

综上 c

? 2或c ? 1

……………12 分

20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分. 如图, 某几何体中, 正三棱柱 ABC ? A B C 的所有棱长都为 2, 四边形 ABCD 是菱形,
' ' '

其中 P 为 AC 的中点.
' ' (1)求 B P 与 DC 所成角的大小;

C' B'

(2)求该几何体的体积. 解: (1)
C

A'

B
' '

连接AB , ? AD与B C 平行且相等,
'

P D A

? AB'与DC'平行 又? AB' =2 2,AP=1,

??AB'P为所求角或其补角.................. 分 2

2 ..................................5分 4 2 14 ? B'P与DC'所成角为 arcsin ? arccos ..........7分 4 4 ? Rt ?AB'P中sin ?AB'P ?
(2)
3/7

V总 ? VD-AA'C 'C +VABC ? A' B'C ' ..........9分 1 ? ?22 ? 3 ? 3 ?2....................12分 3 10 3 ? ....................................14分 3
21. (本题满分 14 分) 已知 A、B 两地相距 200km,一只船从 A 地逆水到 B 地,水速为 8km/h,船在静水中 的速度为 vkm / h(8 ? v ? v0 ) ,其中 v 0 为给定的大于 12 km / h 的常数。若船每小时的燃料费 与其在静水中速度的平方成正比,当 v =12 km/h 时,每小时的燃料费为 720 元,为了使全程 燃料费最省,船的实际速度应为多少?(全程燃料费=每小时的燃料费 ? 实际行驶的时间) 解答:设每小时的燃料费为 y1 ,比例系数为 k (k ? 0) ,则 y1 ? kv 2 当 v ? 12 时, y1 ? 720 1分

? 720 ? k ? 12 2 得 k=5
设全程燃料费为 y,依题意有

3分

y ? y1 ?

200 1000v 2 64 ? 64 ? ? ? ? ? 1000? v ? 8 ? ? 16 ? ? 32000 ? ? 1000? v ? 8 ? v ?8 v ?8 v ?8? v ?8 ? ? ? 6分

当 v ?8 ?

64 ,即 v=16 时取等号 v ?8

? 8 ? v ? v0
所以当 v? ? 16 时,v=16 时全程燃料费最省。 当 v? ? 16 时,令 t ? v ? 8 ? 任取 8 ? v1 ? v2 ? v0 则 0 ? v1 ? 8 ? 8,0 ? v2 ? 8 9分

64 v ?8

?1 ?

64 ?0 ?v1 ? 8??v2 ? 8?

? ? 64 ? t1 ? t 2 ? ?v1 ? v 2 ??1 ? ? ?v ? 8??v ? 8? ? ? 0 ? 1 2 ? ?
1000v?2 64 即t ? v ?8? 在 ? 8,v? ? 上为减函数,当 v ? v0 时,y 取最小值 v? ? 8 v ?8
13 分

综合得: v? ? 16 时, 当 v=16km/h, 实际船速为 8km/h, 全程燃料费最省, 32000 元, v? ? 16 为 当
4/7

时,当 v ? v0 ,实际船速为( v 0 -8)km/h 时,全程燃料费最省,为

1000v?2 元. v? ? 8

14 分

22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小 题满分 6 分。 已知抛物线 C : x 2 ? 2 py ( p ? 0) 的焦点为 F , A(a,4) 为抛物线 C 上的定点, P 为抛 点 点 物线 C 上的动点.且 ?FOA 的外接圆圆心到准线的距离为 (1)求抛物线 C 的方程; (2)过 P 作圆 x 2 ? ( y ? 1) 2 ?

3 . 2

1 的两条切线分别交该圆于点 M , N ,求四边形 PMFN 面 4 1 5

积的最小值及此时 P 点坐标. (3)设点 T (0, t ) ,且 ?TAF ? arccos ,求实数 t 的值. 解答(1) ?FOA 的外接圆的圆心在线段 OF 的中垂线 y ?

p 上, 4

p 则圆心的纵坐标为 4
故到准线的距离为 从而

y P

p p 3 ? ? 2 4 2
????? (2 分)
2

M F O N x

p?2

即抛物线 C 的方程为: x ? 4 y.

????? (4 分)

(2)设 P( x0 , y0 ) ∵圆心坐标 (0,1) 是抛物线 C 的焦点 F ∴ PF ? y0 ? 1 ??????????????? (6 分)

1 1 1 S PMFN ? 2S ?PMF ? 2 ? ? PM ? MF ? PM ? 2 2 2 ? 1 1 ( y 0 ? 1) 2 ? ( y 0 ? 0) 2 4

PF ?
2

1 4

?????????? (8 分)



当 y0 ? 0 时,四边形 PMFN 面积的最小值为

3 ,此时点 P(0,0) .??(10 分) 4

(3)点 A(4,4) 或 A(?4,4) 当 A(4,4) 时, AT ? (?4, t ? 4)

??????????????? (12 分)

AF ? (?4, ? 3)
1 5
5/7

cos?TAF ?

16 ? 3(t ? 4) 5 ? 16 ? (t ? 4) 2

?

化简得: t ? 20t ? 94 ? 0
2

??????????????? (14 分)



t ? 10 ? 6 或 t ? 10 ? 6

根据对称性知,当 A(?4,4) 时,实数 t 的值不变. 综上得: t ? 10 ? 6 或 t ? 10 ? 6 ?????????????? (16 分)

23.(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小 题满分 8 分。 对于数列 A : a1 , a2 ,?, an ,记 M i 表示实数 a1 , a2 ,?, ai 中最大的数, mi 表示实数

ai , ai ?1 ,?, an 中最小的数, di ? M i ? mi ,其中 i ? 1, 2,? n .定义变换 T , T 将数列 A 变
换成数列 T ? A? : d1 , d2 ,?, dn . (1)已知数列 A : 2, 0, 4, ?1,1 和数列 B : bk ? 3k , k ? 1,2,?, n ,写出数列 T ? A? 和 T ( B ) ; (2)已知数列 A : a1 , a2 , a3 中任意两个项互不相等,证明:数列 T ? A? : d1 , d2 , d3 中必有两 个相邻的项相等; (3)证明:对于有穷数列 A ,T ? A? 与 A 是相同的数列的充要条件是 ak ? 0, k ? 1,2,?, n . 解答: (1)由 T ? A? 的定义可知: T ? A? : 3,3,5,5,3 同理: T ? B ? : 0,0,?,0 即 d k ? 0, k ? 1,2,?, n 2分 4分 5分 6分

(2) A : a1 , a2 , a3 中 4 项的大小关系有4种情况。 (分类讨论) 当 a1 ? a2 ? a3 时,由定义易得 T ? A? : 0, 0, 0 ,命题得证;

当 a1 ? a2 ? a3 时,由定义易得 T ? A? : a1 ? a3 , a1 ? a3 , a1 ? a3 ,命题得证;7 分 当 a1 ? a2 ? a3 时,由定义得 d2 ? a2 ? a3 ? d3 ,命题得证; 当 a1 ? a2 ? a3 时,由定义得 d1 ? a1 ? a2 ? d2 ,命题得证。 8分 9分 10 分

综上可知:数列 T ? A? : d1 , d2 , d3 中必有两个相邻的项相等. (3)先证充分性:? ak ? 0, k ? 1, 2,?, n,? M i ? 0, mi ? 0 , i ? 1, 2,?, n 所以 di ? ai , i ? 1, 2,?, n ,即 T ? A? ? A . 12 分

6/7

再证明必要性: 首先,证明 A 中的各项都是非负的。

? mi ? ai ? M i ?di ? Mi ? mi ? , i ? ? 0 1, 2 ,
又 T ? A? ? A ,则 ai ? di ? 0 然后,用反证法证明 A 中的各项都是 0. 假设 a1 , a2 ,?, an 中有一个正数,设 ak 为 a1 , a2 ,?, an 中从左至右的第1个正数, 则由定义知: M k ? ak , 从而 ak ? dk ? M k ? mk ? mk ? 0 , 这说明在 ak ?1 , ak ?2 ,?, an 中最小值为0,不妨设 al ? 0 ? k ? l ? n? 由定义知: ml ? 0 ,则 dl ? Ml ? ml ? al ,得 M l ? 0 由 M l 的定义有: ak ? M l ? 0 ,这与 ak ? 0 矛盾. 故 an ? 0, n ? N? . 18 分 16分

n ,
14 分

7/7


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